КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
Главная
Курсы
Куратор
Подписка
6. Определение результатов работы алгоритма: все задания
Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат.
Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм.
Повтори 2 [Вперёд 14 Налево 270 Назад 12 Направо 90]
Поднять хвост
Вперёд 9 Направо 90 Назад 7 Налево 90
Опустить хвост
Повтори 2 [Вперёд 13 Направо 90 Вперёд 6 Направо 90]
Определите, сколько точек с целочисленными координатами находятся внутри объединения фигур, ограниченного заданными алгоритмом линиями, включая точки на линиях.
В начале Черепаха находится в точке $(0;0)$ и смотрит вверх.
После выполнения первой команды Повтори 2 [Вперёд 14 Налево 270 Назад 12 Направо 90] Черепаха построит прямоугольник с вершинами $(0;0)$, $(0;14)$, $(-12;14)$, $(-12;0)$.
Его стороны равны $12$ и $14$. Число точек с целочисленными координатами внутри этого прямоугольника, включая границу: $(12+1)(14+1)=13\cdot15=195$.
Затем Черепаха поднимает хвост и перемещается: $(0;0)\rightarrow(0;9)\rightarrow(-7;9)$.
После опускания хвоста команда Повтори 2 [Вперёд 13 Направо 90 Вперёд 6 Направо 90] строит второй прямоугольник с вершинами $(-7;9)$, $(-7;22)$, $(-1;22)$, $(-1;9)$.
Его стороны равны $6$ и $13$. Число целочисленных точек в нём: $(6+1)(13+1)=7\cdot14=98$.
Прямоугольники пересекаются в области
$-7\leq x\leq-1$,
$9\leq y\leq14$.
В пересечении имеется $7$ возможных целых значений $x$ и $6$ возможных целых значений $y$: $7\cdot6=42$ точки.
При сложении точек двух прямоугольников точки пересечения были посчитаны дважды, поэтому число точек в объединении равно $195+98-42=251$.
20
Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат.
Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм.
Повтори 2 [Вперёд 13 Направо 90 Вперёд 20 Направо 90]
Поднять хвост
Вперёд 8 Направо 90 Назад 3 Налево 90
Опустить хвост
Повтори 2 [Вперёд 16 Направо 90 Вперёд 8 Направо 90]
Определите, сколько точек с целочисленными координатами находятся внутри объединения фигур, ограниченного заданными алгоритмом линиями, включая точки на линиях.
В начале Черепаха находится в точке $(0;0)$ и направлена вверх.
После выполнения команды Повтори 2 [Вперёд 13 Направо 90 Вперёд 20 Направо 90] будет построен прямоугольник с вершинами $(0;0)$, $(0;13)$, $(20;13)$, $(20;0)$.
Его стороны равны $20$ и $13$. Количество точек с целочисленными координатами внутри прямоугольника, включая его границу: $(20+1)(13+1)=21\cdot14=294$.
После построения первого прямоугольника Черепаха возвращается в точку $(0;0)$ и снова направлена вверх.
При поднятом хвосте она перемещается: $(0;0)\rightarrow(0;8)\rightarrow(-3;8)$.
После команды Налево 90 Черепаха направлена вверх.
Команда Повтори 2 [Вперёд 16 Направо 90 Вперёд 8 Направо 90] строит второй прямоугольник с вершинами $(-3;8)$, $(-3;24)$, $(5;24)$, $(5;8)$.
Его стороны равны $8$ и $16$. Количество точек с целочисленными координатами внутри него, включая границу: $(8+1)(16+1)=9\cdot17=153$.
Общая часть прямоугольников задаётся условиями
$0\leq x\leq5$,
$8\leq y\leq13$.
В пересечении имеется $6$ целых значений координаты $x$ и $6$ целых значений координаты $y$: $6\cdot6=36$ точек.
Точки пересечения были посчитаны дважды, поэтому количество точек в объединении фигур равно $294+153-36=411$.
20
Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат.
Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм:
Повтори 9 [Вперёд 27 Направо 90 Вперёд 30 Направо 90]
Поднять хвост
Вперёд 3 Направо 90 Вперёд 6 Налево 90
Опустить хвост
Повтори 9 [Вперёд 77 Направо 90 Вперёд 66 Направо 90]
Определите периметр области пересечения фигур, ограниченных заданными алгоритмом линиями.
Вначале Черепаха находится в точке $(0;0)$ и направлена вверх.
Команда Повтори 9 [Вперёд 27 Направо 90 Вперёд 30 Направо 90] строит прямоугольник со сторонами $27$ и $30$. Его вершины: $(0;0)$, $(0;27)$, $(30;27)$, $(30;0)$.
После девяти повторений Черепаха находится в точке $(30;27)$ и направлена вниз.
При поднятом хвосте она выполняет команды:
- Вперёд 3 — переходит в точку $(30;24)$;
- Направо 90 — поворачивается влево относительно системы координат, то есть на запад;
- Вперёд 6 — переходит в точку $(24;24)$;
- Налево 90 — поворачивается вниз.
После опускания хвоста команда Повтори 9 [Вперёд 77 Направо 90 Вперёд 66 Направо 90] строит прямоугольник со сторонами $77$ и $66$. Его вершины: $(24;24)$, $(24;-53)$, $(-42;-53)$, $(-42;24)$.
Первый прямоугольник занимает область
$0\leq x\leq30$,
$0\leq y\leq27$.
Второй прямоугольник занимает область
$-42\leq x\leq24$,
$-53\leq y\leq24$.
Их пересечение задаётся условиями
$0\leq x\leq24$,
$0\leq y\leq24$.
Область пересечения является квадратом со стороной $24$. Его периметр равен $P=4\cdot24=96$.
20
Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат.
Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм:
Повтори 2 [Вперёд 21 Направо 90 Вперёд 27 Направо 90]
Поднять хвост
Вперёд 9 Направо 90 Вперёд 10 Налево 90
Опустить хвост
Повтори 2 [Вперёд 86 Направо 90 Вперёд 47 Направо 90]
Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри области пересечения фигур, ограниченных заданными алгоритмом линиями, включая точки на границах этого пересечения.
В начале Черепаха находится в точке $(0;0)$ и направлена вверх.
После выполнения команды Повтори 2 [Вперёд 21 Направо 90 Вперёд 27 Направо 90] будет построен прямоугольник с вершинами $(0;0)$, $(0;21)$, $(27;21)$, $(27;0)$.
Он занимает область
$0\leq x\leq27$,
$0\leq y\leq21$.
После построения первого прямоугольника Черепаха возвращается в точку $(0;0)$ и направлена вверх.
При поднятом хвосте она перемещается: $(0;0)\rightarrow(0;9)\rightarrow(10;9)$.
После команды Налево 90 Черепаха снова направлена вверх.
Команда Повтори 2 [Вперёд 86 Направо 90 Вперёд 47 Направо 90] строит второй прямоугольник с вершинами $(10;9)$, $(10;95)$, $(57;95)$, $(57;9)$.
Он занимает область
$10\leq x\leq57$,
$9\leq y\leq95$.
Область пересечения прямоугольников задаётся условиями
$10\leq x\leq27$,
$9\leq y\leq21$.
Целочисленных значений координаты $x$: $27-10+1=18$.
Целочисленных значений координаты $y$: $21-9+1=13$.
Следовательно, количество точек с целочисленными координатами внутри области пересечения, включая её границы, равно $18\cdot13=234$.
20
Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат.
Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм:
Направо 45
Повтори 3 [Направо 45 Вперёд 10 Направо 45]
Направо 315 Вперёд 10 Направо 90
Вперёд 20 Направо 90
Повтори 2 [Вперёд 10 Направо 90].
Определите, сколько точек с целочисленными координатами находятся внутри области, которая ограничена линией, заданной алгоритмом. Точки на линии учитывать не следует.
В начальный момент Черепаха находится в точке $(0;0)$ и направлена вверх.
После выполнения команды Направо 45 Черепаха будет направлена по диагонали вправо и вверх.
Проследим дальнейшее перемещение:
- первая команда Вперёд 10 приводит Черепаху в точку $(10;0)$;
- вторая команда Вперёд 10 — в точку $(10;-10)$;
- третья команда Вперёд 10 — в точку $(0;-10)$;
- после команды Направо 315 Вперёд 10 Черепаха попадает в точку $(-10;-10)$;
- после команды Вперёд 20 — в точку $(-10;10)$;
- при выполнении последнего цикла Черепаха проходит через точку $(0;10)$ и возвращается в точку $(0;0)$.
Полученная область имеет вершины $(0;0)$, $(10;0)$, $(10;-10)$, $(-10;-10)$, $(-10;10)$, $(0;10)$.
Посчитаем целочисленные точки, не лежащие на границе.
Для целых значений $y$ от $-9$ до $-1$ координата $x$ может принимать значения от $-9$ до $9$: $9\cdot19=171$ точка.
При $y=0$ внутри области находятся точки с координатами $x$ от $-9$ до $-1$: $9$ точек.
Для целых значений $y$ от $1$ до $9$ координата $x$ может принимать значения от $-9$ до $-1$: $9\cdot9=81$ точка.
Общее количество точек: $171+9+81=261$.
20
Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат.
Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм:
Повтори 6 [Вперёд 19 Направо 90 Вперёд 22 Направо 90]
Поднять хвост
Вперёд 3 Направо 90 Вперёд 1 Налево 90
Опустить хвост
Повтори 6 [Вперёд 85 Направо 90 Вперёд 82 Направо 90]
Определите периметр области пересечения фигур, ограниченных заданными алгоритмом линиями.
В начальный момент Черепаха находится в точке $(0;0)$ и направлена вверх.
Команда Повтори 6 [Вперёд 19 Направо 90 Вперёд 22 Направо 90] трижды обводит прямоугольник с вершинами $(0;0)$, $(0;19)$, $(22;19)$, $(22;0)$.
Первый прямоугольник занимает область
$0\leq x\leq22$,
$0\leq y\leq19$.
После выполнения цикла Черепаха возвращается в точку $(0;0)$ и снова направлена вверх.
С поднятым хвостом она перемещается: $(0;0)\rightarrow(0;3)\rightarrow(1;3)$.
После команды Налево 90 Черепаха направлена вверх.
Команда Повтори 6 [Вперёд 85 Направо 90 Вперёд 82 Направо 90] трижды обводит прямоугольник с вершинами $(1;3)$, $(1;88)$, $(83;88)$, $(83;3)$.
Второй прямоугольник занимает область
$1\leq x\leq83$,
$3\leq y\leq88$.
Область пересечения прямоугольников задаётся условиями
$1\leq x\leq22$,
$3\leq y\leq19$.
Её ширина равна $22-1=21$, а высота равна $19-3=16$.
Периметр области пересечения: $P=2(21+16)=74$.
20
Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат.
Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм:
Повтори 9 [Вперёд 29 Направо 90 Вперёд 17 Направо 90]
Поднять хвост
Вперёд 5 Направо 90 Вперёд 1 Налево 90
Опустить хвост
Повтори 9 [Вперёд 64 Направо 90 Вперёд 48 Направо 90]
Определите периметр области пересечения фигур, ограниченных заданными алгоритмом линиями.
В начальный момент Черепаха находится в точке $(0;0)$ и направлена вверх.
Команда Повтори 9 [Вперёд 29 Направо 90 Вперёд 17 Направо 90] строит прямоугольник со сторонами $29$ и $17$. Он имеет вершины $(0;0)$, $(0;29)$, $(17;29)$, $(17;0)$.
Первый прямоугольник занимает область
$0\leq x\leq17$,
$0\leq y\leq29$.
За два повторения Черепаха полностью обходит прямоугольник и возвращается в исходное положение. После девяти повторений она находится в точке $(17;29)$ и направлена вниз.
При поднятом хвосте Черепаха перемещается: $(17;29)\rightarrow(17;24)\rightarrow(16;24)$.
После команды Налево 90 она направлена вниз.
Команда Повтори 9 [Вперёд 64 Направо 90 Вперёд 48 Направо 90] строит второй прямоугольник с вершинами $(16;24)$, $(16;-40)$, $(-32;-40)$, $(-32;24)$.
Второй прямоугольник занимает область
$-32\leq x\leq16$,
$-40\leq y\leq24$.
Область пересечения прямоугольников задаётся условиями
$0\leq x\leq16$,
$0\leq y\leq24$.
Ширина области пересечения равна $16-0=16$, а высота равна $24-0=24$.
Периметр области пересечения: $P=2(16+24)=80$.
20
Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат.
Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм.
Повтори 3 [Вперёд 33 Направо 90 Вперёд 41 Направо 90]
Поднять хвост
Вперёд 27 Направо 90 Вперёд 19 Налево 90
Опустить хвост
Повтори 3 [Вперёд 24 Направо 90 Вперёд 35 Направо 90]
Определите, сколько точек с целочисленными координатами находят внутри объединения фигур, ограниченного заданным алгоритмом линиями, включая точки на линиях.
В начальный момент Черепаха находится в точке $(0;0)$ и направлена вверх.
Команда Повтори 3 [Вперёд 33 Направо 90 Вперёд 41 Направо 90] строит прямоугольник с вершинами $(0;0)$, $(0;33)$, $(41;33)$, $(41;0)$.
Третье повторение повторно проводит две стороны прямоугольника. Первый прямоугольник занимает область
$0\leq x\leq41$,
$0\leq y\leq33$.
Количество точек с целочисленными координатами внутри него, включая границу: $(41+1)(33+1)=42\cdot34=1428$.
После выполнения цикла Черепаха находится в точке $(41;33)$ и направлена вниз.
При поднятом хвосте она перемещается: $(41;33)\rightarrow(41;6)\rightarrow(22;6)$.
После команды Налево 90 Черепаха направлена вниз.
Команда Повтори 3 [Вперёд 24 Направо 90 Вперёд 35 Направо 90] строит второй прямоугольник с вершинами $(22;6)$, $(22;-18)$, $(-13;-18)$, $(-13;6)$.
Второй прямоугольник занимает область
$-13\leq x\leq22$,
$-18\leq y\leq6$.
Количество точек с целочисленными координатами внутри него, включая границу: $(35+1)(24+1)=36\cdot25=900$.
Область пересечения прямоугольников задаётся условиями
$0\leq x\leq22$,
$0\leq y\leq6$.
В пересечении имеется $22-0+1=23$ целых значения координаты $x$ и $6-0+1=7$ целых значений координаты $y$. Поэтому количество точек в пересечении равно $23\cdot7=161$.
При сложении количества точек двух прямоугольников точки пересечения были посчитаны дважды. Следовательно, количество точек в объединении равно $1428+900-161=2167$.
20
Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат.
Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм.
Повтори 3 [Вперёд 32 Направо 90 Вперёд 38 Направо 90]
Поднять хвост
Вперёд 25 Направо 90 Вперёд 21 Налево 90
Опустить хвост
Повтори 3 [Вперёд 29 Направо 90 Назад 18 Направо 90]
Определите, сколько точек с целочисленными координатами находятся внутри объединения фигур, ограниченного заданными алгоритмом линиями, включая точки на линиях.
В начальный момент Черепаха находится в точке $(0;0)$ и направлена вверх.
Команда Повтори 3 [Вперёд 32 Направо 90 Вперёд 38 Направо 90] строит прямоугольник с вершинами $(0;0)$, $(0;32)$, $(38;32)$, $(38;0)$.
После двух повторений прямоугольник полностью построен, а третье повторение ещё раз проводит две его стороны.
Первый прямоугольник занимает область
$0\leq x\leq38$,
$0\leq y\leq32$.
Количество точек с целочисленными координатами внутри него, включая границу: $(38+1)(32+1)=39\cdot33=1287$.
После выполнения цикла Черепаха находится в точке $(38;32)$ и направлена вниз.
С поднятым хвостом она перемещается: $(38;32)\rightarrow(38;7)\rightarrow(17;7)$.
После команды Налево 90 Черепаха направлена вниз.
Команда Повтори 3 [Вперёд 29 Направо 90 Назад 18 Направо 90] строит второй прямоугольник с вершинами $(17;7)$, $(17;-22)$, $(35;-22)$, $(35;7)$.
Второй прямоугольник занимает область
$17\leq x\leq35$,
$-22\leq y\leq7$.
Количество целочисленных точек в нём, включая границу: $(35-17+1)(7-(-22)+1)=19\cdot30=570$.
Пересечение прямоугольников задаётся условиями
$17\leq x\leq35$,
$0\leq y\leq7$.
Количество точек в пересечении: $(35-17+1)(7-0+1)=19\cdot8=152$.
Точки пересечения при сложении были посчитаны дважды, поэтому количество точек в объединении равно $1287+570-152=1705$.
20
Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат.
Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм.
Повтори 7 [Вперёд 83 Направо 90 Вперёд 49 Направо 90]
Поднять хвост
Вперёд 47 Налево 90 Вперёд 19 Налево 90
Опустить хвост
Повтори 5 [Вперёд 64 Налево 90 Вперёд 35 Налево 90]
Определите, сколько точек с целочисленными координатами находятся внутри объединения фигур, ограниченного заданным алгоритмом линиями, включая точки на линиях.
В начальный момент Черепаха находится в точке $(0;0)$ и направлена вверх.
Команда Повтори 7 [Вперёд 83 Направо 90 Вперёд 49 Направо 90] строит прямоугольник с вершинами $(0;0)$, $(0;83)$, $(49;83)$, $(49;0)$.
Первые два повторения полностью строят прямоугольник, а остальные повторения проходят по уже построенным сторонам. После семи повторений Черепаха находится в точке $(49;83)$ и направлена вниз.
Первый прямоугольник занимает область
$0\leq x\leq49$,
$0\leq y\leq83$.
Количество целочисленных точек в нём, включая границу: $(49-0+1)(83-0+1)=50\cdot84=4200$.
При поднятом хвосте Черепаха перемещается: $(49;83)\rightarrow(49;36)\rightarrow(68;36)$.
После второй команды Налево 90 Черепаха направлена вверх.
Команда Повтори 5 [Вперёд 64 Налево 90 Вперёд 35 Налево 90] строит второй прямоугольник с вершинами $(68;36)$, $(68;100)$, $(33;100)$, $(33;36)$.
Второй прямоугольник занимает область
$33\leq x\leq68$,
$36\leq y\leq100$.
Количество целочисленных точек в нём, включая границу: $(68-33+1)(100-36+1)=36\cdot65=2340$.
Пересечение прямоугольников задаётся условиями
$33\leq x\leq49$,
$36\leq y\leq83$.
Количество точек в пересечении: $(49-33+1)(83-36+1)=17\cdot48=816$.
Точки пересечения были посчитаны дважды, поэтому количество точек в объединении равно $4200+2340-816=5724$.
20
Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат.
Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм.
Повтори 2 [Вперёд 10 Направо 90 Вперёд 20 Направо 90]
Поднять хвост
Вперёд 5 Направо 90 Вперёд 9 Налево 90
Опустить хвост
Повтори 2 [Вперёд 10 Направо 90 Вперёд 15 Направо 90]
Определите площадь объединения фигур, ограниченного заданными алгоритмом линиями.
В начальный момент Черепаха находится в точке $(0;0)$ и направлена вверх.
После выполнения команды Повтори 2 [Вперёд 10 Направо 90 Вперёд 20 Направо 90] будет построен прямоугольник с вершинами $(0;0)$, $(0;10)$, $(20;10)$, $(20;0)$.
Его площадь равна $S_1=10\cdot20=200$.
После построения первого прямоугольника Черепаха возвращается в точку $(0;0)$ и направлена вверх.
С поднятым хвостом она перемещается: $(0;0)\rightarrow(0;5)\rightarrow(9;5)$.
После команды Налево 90 Черепаха направлена вверх.
Команда Повтори 2 [Вперёд 10 Направо 90 Вперёд 15 Направо 90] строит второй прямоугольник с вершинами $(9;5)$, $(9;15)$, $(24;15)$, $(24;5)$.
Его площадь равна $S_2=10\cdot15=150$.
Область пересечения прямоугольников задаётся условиями
$9\leq x\leq20$,
$5\leq y\leq10$.
Ширина пересечения равна $20-9=11$, высота — $10-5=5$. Поэтому площадь пересечения: $S_{\text{пер}}=11\cdot5=55$.
Площадь объединения фигур: $S=S_1+S_2-S_{\text{пер}}=200+150-55=295$.
20
Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат.
Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм.
Повтори 2 [Вперёд 14 Налево 270 Назад 12 Направо 90]
Поднять хвост
Вперёд 9 Направо 90 Назад 7 Налево 90
Опустить хвост
Повтори 2 [Вперёд 13 Направо 90 Вперёд 6 Направо 90]
Определите, сколько точек с целочисленными координатами находятся внутри объединения фигур, ограниченного заданными алгоритмом линиями, включая точки на линиях.
В начальный момент Черепаха находится в точке $(0;0)$ и направлена вверх.
Команда Повтори 2 [Вперёд 14 Налево 270 Назад 12 Направо 90] строит прямоугольник с вершинами $(0;0)$, $(0;14)$, $(-12;14)$, $(-12;0)$.
Количество точек с целочисленными координатами внутри первого прямоугольника, включая его границу: $(12+1)(14+1)=13\cdot15=195$.
После построения первого прямоугольника Черепаха возвращается в точку $(0;0)$ и направлена вверх.
С поднятым хвостом она перемещается: $(0;0)\rightarrow(0;9)\rightarrow(-7;9)$.
После команды Налево 90 Черепаха снова направлена вверх.
Команда Повтори 2 [Вперёд 13 Направо 90 Вперёд 6 Направо 90] строит второй прямоугольник с вершинами $(-7;9)$, $(-7;22)$, $(-1;22)$, $(-1;9)$.
Количество точек с целочисленными координатами внутри второго прямоугольника, включая его границу: $(6+1)(13+1)=7\cdot14=98$.
Прямоугольники пересекаются в области
$-7\leq x\leq-1$,
$9\leq y\leq14$.
В пересечении находится $7$ целых значений координаты $x$ и $6$ целых значений координаты $y$: $7\cdot6=42$.
При сложении количества точек двух прямоугольников точки пересечения были учтены дважды, поэтому количество точек в объединении равно $195+98-42=251$.
20
Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат.
Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм:
Повтори 6 [Вперёд 24 Направо 90 Вперёд 30 Направо 90]
Поднять хвост
Вперёд 2 Направо 90 Вперёд 10 Налево 90
Опустить хвост
Повтори 6 [Вперёд 75 Направо 90 Вперёд 71 Направо 90]
Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри объединения фигур, ограниченных заданными алгоритмом линиями, включая точки на границах этого объединения.
В начальный момент Черепаха находится в точке $(0;0)$ и направлена вверх.
Команда Повтори 6 [Вперёд 24 Направо 90 Вперёд 30 Направо 90] трижды обводит прямоугольник с вершинами $(0;0)$, $(0;24)$, $(30;24)$, $(30;0)$.
Количество целочисленных точек внутри первого прямоугольника, включая границу: $(30+1)(24+1)=31\cdot25=775$.
После выполнения цикла Черепаха возвращается в точку $(0;0)$ и направлена вверх.
При поднятом хвосте она перемещается: $(0;0)\rightarrow(0;2)\rightarrow(10;2)$.
После команды Налево 90 Черепаха снова направлена вверх.
Команда Повтори 6 [Вперёд 75 Направо 90 Вперёд 71 Направо 90] трижды обводит второй прямоугольник с вершинами $(10;2)$, $(10;77)$, $(81;77)$, $(81;2)$.
Количество целочисленных точек внутри второго прямоугольника, включая границу: $(71+1)(75+1)=72\cdot76=5472$.
Прямоугольники пересекаются в области
$10\leq x\leq30$,
$2\leq y\leq24$.
В пересечении находится $30-10+1=21$ целое значение координаты $x$ и $24-2+1=23$ целых значения координаты $y$.
Количество точек в пересечении: $21\cdot23=483$.
При сложении точек двух прямоугольников точки пересечения были учтены дважды. Поэтому количество точек в объединении равно $775+5472-483=5764$.
20
Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат.
Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм:
Повтори 9 [Вперёд 22 Направо 90 Вперёд 6 Направо 90]
Поднять хвост
Вперёд 1 Направо 90 Вперёд 5 Налево 90
Опустить хвост
Повтори 9 [Вперёд 53 Направо 90 Вперёд 75 Направо 90]
Определите периметр области пересечения фигур, ограниченных заданными алгоритмом линиями.
В начальный момент Черепаха находится в точке $(0;0)$ и направлена вверх.
Команда Повтори 9 [Вперёд 22 Направо 90 Вперёд 6 Направо 90] строит прямоугольник со сторонами $22$ и $6$. Его вершины: $(0;0)$, $(0;22)$, $(6;22)$, $(6;0)$.
Первый прямоугольник занимает область
$0\leq x\leq6$,
$0\leq y\leq22$.
После восьми повторений Черепаха возвращается в точку $(0;0)$ и направлена вверх. После девятого повторения она оказывается в точке $(6;22)$ и направлена вниз.
С поднятым хвостом Черепаха перемещается: $(6;22)\rightarrow(6;21)\rightarrow(1;21)$.
После команды Налево 90 Черепаха направлена вниз.
Команда Повтори 9 [Вперёд 53 Направо 90 Вперёд 75 Направо 90] строит второй прямоугольник с вершинами $(1;21)$, $(1;-32)$, $(-74;-32)$, $(-74;21)$.
Второй прямоугольник занимает область
$-74\leq x\leq1$,
$-32\leq y\leq21$.
Область пересечения прямоугольников задаётся условиями
$0\leq x\leq1$,
$0\leq y\leq21$.
Ширина области пересечения равна $1-0=1$, а высота равна $21-0=21$.
Периметр области пересечения: $P=2(1+21)=44$.
20
Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат.
Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм:
Повтори 4 [Вперёд 23 Направо 90 Вперёд 16 Направо 90]
Поднять хвост
Вперёд 1 Направо 90 Вперёд 3 Налево 90
Опустить хвост
Повтори 4 [Вперёд 60 Направо 90 Вперёд 84 Направо 90]
Определите периметр области пересечения фигур, ограниченных заданными алгоритмом линиями.
В начальный момент Черепаха находится в точке $(0;0)$ и направлена вверх.
Команда Повтори 4 [Вперёд 23 Направо 90 Вперёд 16 Направо 90] дважды обводит прямоугольник с вершинами $(0;0)$, $(0;23)$, $(16;23)$, $(16;0)$.
Первый прямоугольник занимает область
$0\leq x\leq16$,
$0\leq y\leq23$.
После выполнения цикла Черепаха возвращается в точку $(0;0)$ и снова направлена вверх.
При поднятом хвосте она перемещается: $(0;0)\rightarrow(0;1)\rightarrow(3;1)$.
После команды Налево 90 Черепаха снова направлена вверх.
Команда Повтори 4 [Вперёд 60 Направо 90 Вперёд 84 Направо 90] дважды обводит второй прямоугольник с вершинами $(3;1)$, $(3;61)$, $(87;61)$, $(87;1)$.
Второй прямоугольник занимает область
$3\leq x\leq87$,
$1\leq y\leq61$.
Область пересечения прямоугольников задаётся условиями
$3\leq x\leq16$,
$1\leq y\leq23$.
Ширина области пересечения равна $16-3=13$, а высота равна $23-1=22$.
Периметр области пересечения: $P=2(13+22)=70$.
20
Исполнитель Чертёжник передвигается по плоскости и оставляет след в виде линии.
Чертёжник выполнил следующую программу:
Вектор $(5,1)$ Вектор $(-2,10)$ Точка $(0,0)$
Определите площадь фигуры, полученной при этом построении. В ответе запишите целую часть числа, полученного при умножении найденной площади на $100$.
В начальный момент Чертёжник находится в точке $(0;0)$.
После команды Вектор $(5,1)$ он перемещается в точку $(0;0)+(5;1)=(5;1)$.
После команды Вектор $(-2,10)$ он перемещается в точку $(5;1)+(-2;10)=(3;11)$.
Команда Точка $(0,0)$ возвращает Чертёжника в начало координат.
Полученная фигура — треугольник с вершинами $(0;0)$, $(5;1)$, $(3;11)$.
Его площадь найдём с помощью определителя: $S=\dfrac12\left|5\cdot11-1\cdot3\right|=\dfrac12\cdot52=26$.
Умножим найденную площадь на $100$: $26\cdot100=2600$.
Целая часть полученного числа равна $2600$.
20
Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии.
Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:
НАЧАЛО
Сместиться на $(90,-40)$
ПОВТОРИ $N$ РАЗ
Сместиться на $(a,b)$
Сместиться на $(18,14)$
КОНЕЦ ПОВТОРИ
Сместиться на $(-9,-2)$
Сместиться на $(-6,-3)$
Конец
Укажите наибольшее возможное значение числа $N$, для которого найдутся такие значения чисел $a$ и $b$, что после выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку.
Суммарное смещение вне цикла равно $(90,-40)+(-9,-2)+(-6,-3)=(75,-45)$.
Следовательно, команды цикла должны обеспечить смещение $(-75,45)$.
За одно повторение цикла Чертёжник смещается на $(a,b)+(18,14)=(a+18,b+14)$.
После $N$ повторений:
$N(a+18)=-75$,
$N(b+14)=45$.
Поскольку $a$ и $b$ — целые числа, $N$ должно быть общим делителем чисел $75$ и $45$. Наибольшее возможное значение: $N=\gcd(75,45)=15$.
Проверим:
$a+18=\dfrac{-75}{15}=-5$, откуда $a=-23$;
$b+14=\dfrac{45}{15}=3$, откуда $b=-11$.
Оба значения целые, поэтому $N=15$ возможно.
20
Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии.
Чертёжнику, находящемуся в начале координат (точке $(0,0)$), был дан для исполнения следующий алгоритм:
Сместиться на $(10,-1)$
Повтори 3 раза
Сместиться на $(-1,3)$
Сместиться на $(-2,-2)$
Конец
После выполнения алгоритма Чертёжник вернулся в исходную точку.
Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри области, ограниченной линией, заданной данным алгоритмом и линией, по которой Чертёжник вернулся в исходную точку. Точки на линии учитывать не следует.
Проследим за перемещением Чертёжника.
Сначала он перемещается из точки $(0,0)$ в точку
$(0,0)+(10,-1)=(10,-1)$.
Далее трижды выполняются две команды:
- Первое повторение:$(10,-1)\rightarrow(9,2)\rightarrow(7,0)$.
- Второе повторение:$(7,0)\rightarrow(6,3)\rightarrow(4,1)$.
- Третье повторение:$(4,1)\rightarrow(3,4)\rightarrow(1,2)$.
Затем Чертёжник возвращается по прямой из точки $(1,2)$ в исходную точку $(0,0)$.
Получена фигура с вершинами $(0,0)$, $(10,-1)$, $(9,2)$, $(7,0)$, $(6,3)$, $(4,1)$, $(3,4)$, $(1,2)$.
Найдём её площадь по формуле площади многоугольника: $S=\dfrac{|69-24|}{2}=\dfrac{45}{2}=22{,}5$.
Для применения формулы Пика определим количество целочисленных точек на границе. Для отрезка с приращениями $(\Delta x,\Delta y)$ количество промежутков между целочисленными точками равно $\gcd(|\Delta x|,|\Delta y|)$.
Для сторон фигуры получаем: $1+1+2+1+2+1+2+1=11$.
Таким образом, на границе находится $B=11$ целочисленных точек.
По формуле Пика $S=I+\dfrac{B}{2}-1$, где $I$ — количество целочисленных точек внутри фигуры.
$I=S-\dfrac{B}{2}+1=22{,}5-\dfrac{11}{2}+1=18$.
20
Чертёжнику, находящемуся в начале координат (точке $(0, 0)$), был дан для исполнения следующий алгоритм:
Сместиться на ($5, 6$)
Повтори $3$ раз
Сместиться на ($-1, -2$)
Сместиться на ($3, 3$)
Конец
Сместиться на ($-5, 0$)
После выполнения алгоритма Чертёжник вернулся в исходную точку.
Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри области, ограниченной линией, заданной данным алгоритмом и линией, по которой Чертёжник вернулся в исходную точку. Точки на линии учитывать не следует.
Выпишем последовательно координаты вершин:
- $(0,0)\rightarrow(5,6)$;
- первое повторение:
$(5,6)\rightarrow(4,4)\rightarrow(7,7)$; - второе повторение:
$(7,7)\rightarrow(6,5)\rightarrow(9,8)$; - третье повторение:
$(9,8)\rightarrow(8,6)\rightarrow(11,9)$; - после последней команды:
$(11,9)\rightarrow(6,9)$.
Затем фигура замыкается отрезком от $(6,9)$ до $(0,0)$.
Площадь многоугольника по формуле координат: $S=\dfrac12|356-323|=\dfrac{33}{2}=16{,}5$.
Количество целочисленных точек на границе найдём с помощью суммирования значений $\gcd(|\Delta x|,|\Delta y|)$ для всех сторон: $B=1+1+3+1+3+1+3+5+3=21$.
По формуле Пика $S=I+\dfrac B2-1$, где $I$ — количество целочисленных точек внутри фигуры.
$I=16{,}5-\dfrac{21}{2}+1=7$.
20
Чертёжнику, находящемуся в начале координат (точке $(0, 0)$), был дан для исполнения следующий алгоритм:
Повтори 3 раз
Сместиться на ($4, 0$)
Сместиться на ($0, 3$)
Конец
Сместиться на ($-24, 0$)
После выполнения алгоритма Чертёжник вернулся в исходную точку.
Определите площадь фигуры, ограниченной линией, заданной данным алгоритмом и линией, по которой Чертёжник вернулся в исходную точку.
Выпишем вершины полученной фигуры: $$(0,0)\rightarrow(4,0)\rightarrow(4,3)\rightarrow(8,3)\rightarrow(8,6)\rightarrow(12,6)\rightarrow(12,9)\rightarrow(-12,9)\rightarrow(0,0).$$
По формуле площади многоугольника: $S=\dfrac12|336-84|=\dfrac{252}{2}=126$.
20