Дискриминант и формула корней квадратного уравнения

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Вычислите дискриминант уравнения $3x^2-5x-2=0$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"49"}},"hints":["$a=3$, $b=-5$, $c=-2$.","$D=(-5)^2-4\\cdot3\\cdot(-2)=25+24$.","Ответ: 49."],"step":1},{"id":"1","content":"Вычислите дискриминант уравнения $2x^2-7x-4=0$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"81"}},"hints":["$a=2$, $b=-7$, $c=-4$.","$D=(-7)^2-4\\cdot2\\cdot(-4)=49+32$.","Ответ: 81."],"step":1},{"id":"2","content":"Решите уравнение $x^2-3x-10=0$. Запишите меньший корень. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"-2"}},"hints":["$D=9-4\\cdot1\\cdot(-10)=49$, $\\sqrt D=7$.","$x=\\dfrac{3\\pm7}{2}$, то есть $x=-2$ или $x=5$.","Меньший корень: $-2$."],"step":1},{"id":"2","content":"Решите уравнение $x^2+x-12=0$. Запишите меньший корень. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"-4"}},"hints":["$D=1-4\\cdot1\\cdot(-12)=49$, $\\sqrt D=7$.","$x=\\dfrac{-1\\pm7}{2}$, то есть $x=-4$ или $x=3$.","Меньший корень: $-4$."],"step":1},{"id":"3","content":"Решите уравнение $4x^2+4x-15=0$. Запишите меньший корень десятичной дробью. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":["-2,5","-2.5"]}},"hints":["$D=16-4\\cdot4\\cdot(-15)=256$, $\\sqrt D=16$.","$x=\\dfrac{-4\\pm16}{8}$, то есть $x=-2{,}5$ или $x=1{,}5$.","Меньший корень: $-2{,}5$."],"step":1},{"id":"3","content":"Решите уравнение $2x^2-x-6=0$. Запишите меньший корень десятичной дробью. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":["-1,5","-1.5"]}},"hints":["$D=1-4\\cdot2\\cdot(-6)=49$, $\\sqrt D=7$.","$x=\\dfrac{1\\pm7}{4}$, то есть $x=-1{,}5$ или $x=2$.","Меньший корень: $-1{,}5$."],"step":1},{"id":"4","content":"Найдите больший из корней уравнения $(x+2)(x-4)=x-4$ и запишите его числом. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Раскроем скобки и перенесем все члены влево: $x^2-3x-4=0$.","$D=9-4\\cdot1\\cdot(-4)=25$, $\\sqrt D=5$.","$x=-1$ или $x=4$; больший корень — 4."],"step":1},{"id":"4","content":"Найдите больший из корней уравнения $(x-1)(x+5)=2x+3$ и запишите его числом. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Раскроем скобки и перенесем все члены влево: $x^2+2x-8=0$.","$D=4-4\\cdot1\\cdot(-8)=36$, $\\sqrt D=6$.","$x=-4$ или $x=2$; больший корень — 2."],"step":1},{"id":"5","content":"При каком $b>0$ уравнение $x^2+bx+9=0$ имеет единственный корень? [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Один корень — это $D=0$.","$D=b^2-4\\cdot1\\cdot9=b^2-36=0$, то есть $b^2=36$.","$b=\\pm6$, по условию $b>0$. Ответ: 6."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"При каком $b>0$ уравнение $x^2+bx+36=0$ имеет единственный корень? [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["Один корень — это $D=0$.","$D=b^2-4\\cdot1\\cdot36=b^2-144=0$, то есть $b^2=144$.","$b=\\pm12$, по условию $b>0$. Ответ: 12."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Решавр решает $3x^2+2x-5=0$ и пишет: «$D=4-4\\cdot3\\cdot5=-56$, корней нет». Подстановка показывает, что у уравнения есть корень. В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Надо было считать $D=4-4\\cdot3+5$","Не нужно возводить $b=2$ в квадрат","Потерян знак $c=-5$: надо $-4\\cdot3\\cdot(-5)$, а не $-4\\cdot3\\cdot5$","Корней нет всегда, когда $a$ и $b$ одного знака"],"explanations":["Умножаются все три числа: $4$, $a$ и $c$ — сложения нет","Квадрат $b$ входит в $D$: $b^2=4$ найден верно","","Число корней определяет знак $D$, а не знаки $a$ и $b$"],"answer":[2]}},"hints":["$c=-5$ отрицательно, поэтому $-4ac=-4\\cdot3\\cdot(-5)=60$.","$D=4+60=64$.","Ошибка: знак $c$ потерян, верно $D=64>0$ — корни есть."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Решавр решает $2x^2-x-10=0$ и пишет: «$D=1-4\\cdot2\\cdot10=-79$, корней нет». Подстановка показывает, что у уравнения есть корень. В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Не нужно возводить $b=-1$ в квадрат","Корней нет всегда, когда $a>0$ и $b<0$","Потерян знак $c=-10$: надо $-4\\cdot2\\cdot(-10)$, а не $-4\\cdot2\\cdot10$","Надо было считать $D=1-4\\cdot2+10$"],"explanations":["Квадрат $b$ входит в $D$: $b^2=1$ найден верно","Число корней определяет знак $D$, а не знаки $a$ и $b$","","Умножаются все три числа: $4$, $a$ и $c$ — сложения нет"],"answer":[2]}},"hints":["$c=-10$ отрицательно, поэтому $-4ac=-4\\cdot2\\cdot(-10)=80$.","$D=1+80=81$.","Ошибка: знак $c$ потерян, верно $D=81>0$ — корни есть."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Решавр решил $2x^2+3x-5=0$ и получил корни $-5$ и $2$. При подстановке уравнение не обращается в верное равенство. Какую ошибку он допустил?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Перепутал порядок корней","Неверно посчитал $D$: должно быть $D=9-40$","Разделил на $2$ вместо $2a=4$","Надо взять $b$ без смены знака: $x=\\dfrac{3\\pm7}{2}$"],"explanations":["Порядок корней не влияет на то, являются ли они корнями","$c=-5<0$, поэтому $-4ac$ положительно, $D=49$ верно","","В формуле стоит $-b$, и Решавр взял его верно; ошибка в знаменателе, где надо $2a$"],"answer":[2]}},"hints":["$D=9-4\\cdot2\\cdot(-5)=49$, $\\sqrt D=7$ — верно.","В знаменателе должно быть $2a=2\\cdot2=4$.","Правильные корни: $-2{,}5$ и $1$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Решавр решил $5x^2+9x-2=0$ и получил корни $-10$ и $1$. При подстановке уравнение не обращается в верное равенство. Какую ошибку он допустил?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Неверно посчитал $D$: должно быть $D=81-40$","Надо взять $b$ без смены знака: $x=\\dfrac{9\\pm11}{2}$","Разделил на $2$ вместо $2a=10$","Перепутал порядок корней"],"explanations":["$c=-2<0$, поэтому $-4ac$ положительно, $D=121$ верно","В формуле стоит $-b$, и Решавр взял его верно; ошибка в знаменателе, где надо $2a$","","Порядок корней не влияет на то, являются ли они корнями"],"answer":[2]}},"hints":["$D=81-4\\cdot5\\cdot(-2)=121$, $\\sqrt D=11$ — верно.","В знаменателе должно быть $2a=2\\cdot5=10$.","Правильные корни: $-2$ и $0{,}2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"В уравнении $ax^2+bx+c=0$ известно, что $a=3$, $c=-2$, а $b$ — любое число. Сколько корней имеет уравнение?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Два корня при любом $b$","Один корень при $b=0$","Зависит от $b$: при $b=0$ корней нет","Нет корней, потому что $a$ и $c$ разных знаков"],"explanations":["","При $b=0$ получаем $D=24\\ne0$; вообще $D=b^2+24\\ge24>0$, корней два","При $b=0$ получаем $D=-4ac>0$: корни есть","Знаки $a$ и $c$ делают $-4ac$ положительным, а $D$ — положительным"],"answer":[0]}},"hints":["$-4ac=-4\\cdot(3)\\cdot(-2)=24>0$.","$b^2\\ge0$, поэтому $D=b^2-4ac>0$ при любом $b$.","Ответ: два корня."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"В уравнении $ax^2+bx+c=0$ известно, что $a=-5$, $c=4$, а $b$ — любое число. Сколько корней имеет уравнение?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Два корня при любом $b$","Один корень при $b=0$","Зависит от $b$: при $b=0$ корней нет","Нет корней, потому что $a$ и $c$ разных знаков"],"explanations":["","При $b=0$ получаем $D=80\\ne0$; вообще $D=b^2+80\\ge80>0$, корней два","При $b=0$ получаем $D=-4ac>0$: корни есть","Знаки $a$ и $c$ делают $-4ac$ положительным, а $D$ — положительным"],"answer":[0]}},"hints":["$-4ac=-4\\cdot(-5)\\cdot(4)=80>0$.","$b^2\\ge0$, поэтому $D=b^2-4ac>0$ при любом $b$.","Ответ: два корня."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Не решая уравнений, распределите их по числу корней.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Два корня","Один корень","Корней нет"],"items":[["$x^2+2x-8=0$","$5x^2+x-2=0$"],["$x^2-10x+25=0$","$9x^2+6x+1=0$"],["$x^2-3x+4=0$","$3x^2+2x+1=0$"]]}},"instruction":"Распределите уравнения по группам","hints":["Для каждого уравнения найдите $D=b^2-4ac$.","$x^2+2x-8=0$: $D=36$; $5x^2+x-2=0$: $D=41$; $x^2-10x+25=0$: $D=0$; $9x^2+6x+1=0$: $D=0$; $x^2-3x+4=0$: $D=-7$; $3x^2+2x+1=0$: $D=-8$.","Ответ: $D>0$ — два корня, $D=0$ — один корень, $D<0$ — корней нет."],"step":1},{"id":"9","content":"Не решая уравнений, распределите их по числу корней.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Два корня","Один корень","Корней нет"],"items":[["$x^2-x-6=0$","$3x^2+4x-2=0$"],["$x^2+14x+49=0$","$4x^2-12x+9=0$"],["$x^2+2x+5=0$","$2x^2-x+3=0$"]]}},"instruction":"Распределите уравнения по группам","hints":["Для каждого уравнения найдите $D=b^2-4ac$.","$x^2-x-6=0$: $D=25$; $3x^2+4x-2=0$: $D=40$; $x^2+14x+49=0$: $D=0$; $4x^2-12x+9=0$: $D=0$; $x^2+2x+5=0$: $D=-16$; $2x^2-x+3=0$: $D=-23$.","Ответ: $D>0$ — два корня, $D=0$ — один корень, $D<0$ — корней нет."],"step":1},{"id":"10","content":"Сопоставьте каждое уравнение и его дискриминант. Один вариант лишний.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$2x^2+3x-2=0$","$2x^2+3x+2=0$","$x^2-6x+9=0$"],"items":["$D=25$","$D=-7$","$D=0$","$D=7$"]}},"hints":["$D=b^2-4ac$; при $c<0$ слагаемое $-4ac$ положительно.","$2x^2+3x-2=0$: $D=9-4\\cdot2\\cdot(-2)=25$; $2x^2+3x+2=0$: $D=9-4\\cdot2\\cdot(2)=-7$; $x^2-6x+9=0$: $D=36-4\\cdot1\\cdot(9)=0$.","Ответ: лишний вариант $D=7$."],"step":1},{"id":"10","content":"Сопоставьте каждое уравнение и его дискриминант. Один вариант лишний.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$3x^2-x-2=0$","$3x^2-x+2=0$","$x^2+8x+16=0$"],"items":["$D=25$","$D=-23$","$D=0$","$D=23$"]}},"hints":["$D=b^2-4ac$; при $c<0$ слагаемое $-4ac$ положительно.","$3x^2-x-2=0$: $D=1-4\\cdot3\\cdot(-2)=25$; $3x^2-x+2=0$: $D=1-4\\cdot3\\cdot(2)=-23$; $x^2+8x+16=0$: $D=64-4\\cdot1\\cdot(16)=0$.","Ответ: лишний вариант $D=23$."],"step":1}]}</textarea></pre></div>