21. Задачи на смекалку: все задания
Улитка за день залезает вверх по дереву на $3 \spaceм,$ а за ночь спускается на $2\spaceм.$ Высота дерева $10\spaceм.$ За сколько дней улитка поднимется на вершину дерева?
$1.$ За сутки улитка продвигается на:
$$3-2 = 1\spaceм$$ $2.$ За $7$ дней улитка поднимется на: $$7 \cdot 1 = 7\spaceм$$ $3.$ На $8$-й день улитка поднимется еще на $3$ м: $$7 + 3 = 10\spaceм$$ Ответ: улитка поднимется на вершину дерева за $8$ дней.
На палке отмечены поперечные линии красного, желтого и зеленого цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится $15$ кусков, если по желтым — $5$ кусков, а если по зеленым — $7$ кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трех цветов?
$1.$ При распиле количество кусков всегда на $1$ больше, чем количество линий.
$2.$ Если получается $15$ кусков, значит линий: $15-1 = 14$ (красных).
$3.$ Если получается $5$ кусков, значит линий: $5-1 = 4$ (желтых).
$4.$ Если получается $7$ кусков, значит линий: $7-1 = 6$ (зеленых).
$5.$ Найдем общее количество линий:
$14 + 4 + 6 = 24$ линии.
$6.$ Найдем количество кусков:
$24 + 1 = 25$ кусков.
Ответ: при распиле по всем линиям получится $25$ кусков.
В корзине лежит $40$ грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых $17$ грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых $25$ грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
$1.$ Груздей не может быть больше $16,$ так как иначе можно было бы выбрать $17$ груздей, что противоречит условию.
$2.$ Рыжиков не может быть больше $24,$ так как иначе можно было бы выбрать $25$ рыжиков, что противоречит условию.
$3.$ Так как общее количество грибов $40,$ и груздей не больше $16,$ а рыжиков не больше $24,$ то:
Количество груздей = $16.$
Количество рыжиков = $24.$
Ответ: в корзине $24$ рыжика.
На поверхности глобуса фломастером проведены $12$ параллелей и $22$ меридиана. На сколько частей проведенные линии разделили поверхность глобуса?
Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель — это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.
$1.$ $12$ параллелей делят глобус на $13$ частей (на $1$ больше, чем самих параллелей).
$2.$ Каждый из $22$ меридианов проходит через все $13$ частей, создавая новые секции.
$3.$ Общее количество частей: $13 \cdot 22 = 286.$
Ответ: поверхность глобуса разделена на $286$ частей.
На кольцевой дороге расположены четыре бензоколонки: $A, B, C$ и $D.$ Расстояние между $A$ и $B$ — $35\spaceкм,$ между $A$ и $C$ — $20\spaceкм,$ между $C$ и $D$ — $20\spaceкм,$ между $D$ и $A$ — $30\spaceкм$ (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги в кратчайшую сторону). Найдите расстояние между $B$ и $C.$ Ответ дайте в километрах.
$1.$ Расположим точки $A, B, C, D$ по порядку вдоль кольцевой дороги.
$2.$ Зная, что расстояние между $A$ и $C$ равно $20\spaceкм,$ а между $C$ и $D$ тоже $20\spaceкм,$ получаем отрезок $AC + CD = 40\spaceкм.$
$3.$ Расстояние между $D$ и $A$ равно $30\spaceкм,$ значит, точка $D$ должна находиться между $A$ и $B.$
$4.$ Найдем расстояние между $B$ и $C{:}$
$AB = AC + CD + DB;$
$35 = 20 + 20 + DB;$
$DB = 35-40 = -5$ $($невозможно, значит $D$ между $A$ и $B).$
$5.$ Правильное расположение:
$A-C-D-B;$
$BC = AB-AC-CD;$
$BC = 35-20-10 = 15\spaceкм.$
Ответ: расстояние между $B$ и $C$ равно $15\spaceкм.$
В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
$1)$ за $3$ золотых монеты получить $4$ серебряных и одну медную;
$2)$ за $6$ серебряных монет получить $4$ золотых и одну медную.
У Николы были только серебряные монеты. После посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось $35$ медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николы?
$1.$ Пусть Никола сделал $x$ операций второго типа и $y$ операций первого типа.
$2.$ Составим систему уравнений: $$\begin{cases}4x-3y = 0 & \text{(золотые монеты не появились)} \ x + y = 35 & \text{(появилось 35 медных монет)}\end{cases}$$ $3.$ Решаем систему:
Из первого уравнения: $4x = 3y$
Из второго уравнения: $y = 35-x$
$4.$ Подставляем:
$$4x = 3(35-x)$$ $$4x = 105-3x$$ $$7x = 105$$ $$x = 15$$ $5.$ Находим $y$: $$y = 35 — 15 = 20$$ $6.$ Находим изменение количества серебряных монет: $$4y-6x = 4 \cdot 20-6 \cdot 15 = 80-90 = -10$$ Ответ: количество серебряных монет уменьшилось на $10.$
Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живет в седьмом подъезде в квартире $№ 462,$ а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом семиэтажный. На каком этаже живет Саша? (На каждом этаже число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)
$1.$ Найдем минимальное количество квартир в подъезде:
$462 : 7 = 66$ квартир (в каждом подъезде).
$2.$ Найдем минимальное количество квартир на этаже:
$66 : 7 = 9$ квартир (на каждом этаже).
$3.$ Проверим вариант с $9$ квартирами на этаже:
$9 \cdot 7 \cdot 7 = 441$ квартира (в первых $7$ подъездах).
Квартира $462$ окажется в $8$ подъезде — противоречие.
$4.$ Проверим вариант с $10$ квартирами на этаже:
$10 \cdot 7 \cdot 7 = 490$ квартир (в первых $7$ подъездах).
$10 \cdot 7 \cdot 6 = 420$ квартир (в первых $6$ подъездах).
Квартира $462$ находится в $7$ подъезде $(462-420 = 42)$
На этаже по $10$ квартир, значит:
$42 : 10 = 4$ полных этажа + $2$ квартиры.
Этаж: $4 + 1 = 5.$
$5.$ Проверим вариант с $11$ квартирами на этаже:
$11 \cdot 7 \cdot 6 = 462$ квартиры (в первых $6$ подъездах).
Квартира $462$ в $6$ подъезде — противоречие.
Ответ: Саша живет на $5$ этаже седьмого подъезда.
Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на каждом этаже одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нем $110$ квартир?
$1.$ Разложим число $110$ на простые множители:
$110 = 2 \cdot 5 \cdot 11$
$2.$ Учитывая условия задачи, получаем:
Число подъездов должно быть больше $1.$
Число квартир на этаже должно быть больше числа подъездов.
Число этажей должно быть больше числа квартир на этаже.
$3.$ Подбираем подходящие значения:
Подъезды: $2$ (больше $1$).
Квартиры на этаже: $5$ (больше числа подъездов).
Этажи: $11$ (больше числа квартир на этаже).
$4.$ Проверяем:
$2 \cdot 5 \cdot 11 = 110$ квартир.
Все условия соблюдены:
$11 > 5 > 2 > 1$
Ответ: в доме $11$ этажей.
Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно $6$ прыжков, начиная прыгать из начала координат?
$1.$ Заметим, что:
Кузнечик может двигаться как вправо, так и влево.
Каждый прыжок равен $1$ единице.
Всего прыжков: $6.$
$2.$ Важное наблюдение:
Поскольку количество прыжков четное $(6),$ кузнечик может оказаться только в точках с четными координатами.
$3.$ Максимальное расстояние:
При $6$ прыжках в одну сторону: $6$ единиц.
$4.$ Возможные точки:
От $-6$ до $6$ с шагом $2.$
Точки: $-6, -4, -2, 0, 2, 4, 6.$
$5.$ Подсчет точек:
Всего $7$ различных точек.
Ответ: кузнечик может оказаться в $7$ различных точках.
Улитка за день заползает вверх по дереву на$ 4\spaceм,$ а за ночь сползает на $3\spaceм.$ Высота дерева $10\spaceм.$За сколько дней улитка впервые доползет до вершины дерева?
$1.$ Найдем чистый прогресс за одни сутки:
$4-3 = 1$ $м$ в сутки.
$2.$ Однако, на последний день улитка не будет сползать вниз, так как она уже достигнет вершины.
$3.$ Рассмотрим процесс:
За первые $6$ дней улитка поднимется на $6\spaceм$ $(6 \cdot 1 = 6\spaceм).$
На седьмой день улитка поднимется на $4\spaceм$ $(6 + 4 = 10\spaceм).$
Вершина достигнута до ночного сползания.
$4.$ Таким образом, улитка достигнет вершины на $7$-й день.
Ответ: улитка доползет до вершины за $7$ дней.
Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им $4\space200$ рублей, а за каждый следующий метр — на $1\space300$ рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной $11$ метров?
$1.$ Имеем арифметическую прогрессию:
Первое значение: $a_1 = 4\space200$
Разность: $d = 1\space300$
Количество элементов: $n = 11$
$2.$ Используем формулу суммы первых n элементов арифметической прогрессии: $$S_n = \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2}$$ $3.$ Подставляем значения:$$S_{11} = \frac{11\cdot (2 \cdot 4\space200 + 10 \cdot 1\space300)}{2}$$ $4.$ Вычисляем: $$S_{11} = \frac{11\cdot (8\space400 + 13\space000)}{2}$$ $$S_{11} = \frac{11 \cdot 21\space400}{2}$$ $$S_{11} = 11 \cdot 10\space700$$ $$S_{11} = 117\space700$$ Ответ: хозяин должен заплатить $117\space700$ рублей.
Список заданий викторины состоял из $25$ вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал $7$ очков, за неправильный ответ с него списывали $10$ очков, а при отсутствии ответа давали $0$ очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший $42$ очка, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
$1.$ Пусть:
$x$ — количество правильных ответов.
$y$ — количество неправильных ответов.
$z$ — количество пропущенных вопросов.
$2.$ Составим систему уравнений:
$$x + y + z = 25\space(всего\spaceвопросов)$$ $$7x-10y = 42\space(общее\spaceколичество\spaceочков)$$ $3.$ Из первого уравнения: $$z = 25-x-y$$ $4.$ Решаем второе уравнение: $$7x — 10y = 42$$ $$7x = 42 + 10y$$ $$x = 6 + \frac{10y}{7}$$ $5.$ Так как $x$ — целое число, $\dfrac{10y}{7}$ должно быть целым
Наименьшее подходящее значение $y = 7$ (так как по условию была хотя бы одна ошибка).
$6.$ Подставляем $y = 7$: $$x = 6 + \dfrac{10 \cdot 7}{7} = 6 + 10 = 16$$ $7.$ Проверяем: $$7 \cdot 16-10 \cdot 7 = 112-70 = 42$$ Ответ: ученик дал $16$ правильных ответов.
В магазине квас на разлив можно купить в бутылках, причем стоимость кваса в бутылке складывается из стоимости самой бутылки и кваса, налитого в нее. Цена бутылки не зависит от ее объема. Бутылка кваса объемом $1$ литр стоит $36$ рублей, объемом $2$ литра — $66$ рублей. Сколько рублей будет стоить бутылка кваса объемом $1.5$ литра?
$1.$ Пусть:
$x$ — стоимость пустой бутылки.
$y$ — стоимость $1$ литра кваса.
$2.$ Составим систему уравнений:
$$x + y = 36\space(для\space1\spaceлитра)$$ $$x + 2y = 66\space(для\space2\spaceлитров)$$ $3.$ Вычтем первое уравнение из второго:
$$(x + 2y)-(x + y) = 66-36$$ $y = 30$ (стоимость $1$ литра кваса).
$4.$ Подставим значение $y$ в первое уравнение:
$$x + 30 = 36$$ $x = 6$ (стоимость пустой бутылки).
$5.$ Найдем стоимость $1.5$ литровой бутылки:
$$x + 1,5y = 6 + 1,5 \cdot 30 = 6 + 45 = 51$$ Ответ: бутылка кваса объемом $1.5$ литра будет стоить $51$ рубль.
Клетки таблицы $6\times6$ раскрашены в черный и белый цвета так, что получилось $30$ пар соседних клеток разного цвета и $16$ пар соседних клеток черного цвета. (Клетки считаются соседними, если у них есть общая сторона). Сколько пар соседних клеток белого цвета?
$1.$ Найдем общее количество пар соседних клеток:
В каждой строке $5$ пар соседних клеток.
В каждой колонке $5$ пар соседних клеток.
Всего строк: $6.$
Всего колонок: $6.$
$2.$ Рассчитаем общее количество пар:
В строках: $6 \cdot 5 = 30$ пар.
В колонках: $6 \cdot 5 = 30$ пар.
Всего пар: $30 + 30 = 60$ пар.
$3.$ Пусть $x$ — количество пар белого цвета.
$4.$ Составим уравнение:
$30$ (разные) + $16$ (черные) + $x$ (белые) = $60$ (всего).
$5.$ Решаем уравнение:
$$30 + 16 + x = 60$$ $$46 + x = 60$$ $$x = 60-46$$ $$x = 14$$ Ответ: $14$ пар соседних клеток белого цвета.
Десять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно $4$ провода. Сколько всего проводов протянуто между этими десятью столбами?
$1.$ Сначала посчитаем общее количество соединений:
От каждого столба отходит $4$ провода.
Всего столбов $10.$
Общее количество соединений: $10 \cdot 4 = 40.$
$2.$ Заметим, что каждый провод соединяет два столба, поэтому каждое соединение посчитано дважды.
$3.$ Чтобы найти реальное количество проводов, нужно разделить полученное число на $2{:}$
$$\frac{40}{2} = 20$$ Ответ: между десятью столбами протянуто $20$ проводов.
Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — $328,$ номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке. Сколько листов выпало?
$1.$ Из цифр $3, 2, 8$ можно составить числа:$382,238,283,832,823.$
$2.$ Числа $238$ и $283$ меньше $328,$ поэтому не подходят.
$3.$ Номер первой страницы после выпавших листов должен быть нечетным (так как $328$ — четное).
$4.$ Подходит только число $823.$
$5.$ Вычитаем $1,$ так как страница $823$ не выпала:
$823-1 = 822$
$6.$ Находим количество выпавших листов:
$$\dfrac{822-328}{2} = \dfrac{494}{2} = 247$$ Ответ: выпало $247$ листов.
Миша, Коля и Леша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл $10$ партий, а Коля — $21.$ Сколько партий сыграл Леша?
$1.$ Определим общее количество партий:
Коля сыграл $21$ партию, значит всего партий не меньше $21.$
Миша сыграл $10$ партий, участвуя хотя бы в каждой второй игре.
$2.$ Рассчитаем максимальное количество партий.
Если Миша участвовал в каждой второй игре: $$10 \cdot 2 + 1 = 21$$ $3.$ Следовательно, всего было сыграно $21$ партия.
$4.$ Найдем количество партий Леши:
Всего партий: $21.$
Миша: $10$ партий.
Леша: $21-10 = 11$ партий.
Ответ: Леша сыграл $11$ партий.
На ленте по разные стороны от середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на $30\spaceсм$ длиннее другой. Если разрезать ленту по синей полоске, то одна часть будет на $50\spaceсм$ длиннее другой. Найдите расстояние (в сантиметрах) между красной и синей полосками.
$1.$ Обозначим:
$x$ — расстояние от начала ленты до синей полоски.
$y$ — расстояние между синей и красной полосками.
$z$ — расстояние от красной полоски до конца ленты.
$2.$ Составим уравнения:
При разрезании по красной полоске: $x + y-z = 30.$
При разрезании по синей полоске: $y + z-x = 50.$
$3.$ Решим систему уравнений:$$x + y-z = 30 $$ $$y + z-x = 50$$ $4.$ Сложим оба уравнения:
$$(x + y-z) + (y + z-x) = 30 + 50$$ $$x-x + y + y-z + z = 80$$ $$2y = 80$$ $$y = 40$$ Ответ: расстояние между красной и синей полосками равно $40\spaceсм.$
В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов — их оказалось $5,$ и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным $690.$ Какая отметка выходит у Пети в четверти по этому предмету, если учитель ставит только отметки $«2», «3», «4»$ или $«5»$ и итоговая отметка в четверти является средним арифметическим всех текущих отметок, округленная по правилам округления?
$($Например, $3.2$ округляется до $3; 4.5$ — до $ 5;$ а $2.8$ — до $3.)$
$1.$ Разложим число $690$ на простые множители:
$690 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 23$
$2.$ Так как в разложении есть число $23$, которое нельзя представить через $2$, $3$, $4$ или $5$, то:
$23$ можно представить как $ 23=2 \cdot 3 \cdot 4.$
$3.$ Получаем набор отметок:
$2,$ $5,$ $2,$ $3,$ $3.$
$4.$ Проверим произведение:
$$2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 690$$ $5.$ Найдем среднее арифметическое:
$$\frac{2 + 5 + 2 + 3 + 3}{5} = \frac{15}{5} = 3$$ Ответ: у Пети выходит отметка $3.$
Взяли несколько досок и распилили их (за один распил можно распилить только одну доску). Всего сделали $11$ поперечных распилов, в итоге получилось $16$ кусков. Сколько досок взяли?
$1.$ При каждом поперечном распиле количество кусков увеличивается на $1.$
$2.$ Если бы изначально была одна доска, то после $11$ распилов получилось бы: $1 + 11 = 12$ кусков.
$3.$ Но у нас $16$ кусков, значит изначально было больше досок.
$4.$ Разница между имеющимися кусками и кусками от одной доски:$16-11 = 5$
$5.$ Эта разница показывает количество досок, которые были изначально.
Ответ: изначально было $5$ досок.