Теорема Виета: прямая и обратная

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Найдите сумму корней уравнения $x^2-12x+27=0$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["Уравнение приведенное, $D=36>0$, корни есть.","$x_1+x_2=-p=12$.","Ответ: 12."],"step":1},{"id":"1","content":"Найдите сумму корней уравнения $x^2+10x+21=0$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"-10"}},"hints":["Уравнение приведенное, $D=16>0$, корни есть.","$x_1+x_2=-p=-10$.","Ответ: -10."],"step":1},{"id":"2","content":"Найдите произведение корней уравнения $4x^2-3x-10=0$ (корни существуют). [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":["-2,5","-2.5"]}},"hints":["$D=9-4\\cdot4\\cdot(-10)=169>0$.","$x_1x_2=\\dfrac ca=\\dfrac{-10}{4}$.","Ответ: $-2{,}5$."],"step":1},{"id":"2","content":"Найдите произведение корней уравнения $4x^2+5x-6=0$ (корни существуют). [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":["-1,5","-1.5"]}},"hints":["$D=25-4\\cdot4\\cdot(-6)=121>0$.","$x_1x_2=\\dfrac ca=\\dfrac{-6}{4}$.","Ответ: $-1{,}5$."],"step":1},{"id":"3","content":"Не решая уравнение $x^2-9x+8=0$, определите знаки корней ($D=49>0$).[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Оба корня отрицательны","Корни разных знаков","Оба корня положительны","Один из корней равен нулю"],"explanations":["Знак суммы корней противоположен знаку $b$: сумма равна $-p$","Произведение положительно: знаки одинаковые","","Свободный член не равен нулю: нуль не корень"],"answer":[2]}},"hints":["$x_1x_2=8>0$: знаки одинаковые.","$x_1+x_2=9$ — знак суммы определяет знак обоих.","Ответ: оба корня положительны."],"step":1},{"id":"3","content":"Не решая уравнение $x^2+9x+8=0$, определите знаки корней ($D=49>0$).[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Оба корня отрицательны","Оба корня положительны","Корни разных знаков","Один из корней равен нулю"],"explanations":["","Знак суммы корней противоположен знаку $b$: сумма равна $-p$","Произведение положительно: знаки одинаковые","Свободный член не равен нулю: нуль не корень"],"answer":[0]}},"hints":["$x_1x_2=8>0$: знаки одинаковые.","$x_1+x_2=-9$ — знак суммы определяет знак обоих.","Ответ: оба корня отрицательны."],"step":1},{"id":"4","content":"Решавр решает $x^2-9x+20=0$: «Сумма корней равна $-9$, произведение $20$, значит корни $-4$ и $-5$». Подстановка показывает, что это не корни. В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Ошибки нет; корни $-4$ и $-5$","Сумма равна $9$; корни $4$ и $5$","Сумма равна $9$; корни $2$ и $10$","Произведение равно $-20$; корни $-4$ и $5$"],"explanations":["Подстановка $x=-4$ дает не ноль: это не корни","","Сумма этих чисел не равна $9$: сумму не проверили","Произведение корней равно $q=20$ без смены знака; а корни этого уравнения — $4$ и $5$"],"answer":[1]}},"hints":["$p=-9$, а сумма корней равна $-p=9$, а не $-9$.","Нужны числа с суммой $9$ и произведением $20$: $4$ и $5$.","Ответ: сумма равна $-p=9$, корни $4$ и $5$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"Решавр решает $x^2+10x+24=0$: «Сумма корней равна $10$, произведение $24$, значит корни $4$ и $6$». Подстановка показывает, что это не корни. В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Произведение равно $-24$; корни $-2$ и $12$","Сумма равна $-10$; корни $3$ и $8$","Сумма равна $-10$; корни $-6$ и $-4$","Ошибки нет; корни $4$ и $6$"],"explanations":["Произведение корней равно $q=24$ без смены знака; а корни этого уравнения — $-6$ и $-4$","Сумма этих чисел не равна $-10$: сумму не проверили","","Подстановка $x=4$ дает не ноль: это не корни"],"answer":[2]}},"hints":["$p=10$, а сумма корней равна $-p=-10$, а не $10$.","Нужны числа с суммой $-10$ и произведением $24$: $-6$ и $-4$.","Ответ: сумма равна $-p=-10$, корни $-6$ и $-4$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Найдите сумму квадратов корней уравнения $x^2-7x+5=0$ (корни существуют, $D=29>0$), не вычисляя самих корней. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"39"}},"hints":["$x_1+x_2=7$, $x_1x_2=5$.","$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=49-2\\cdot5$.","Ответ: 39."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Найдите сумму квадратов корней уравнения $x^2+4x-3=0$ (корни существуют, $D=28>0$), не вычисляя самих корней. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"22"}},"hints":["$x_1+x_2=-4$, $x_1x_2=-3$.","$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=16-2\\cdot(-3)$.","Ответ: 22."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Чему равна сумма корней уравнения $x^2-4x+9=0$?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Корней нет, поэтому суммы нет","$9$","$0$","$4$"],"explanations":["","$q$ — свободный член, а не сумма; к тому же при $D<0$ корней нет","Сумма не равна нулю, она просто не определена: корней нет","Формула $-p$ работает только когда корни существуют: при $D<0$ корней нет"],"answer":[0]}},"hints":["Проверим $D=16-4\\cdot9=-20<0$.","При $D<0$ корней нет, поэтому суммы корней не существует.","Ответ: корней нет, сумма не определена."],"step":1},{"id":"6","content":"Чему равна сумма корней уравнения $x^2+6x+13=0$?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$13$","$-6$","Корней нет, поэтому суммы нет","$0$"],"explanations":["$q$ — свободный член, а не сумма; к тому же при $D<0$ корней нет","Формула $-p$ работает только когда корни существуют: при $D<0$ корней нет","","Сумма не равна нулю, она просто не определена: корней нет"],"answer":[2]}},"hints":["Проверим $D=36-4\\cdot13=-16<0$.","При $D<0$ корней нет, поэтому суммы корней не существует.","Ответ: корней нет, сумма не определена."],"step":1},{"id":"7","content":"[[image-1]]Участок прямоугольной формы занимает $40$ м$^2$; две его соседние стороны вместе дают $14$ м. Чему равна короткая сторона участка, в метрах? [[input-7]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/utn0cafjomiw.svg"},"input-7":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Стороны — корни $t^2-14t+40=0$.","$D=196-160=36$, $t=\\dfrac{14\\pm6}2$.","Меньшая сторона: 4 м."],"step":1},{"id":"7","content":"[[image-2]]Участок прямоугольной формы занимает $54$ м$^2$; две его соседние стороны вместе дают $15$ м. Чему равна короткая сторона участка, в метрах? [[input-8]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/hf8gltvdxtjc.svg"},"input-8":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Стороны — корни $t^2-15t+54=0$.","$D=225-216=9$, $t=\\dfrac{15\\pm3}2$.","Меньшая сторона: 6 м."],"step":1},{"id":"8","content":"Решавр составляет уравнение вида $3x^2+bx+c=0$ с корнями $4$ и $5$ и пишет $3x^2-27x-60=0$. Подстановка $x=4$ дает не ноль. В чем ошибка?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Коэффициент $b$ должен быть $27$: знак суммы не меняется","Коэффициент $b$ должен быть $-9$","Свободный член должен быть $60$","Свободный член должен быть $20$"],"explanations":["Сумма корней равна $-\\dfrac ba$: знак меняется, $b=-a(x_1+x_2)=-27$ — у Решавра верно","$b=-a(x_1+x_2)=-27$: умножать на $a=3$ нужно, у Решавра верно","","$\\dfrac ca=x_1x_2$, поэтому $c=3\\cdot20=60$, а не $20$"],"answer":[2]}},"hints":["$x_1+x_2=-\\dfrac ba$, значит $b=-3\\cdot(9)=-27$ — у Решавра верно.","$x_1x_2=\\dfrac ca$, значит $c=3\\cdot20=60$, а не $-60$.","Верно: $3x^2-27x+60=0$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Решавр составляет уравнение вида $2x^2+bx+c=0$ с корнями $-2$ и $-6$ и пишет $2x^2+16x-24=0$. Подстановка $x=-2$ дает не ноль. В чем ошибка?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Коэффициент $b$ должен быть $-16$: знак суммы не меняется","Свободный член должен быть $12$","Свободный член должен быть $24$","Коэффициент $b$ должен быть $8$"],"explanations":["Сумма корней равна $-\\dfrac ba$: знак меняется, $b=-a(x_1+x_2)=16$ — у Решавра верно","$\\dfrac ca=x_1x_2$, поэтому $c=2\\cdot12=24$, а не $12$","","$b=-a(x_1+x_2)=16$: умножать на $a=2$ нужно, у Решавра верно"],"answer":[2]}},"hints":["$x_1+x_2=-\\dfrac ba$, значит $b=-2\\cdot(-8)=16$ — у Решавра верно.","$x_1x_2=\\dfrac ca$, значит $c=2\\cdot12=24$, а не $-24$.","Верно: $2x^2+16x+24=0$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Подберите корни по теореме Виета и сопоставьте каждое уравнение и его корни. Один вариант лишний.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$x^2-7x+10=0$","$x^2+3x-10=0$","$x^2-3x-10=0$"],"items":["$2$ и $5$","$-5$ и $2$","$-2$ и $5$","$-2$ и $-5$"]}},"hints":["Произведение корней равно $q$, сумма равна $-p$.","$x^2-7x+10=0$: сумма $7$, произведение $10$ — корни $2$ и $5$; $x^2+3x-10=0$: сумма $-3$, произведение $-10$ — корни $-5$ и $2$; $x^2-3x-10=0$: сумма $3$, произведение $-10$ — корни $-2$ и $5$.","Ответ: лишний вариант «$-2$ и $-5$»."],"step":1},{"id":"9","content":"Подберите корни по теореме Виета и сопоставьте каждое уравнение и его корни. Один вариант лишний.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$x^2-11x+18=0$","$x^2+7x-18=0$","$x^2-7x-18=0$"],"items":["$2$ и $9$","$-9$ и $2$","$-2$ и $9$","$-2$ и $-9$"]}},"hints":["Произведение корней равно $q$, сумма равна $-p$.","$x^2-11x+18=0$: сумма $11$, произведение $18$ — корни $2$ и $9$; $x^2+7x-18=0$: сумма $-7$, произведение $-18$ — корни $-9$ и $2$; $x^2-7x-18=0$: сумма $7$, произведение $-18$ — корни $-2$ и $9$.","Ответ: лишний вариант «$-2$ и $-9$»."],"step":1},{"id":"10","content":"Корни уравнения $x^2+px+q=0$ равны $4$ и $-7$. Тогда $p=$ [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$-28$","$11$","$-3$","$3$"],"answer":3}},"hints":["$x_1+x_2=4+(-7)=-3$.","$p=-(x_1+x_2)=3$."],"step":1},{"id":"10","content":"Корни уравнения $x^2+px+q=0$ равны $-2$ и $9$. Тогда $p=$ [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$11$","$-7$","$-18$","$7$"],"answer":1}},"hints":["$x_1+x_2=-2+9=7$.","$p=-(x_1+x_2)=-7$."],"step":1}]}</textarea></pre></div>