Квадратные уравнения: неполные, дискриминант, теорема Виета

Тест по трем темам: неполные квадратные уравнения, дискриминант и формула корней, теорема Виета. Есть задания с ловушками и задания «найдите ошибку» — в них нужно проверить чужое решение. 10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются. Повторить темы можно в уроках «Неполные квадратные уравнения», «Дискриминант и формула корней квадратного уравнения» и «Теорема Виета: прямая и обратная».

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Найдите корни уравнения $-3x^2+147=0$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$x=-\\sqrt{147}$ и $x=\\sqrt{147}$","Только $x=7$","Корней нет","$x=-7$ и $x=7$"],"explanations":["Не разделили на $a$: $x^2=\\dfrac{-147}{-3}=49$, а не $147$","Потерян отрицательный корень: $(-7)^2=49$ тоже","Потерян знак при переносе: $-3x^2=-147$, $x^2=49>0$, а не $x^2=-49$",""],"answer":[3]}},"hints":["Перенесите $c$ и разделите на $a$: какой знак у числа справа в $x^2=\\ldots$?","$-3x^2=-147$, $x^2=49$ — число положительное, корней два.","Ответ: $x=-7$ и $x=7$."],"step":1},{"id":"1","content":"Найдите корни уравнения $-3x^2+27=0$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$x=-\\sqrt{27}$ и $x=\\sqrt{27}$","Только $x=3$","$x=-3$ и $x=3$","Корней нет"],"explanations":["Не разделили на $a$: $x^2=\\dfrac{-27}{-3}=9$, а не $27$","Потерян отрицательный корень: $(-3)^2=9$ тоже","","Потерян знак при переносе: $-3x^2=-27$, $x^2=9>0$, а не $x^2=-9$"],"answer":[2]}},"hints":["Перенесите $c$ и разделите на $a$: какой знак у числа справа в $x^2=\\ldots$?","$-3x^2=-27$, $x^2=9$ — число положительное, корней два.","Ответ: $x=-3$ и $x=3$."],"step":1},{"id":"2","content":"Сопоставьте каждое уравнение и его корни. Один вариант лишний.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$5x^2+45x=0$","$5x^2-45=0$","$5x^2+45=0$"],"items":["$-9$ и $0$","$-3$ и $3$","Корней нет","Только $-9$"]}},"hints":["Где нет свободного члена — выносим $x$ за скобки; где нет члена с $x$ — находим $x^2$.","$5x^2+45x=0$: $5x(x+9)=0$, корни $-9$ и $0$. Остальные — так же: найдите $x^2$ и посмотрите на его знак.","Ответ: $5x^2-45=0$ — $x^2=9$, $x=\\pm3$; $5x^2+45=0$ — $x^2=-9$, корней нет; лишний вариант «Только $-9$» — при делении на $x$ теряется корень $0$."],"step":1},{"id":"2","content":"Сопоставьте каждое уравнение и его корни. Один вариант лишний.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$6x^2-24x=0$","$6x^2-24=0$","$6x^2+24=0$"],"items":["$0$ и $4$","$-2$ и $2$","Корней нет","Только $4$"]}},"hints":["Где нет свободного члена — выносим $x$ за скобки; где нет члена с $x$ — находим $x^2$.","$6x^2-24x=0$: $6x(x-4)=0$, корни $0$ и $4$. Остальные — так же: найдите $x^2$ и посмотрите на его знак.","Ответ: $6x^2-24=0$ — $x^2=4$, $x=\\pm2$; $6x^2+24=0$ — $x^2=-4$, корней нет; лишний вариант «Только $4$» — при делении на $x$ теряется корень $0$."],"step":1},{"id":"3","content":"При каком $m$ уравнение $x^2=m-3$ имеет ровно один корень? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Уравнение $x^2=k$ имеет один корень только при $k=0$.","$m-3=0$.","Ответ: 3."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"3","content":"При каком $m$ уравнение $x^2=m+5$ имеет ровно один корень? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"-5"}},"hints":["Уравнение $x^2=k$ имеет один корень только при $k=0$.","$m+5=0$.","Ответ: -5."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"Сколько корней имеет уравнение $2x^2-3x+4=0$?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["<span>Нельзя определить<br>без решения</span>","Корней нет","Два корня","Один корень"],"explanations":["Число корней определяют по знаку $D$, решать уравнение не нужно","","$D$ посчитан как $b^2+4ac=41$: потерян знак перед $4ac$","Один корень при $D=0$, а здесь $D=-23$"],"answer":[1]}},"hints":["$a=2$, $b=-3$, $c=4$. Найдите $D=b^2-4ac$ и посмотрите на его знак.","$D=(-3)^2-4\\cdot2\\cdot4=9-32=-23<0$.","Ответ: корней нет — горка не касается оси."],"step":1},{"id":"4","content":"Сколько корней имеет уравнение $3x^2+5x+3=0$?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Корней нет","Два корня","<span>Нельзя определить<br>без решения</span>","Один корень"],"explanations":["","$D$ посчитан как $b^2+4ac=61$: потерян знак перед $4ac$","Число корней определяют по знаку $D$, решать уравнение не нужно","Один корень при $D=0$, а здесь $D=-11$"],"answer":[0]}},"hints":["$a=3$, $b=5$, $c=3$. Найдите $D=b^2-4ac$ и посмотрите на его знак.","$D=5^2-4\\cdot3\\cdot3=25-36=-11<0$.","Ответ: корней нет — горка не касается оси."],"step":1},{"id":"5","content":"Решите уравнение $2x^2-5x-12=0$. Запишите меньший корень десятичной дробью. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":["-1,5","-1.5"]}},"hints":["$D=25-4\\cdot2\\cdot(-12)=121$, $\\sqrt D=11$.","$x=\\dfrac{5\\pm11}{4}$: $-1{,}5$ или $4$.","Меньший корень: $-1{,}5$."],"step":1},{"id":"5","content":"Решите уравнение $4x^2-8x-5=0$. Запишите меньший корень десятичной дробью. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":["-0,5","-0.5"]}},"hints":["$D=64-4\\cdot4\\cdot(-5)=144$, $\\sqrt D=12$.","$x=\\dfrac{8\\pm12}{8}$: $-0{,}5$ или $2{,}5$.","Меньший корень: $-0{,}5$."],"step":1},{"id":"6","content":"Решавр вычислил дискриминант уравнения $3x^2-4x-4=0$ так: $D=(-4)^2-4\\cdot3\\cdot4=-32$ — и решил, что корней нет. Найдите ошибку. Верно: $D=$ [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$32$","$28$","$64$","$-64$"],"answer":2}},"hints":["Здесь $c=-4$, а Решавр подставил $4$.","$D=(-4)^2-4\\cdot3\\cdot(-4)=16+48=64$.","Ответ: $D=64>0$, корней два."],"step":1},{"id":"6","content":"Решавр вычислил дискриминант уравнения $2x^2-3x-9=0$ так: $D=(-3)^2-4\\cdot2\\cdot9=-63$ — и решил, что корней нет. Найдите ошибку. Верно: $D=$ [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$27$","$81$","$63$","$-81$"],"answer":1}},"hints":["Здесь $c=-9$, а Решавр подставил $9$.","$D=(-3)^2-4\\cdot2\\cdot(-9)=9+72=81$.","Ответ: $D=81>0$, корней два."],"step":1},{"id":"7","content":"Подберите корни уравнения $x^2+3x-18=0$. Запишите меньший корень. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"-6"}},"hints":["$x_1x_2=-18<0$: корни разных знаков; $x_1+x_2=-3$.","Подходят $-6$ и $3$: сумма $-3$, произведение $-18$.","Меньший корень: -6."],"step":1},{"id":"7","content":"Подберите корни уравнения $x^2-x-20=0$. Запишите меньший корень. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"-4"}},"hints":["$x_1x_2=-20<0$: корни разных знаков; $x_1+x_2=1$.","Подходят $-4$ и $5$: сумма $1$, произведение $-20$.","Меньший корень: -4."],"step":1},{"id":"8","content":"Какое из уравнений имеет корни $8$ и $-3$?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$x^2+5x+24=0$","$x^2-5x+24=0$","$x^2-5x-24=0$","$x^2+5x-24=0$"],"explanations":["Ошибка в обоих знаках: $p=-(x_1+x_2)=-5$, $q=x_1x_2=-24$","Корни разных знаков, поэтому произведение отрицательно: $q=-24$","","Коэффициент при $x$ — это минус сумма корней: $p=-(x_1+x_2)=-5$, а не $5$"],"answer":[2]}},"hints":["$x_1+x_2=8+(-3)=5$, значит $p=-5$.","$x_1x_2=8\\cdot(-3)=-24$, значит $q=-24$.","Ответ: $x^2-5x-24=0$."],"step":1},{"id":"8","content":"Какое из уравнений имеет корни $-7$ и $3$?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$x^2+4x-21=0$","$x^2+4x+21=0$","$x^2-4x-21=0$","$x^2-4x+21=0$"],"explanations":["","Корни разных знаков, поэтому произведение отрицательно: $q=-21$","Коэффициент при $x$ — это минус сумма корней: $p=-(x_1+x_2)=4$, а не $-4$","Ошибка в обоих знаках: $p=-(x_1+x_2)=4$, $q=x_1x_2=-21$"],"answer":[0]}},"hints":["$x_1+x_2=-7+3=-4$, значит $p=4$.","$x_1x_2=-7\\cdot3=-21$, значит $q=-21$.","Ответ: $x^2+4x-21=0$."],"step":1},{"id":"9","content":"Корни уравнения $2x^2+bx+c=0$ равны $3$ и $-2$. Найдите $b$. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"-2"}},"hints":["$x_1+x_2=3+(-2)=1$.","$-\\dfrac b{2}=1$, значит $b=-2$.","Ответ: -2."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Корни уравнения $3x^2+bx+c=0$ равны $2$ и $-5$. Найдите $b$. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["$x_1+x_2=2+(-5)=-3$.","$-\\dfrac b{3}=-3$, значит $b=9$.","Ответ: 9."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решавр для уравнения $2x^2-3x-5=0$ записал: «сумма корней равна $3$, произведение $-5$». В чем ошибка и какие значения верны?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["<span>Неверны оба числа:<br>сумма $1{,}5$,<br>произведение $-2{,}5$</span>","<span>Неверно только<br>произведение:<br>сумма $3$,<br>произведение $-2{,}5$</span>","<span>Неверен знак суммы:<br>сумма $-3$,<br>произведение $-5$</span>","<span>Неверна только сумма:<br>сумма $1{,}5$,<br>произведение $-5$</span>"],"explanations":["","Сумму тоже делят на $a$: $-\\dfrac ba=1{,}5$, а не $3$","Знак суммы у Решавра верный: $-b=3$; ошибка — нет деления на $a=2$","Произведение тоже делят на $a$: $\\dfrac ca=-2{,}5$, а не $-5$"],"answer":[0]}},"hints":["Найдите корни по формуле и сложите их: совпадает ли сумма с $3$?","$D=49$, корни $-1$ и $2{,}5$. Сложите и перемножьте их.","Ответ: Решавр не разделил на $a=2$: $x_1+x_2=-\\dfrac ba=1{,}5$, $x_1x_2=\\dfrac ca=-2{,}5$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решавр для уравнения $5x^2+4x-1=0$ записал: «сумма корней равна $-4$, произведение $-1$». В чем ошибка и какие значения верны?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["<span>Неверна только сумма:<br>сумма $-0{,}8$,<br>произведение $-1$</span>","<span>Неверен знак суммы:<br>сумма $4$,<br>произведение $-1$</span>","<span>Неверно только<br>произведение:<br>сумма $-4$,<br>произведение $-0{,}2$</span>","<span>Неверны оба числа:<br>сумма $-0{,}8$,<br>произведение $-0{,}2$</span>"],"explanations":["Произведение тоже делят на $a$: $\\dfrac ca=-0{,}2$, а не $-1$","Знак суммы у Решавра верный: $-b=-4$; ошибка — нет деления на $a=5$","Сумму тоже делят на $a$: $-\\dfrac ba=-0{,}8$, а не $-4$",""],"answer":[3]}},"hints":["Найдите корни по формуле и сложите их: совпадает ли сумма с $-4$?","$D=36$, корни $-1$ и $0{,}2$. Сложите и перемножьте их.","Ответ: Решавр не разделил на $a=5$: $x_1+x_2=-\\dfrac ba=-0{,}8$, $x_1x_2=\\dfrac ca=-0{,}2$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>