8 класс Алгебра Уравнения и системы уравнений Квадратное уравнение и его корни

Дискриминант и формула корней квадратного уравнения

Содержание

Вы уже умеете решать уравнение $x^2=a$ (урок «Квадратное уравнение») и знаете формулу квадрата суммы (урок «Квадрат суммы и квадрат разности»). Сегодня выведем формулу, по которой решается любое квадратное уравнение, и познакомимся с дискриминантом — числом, которое заранее говорит, сколько у уравнения корней.

Подбором корень не найти, а квадрат можно достроить

Попробуем решить уравнение $3x^2+8x-5=0$ подбором. При $x=0$ левая часть равна $-5$, при $x=1$ она равна $3+8-5=6$. Значение сменило знак, значит, где-то между 0 и 1 левая часть обращается в ноль. Но это не целое число, и угадать его не получится. Формулы сокращенного умножения здесь тоже не видны.

Определение

Квадратным уравнением называют уравнение вида $ax^2+bx+c=0$, где $x$ — неизвестное, $a$, $b$, $c$ — числа и $a\ne0$. Число $a$ — старший коэффициент, $b$ — второй коэффициент, $c$ — свободный член.

В уравнении $3x^2+8x-5=0$ старший коэффициент $a=3$, второй $b=8$, свободный член $c=-5$. Знак минус входит в коэффициент: $c=-5$, а не $5$.

Начнем с уравнения попроще. Садовый участок — квадрат со стороной $x$ м. К двум его сторонам пристроили грядки шириной 3 м, и общая площадь стала 40 м². Площадь квадрата $x^2$, каждой грядки $3x$, поэтому $x^2+6x=40$. Фигура почти квадрат: не хватает углового квадрата $3\times3$. Достроим его, то есть прибавим 9 к обеим частям:

$$x^2+6x+9=49,\qquad (x+3)^2=49$$

Теперь это уравнение вида $t^2=49$, где $t=x+3$. Значит, $x+3=7$ или $x+3=-7$, то есть $x=4$ или $x=-10$. Сторона участка не бывает отрицательной, поэтому она равна 4 м, а у самого уравнения два корня: $-10$ и $4$.

Сад: квадрат x на x и две грядки 3 на x; не хватает углового квадрата 3 на 3, прибавив 9, получаем квадрат со стороной x + 3 — Квадрат и две грядки — это x² + 6x; угловой квадрат 3 × 3 достраивает фигуру до квадрата (x + 3)²

Интересный факт: так решали больше тысячи лет назад

Скрыть

В IX веке ученый из Хорезма Мухаммад аль-Хорезми в книге об «аль-джабре» решал задачу «квадрат и десять корней равны тридцати девяти», то есть $x^2+10x=39$. Он рисовал квадрат, пристраивал к нему прямоугольники и достраивал угловой квадрат площадью 25: получалось $(x+5)^2=64$ и $x=3$. Отрицательные корни тогда не рассматривали. От слова «аль-джабр» произошло слово «алгебра».

{"questions":[{"content":"Чтобы выражение $x^2+14x$ стало квадратом суммы, к нему нужно прибавить [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$7$","$14$","$49$","$196$"],"answer":2}},"hints":["$14x$ — это два прямоугольника $x\\times7$, приложенные к квадрату $x\\times x$.","Не хватает углового квадрата $7\\times7$: $x^2+14x+49=(x+7)^2$.","Ответ: $49$."],"step":1},{"content":"Приведите уравнение $5-2x+3x^2=0$ к виду $ax^2+bx+c=0$. Чему равен коэффициент $b$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-2"}},"hints":["Расположим члены по убыванию степеней: $3x^2-2x+5=0$.","Коэффициент перед $x$ — это $-2$, знак входит в коэффициент.","Ответ: $-2$."],"step":1}],"mix":1}

Тот же прием в общем виде дает формулу корней

Повторим шаги сада для уравнения $ax^2+bx+c=0$. Разделим обе части на $a$ (это можно, ведь $a\ne0$) и перенесем свободный член вправо: $x^2+\frac ba x=-\frac ca$. Слева квадрат со стороной $x$ и две грядки шириной $\frac{b}{2a}$. Достроим угловой квадрат — прибавим к обеим частям $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$:

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$

Тот же чертеж с буквами: сторона квадрата x + b/2a, площадь равна (b² − 4ac) / 4a² после переноса — Тот же чертеж с буквами: грядки шириной b/2a, угловой квадрат (b/2a)², справа — число (b² − 4ac)/4a²

Подробный вывод

Скрыть

$ax^2+bx+c=0$. Делим на $a$: $x^2+\frac ba x+\frac ca=0$, то есть $x^2+2\cdot x\cdot\frac{b}{2a}=-\frac ca$.

Прибавляем $\frac{b^2}{4a^2}$: слева $x^2+2\cdot x\cdot\frac{b}{2a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$ — квадрат суммы. Справа $\frac{b^2}{4a^2}-\frac ca=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$.

Если $b^2-4ac\ge0$, то $x+\frac{b}{2a}=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ или $x+\frac{b}{2a}=-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. Отсюда $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. При $a<0$ корень из $4a^2$ равен $-2a$, но знак $\pm$ дает те же два числа.

Знаменатель $4a^2$ всегда положителен. Поэтому, есть ли у уравнения корни, решает только числитель $b^2-4ac$: квадрат не может равняться отрицательному числу.

Определение

Дискриминантом квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$ называют число

$$D=b^2-4ac$$

Правило

Если $D\ge0$, корни квадратного уравнения находят по формуле

$$x_1=\frac{-b-\sqrt D}{2a},\qquad x_2=\frac{-b+\sqrt D}{2a}$$

В числителе стоит число, противоположное $b$, в знаменателе — удвоенный старший коэффициент $2a$.

Пример

Задача. Решите уравнение $3x^2+8x-5=0$.

Решение. $a=3$, $b=8$, $c=-5$. Дискриминант: $D=8^2-4\cdot3\cdot(-5)=64+60=124$. Он положителен, корни есть. $\sqrt{124}=\sqrt{4\cdot31}=2\sqrt{31}$.

$$x=\frac{-8\pm2\sqrt{31}}{2\cdot3}=\frac{-4\pm\sqrt{31}}{3}$$

Так как $\sqrt{31}\approx5{,}57$, корни примерно равны $-3{,}19$ и $0{,}52$. Второй корень лежит между 0 и 1 — как и показал подбор в начале урока.

Ответ: $x_1=\frac{-4-\sqrt{31}}{3}$; $x_2=\frac{-4+\sqrt{31}}{3}$.

Ошибка

Как ошибаются. В уравнении $x^2-x-2=0$ пишут $D=1-4\cdot1\cdot2=1-8=-7$ и делают вывод: корней нет.

Проверка на числах. Подставим $x=2$: $2^2-2-2=0$. Подставим $x=-1$: $1+1-2=0$. Корни есть, значит, $D$ найден неверно.

Где ломается рассуждение. Свободный член здесь $c=-2$, а не $2$. Произведение $-4\cdot1\cdot(-2)=8$ положительно, поэтому $D=1+8=9$, $\sqrt D=3$ и $x=\frac{1\pm3}{2}$, то есть $-1$ и $2$. Подставляйте $b$ и $c$ вместе со знаками и в скобках: при $c<0$ слагаемое $-4ac$ становится положительным.

Ошибка со знаком c: у уравнения x² − x − 2 = 0 горка пересекает ось в точках −1 и 2, а D = 9; D = −7 получен потерей знака — Потерян знак c — получилось D = −7 и «корней нет», а горка для x² − x − 2 пересекает ось в точках −1 и 2

{"questions":[{"content":"Решавр решает $x^2+3x-10=0$ и пишет: «$D=3^2-4\\cdot1\\cdot10=9-40=-31$, корней нет». Но $2^2+3\\cdot2-10=0$, значит, число $2$ — корень. В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["При $c<0$ дискриминант считают как $b^2+4ac$","Потерян знак $c$: в $-4ac$ получается $+40$, а не $-40$","Надо было взять $b^2=-3^2=-9$","Ошибки нет: при $D<0$ число $2$ не может быть корнем"],"explanations":["Формула одна: $b^2-4ac$. По «формуле» $b^2+4ac$ снова вышло бы $9-40=-31$","","Квадрат числа не бывает отрицательным: $b^2=3^2=9$ найден верно","Подстановка дает $4+6-10=0$, значит, $2$ — корень и ошибка в вычислении $D$"],"answer":[1]}},"hints":["Здесь $c=-10$, а не $10$.","$-4ac=-4\\cdot1\\cdot(-10)=40$, поэтому $D=9+40=49$.","Ошибка: потерян знак $c$; корни $-5$ и $2$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Вычислите дискриминант уравнения $2x^2+x-3=0$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"25"}},"hints":["Здесь $a=2$, $b=1$, $c=-3$.","$D=b^2-4ac=1^2-4\\cdot2\\cdot(-3)=1+24$.","Ответ: 25."],"step":1}],"mix":1}

Знак дискриминанта показывает, сколько корней

Сравним три уравнения, которые отличаются только свободным членом: $x^2+4x+3=0$, $x^2+4x+4=0$ и $x^2+4x+7=0$. Достроим квадрат, как в саду: $x^2+4x+4=(x+2)^2$, поэтому каждое уравнение превращается в $(x+2)^2=4-c$.

Уравнение	$(x+2)^2=4-c$	$D=16-4c$	Корни
$x^2+4x+3=0$	$(x+2)^2=1$	$4$	$-3$ и $-1$
$x^2+4x+4=0$	$(x+2)^2=0$	$0$	$-2$
$x^2+4x+7=0$	$(x+2)^2=-3$	$-12$	корней нет

В третьей строке квадрат числа должен равняться $-3$, а квадрат не бывает отрицательным. Поэтому у уравнения $x^2+4x+7=0$ нет корней — и это видно по знаку $D=-12$, решать уравнение не нужно.

Подсказку дает горка. Будем подставлять в выражение $x^2+4x+c$ разные $x$ и отмечать точки $(x;\,\text{значение})$ — получится кривая-горка. Корни уравнения — это $x$, при которых горка находится на уровне оси, где значение равно нулю. Самая низкая точка горки, вершина, лежит при $x=-2$ на высоте $c-4$. При $c=3$ вершина ниже оси, и горка пересекает ее дважды. При $c=4$ вершина лежит на оси. При $c=7$ вершина выше оси, и горка до оси не доходит. Такие кривые подробно изучают позже, здесь горка — только подсказка.

Три горки y = x² + 4x + c при c = 3, 4, 7: два корня при D > 0, один при D = 0, ни одного при D < 0 — Одна ось, три горки: D > 0 — два пересечения, D = 0 — касание в вершине, D < 0 — горка не доходит до оси

Правило

Число корней квадратного уравнения определяет знак дискриминанта:

если $D>0$ — два корня;
если $D=0$ — один корень;
если $D<0$ — корней нет.

Если $D<0$, в ответе пишут: «Корней нет».

Обратите внимание

Если старший коэффициент отрицателен, горка перевернута: вершина — самая высокая точка. Правило от этого не меняется. Например, у $-x^2+2x+3=0$ дискриминант $D=4-4\cdot(-1)\cdot3=4+12=16>0$, корней два: $-1$ и $3$. Смотрите только на знак $D$, а не на знак $a$. Здесь $a$ и $c$ разных знаков, поэтому $-4ac>0$ и $D=b^2-4ac>0$ при любом $b$: такое уравнение всегда имеет два корня.

Проверьте связь сами. Меняйте второй коэффициент и свободный член и следите, как поднимается и опускается горка и что происходит со знаком $D$.

gorka-diskriminant

{"questions":[{"content":"Для некоторого квадратного уравнения получили $D=-7$. Сколько у него корней?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Корней нет","Один корень, равный $-7$","Один корень","Два корня"],"explanations":["","$D$ — не корень уравнения, а число под знаком корня в формуле","Один корень бывает при $D=0$, а не при отрицательном $D$","Если взять модуль $D$, ответ неверен: при $D<0$ число $\\sqrt D$ не существует, корней нет"],"answer":[0]}},"hints":["Под знаком корня в формуле стоит $D$.","Квадратный корень из отрицательного числа в действительных числах не существует.","Ответ: корней нет."],"step":1},{"content":"Распределите уравнения по числу корней.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Два корня","Один корень","Корней нет"],"items":[["$x^2-5x+4=0$","$3x^2+x-1=0$"],["$x^2+18x+81=0$","$4x^2+4x+1=0$"],["$x^2+x+3=0$","$2x^2-3x+5=0$"]]}},"instruction":"Распределите уравнения по группам","hints":["Для каждого уравнения найдите $D=b^2-4ac$; решать уравнение не нужно.","$x^2-5x+4=0$: $D=9$; $3x^2+x-1=0$: $D=13$; $x^2+18x+81=0$: $D=0$; $4x^2+4x+1=0$: $D=0$; $x^2+x+3=0$: $D=-11$; $2x^2-3x+5=0$: $D=-31$.","Ответ: $D>0$ — два корня, $D=0$ — один корень, $D<0$ — корней нет."],"step":1},{"content":"Сколько корней имеет уравнение $-2x^2+x+3=0$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Один корень","Нет корней","Два корня","Бесконечно много"],"explanations":["Один корень при $D=0$, а здесь $D=25$","Отрицательный $a$ не означает $D<0$: знак $D$ определяют числа $b^2$ и $-4ac$","","У квадратного уравнения не больше двух корней"],"answer":[2]}},"hints":["$a=-2$, $b=1$, $c=3$.","$D=1-4\\cdot(-2)\\cdot3=1+24=25>0$.","Ответ: два корня."],"step":1}],"mix":1}

Решение по формуле — три шага и проверка

Соберем все вместе. Формула работает, только если уравнение записано в виде $ax^2+bx+c=0$ — с нулем в правой части. Иначе числа $b$ и $c$ будут взяты с неверными знаками.

Правило

Шаг 1. Перенесите все члены в левую часть и выпишите $a$, $b$, $c$ со знаками.

Шаг 2. Вычислите $D=b^2-4ac$.

Шаг 3. По знаку $D$: если $D<0$, запишите «Корней нет»; если $D=0$, корень один: по формуле $x=\frac{-b\pm0}{2a}=-\frac{b}{2a}$; если $D>0$, найдите два корня по формуле.

Проверка. Подставьте корни в исходное уравнение.

Алгоритм решения: 1 выписать a, b, c; 2 найти D = b² − 4ac; 3 по знаку D выбрать ответ; затем проверка подстановкой — Три шага и проверка: a, b, c → D → по знаку D ответ; в знаменателе формулы всегда 2a

Пример

Задача. Решите уравнение $5x^2=3x+2$.

Шаг 1. Перенесем члены влево: $5x^2-3x-2=0$. Здесь $a=5$, $b=-3$, $c=-2$.

Шаг 2. $D=(-3)^2-4\cdot5\cdot(-2)=9+40=49$.

Шаг 3. $D>0$, корней два, $\sqrt D=7$:

$$x=\frac{3\pm7}{2\cdot5}=\frac{3\pm7}{10},\qquad x_1=-0{,}4,\quad x_2=1$$

Проверка. При $x=1$: $5\cdot1=5$ и $3\cdot1+2=5$. При $x=-0{,}4$: $5\cdot0{,}16=0{,}8$ и $3\cdot(-0{,}4)+2=0{,}8$. Оба равенства верны.

Ответ: $x_1=-0{,}4$; $x_2=1$.

Ошибка

Как ошибаются. В примере выше пишут $x=\frac{3\pm7}{2}$ и получают $x=5$ и $x=-2$.

Проверка на числах. Подставим $x=5$: $5\cdot25=125$, а $3\cdot5+2=17$. Равенство неверно, число 5 не корень.

Где ломается рассуждение. В знаменателе стоит $2a=10$, а делили только на 2: старший коэффициент $a=5$ потеряли. Делить на 2 можно, только когда $a=1$.

{"questions":[{"content":"Расставьте действия при решении квадратного уравнения в верном порядке.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Выписать $a$, $b$, $c$ (все члены — в левой части)","Вычислить по этим коэффициентам $D=b^2-4ac$","По знаку найденного $D$ найти корни или записать «Корней нет»","Подставить найденные корни в исходное уравнение"]}},"hints":["Дискриминант считают по числам $a$, $b$, $c$, поэтому сначала их выписывают.","Сколько корней, решает знак $D$: корни считают только после того, как найден $D$.","Проверить можно только найденные корни, поэтому подстановка — последней."],"step":1},{"content":"Решите уравнение $x^2-2x-15=0$. Запишите больший корень. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["$a=1$, $b=-2$, $c=-15$, $D=4+60=64$, $\\sqrt D=8$.","$x=\\dfrac{2\\pm8}{2}$, то есть $x=-3$ или $x=5$.","Больший корень — 5."],"step":1},{"content":"Решавр решил $2x^2-8x+6=0$. Он нашел $D=64-48=16$ и записал $x=\\dfrac{8\\pm4}{2}$, ответ: $2$ и $6$. Подстановка показывает, что $2$ не корень. Где ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Корень из $D$ равен $16$, а не $4$","Дискриминант надо было считать как $64+48$","В знаменателе надо было записать $2a=4$, а не $2$","Перед $8$ надо было поставить минус: $x=\\dfrac{-8\\pm4}{2}$"],"explanations":["$16$ — это $D$, а в формулу входит $\\sqrt D=4$","$c=6>0$, поэтому $-4ac=-48$: $D=64-48$ посчитан верно","","Перед $b=-8$ стоит $-b=8$: знак у Решавра правильный"],"answer":[2]}},"hints":["$D=(-8)^2-4\\cdot2\\cdot6=64-48=16$ — это верно.","В знаменателе должно стоять $2a=2\\cdot2=4$, а не $2$.","$x=\\dfrac{8\\pm4}4$, то есть $x=1$ или $x=3$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Когда вершина горки лежит на оси, корень один

Решим уравнение $9x^2-12x+4=0$. Здесь $D=(-12)^2-4\cdot9\cdot4=144-144=0$. По формуле $x=\frac{12\pm0}{18}$: прибавить ноль и вычесть ноль — одно и то же, получается одно число $\frac{12}{18}=\frac23$.

Почему корень действительно один, видно по формуле квадрата разности (урок «Квадрат суммы и квадрат разности»): $9x^2-12x+4=(3x-2)^2$. Уравнение $(3x-2)^2=0$ верно, только если $3x-2=0$, то есть при $x=\frac23$. Проверка: $9\cdot\frac49-12\cdot\frac23+4=4-8+4=0$.

Горка y = 9x² − 12x + 4 касается оси x одной точкой x = 2/3; D = 144 − 144 = 0 — При D = 0 горка касается оси одной точкой — своей вершиной x = −b/2a; второго пересечения нет

Правило

Если $D=0$, квадратное уравнение имеет ровно один корень:

$$x=-\frac{b}{2a}$$

Важно

Говорят «один корень», а не «два одинаковых корня». Корень — это число, при котором равенство верно, а при $D=0$ такое число одно: вершина горки лежит на оси и касается ее в одной точке.

Условие $D=0$ помогает находить неизвестный коэффициент. При каком $c$ уравнение $x^2-12x+c=0$ имеет один корень? Нужно $D=144-4c=0$, откуда $c=36$. Проверка: $x^2-12x+36=(x-6)^2$, единственный корень $x=6$.

{"questions":[{"content":"Если $D=0$, то квадратное уравнение имеет [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["ни одного корня","два корня разных знаков","два разных корня","ровно один корень"],"answer":3}},"hints":["В формуле $x=\\dfrac{-b\\pm\\sqrt D}{2a}$ при $D=0$ обе части совпадают: $x=-\\dfrac b{2a}$.","Ответ: ровно один корень."],"step":1},{"content":"Решите уравнение $4x^2+12x+9=0$. Запишите корень десятичной дробью. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["-1,5","-1.5"]}},"hints":["$D=12^2-4\\cdot4\\cdot9=144-144=0$: корень один.","$x=-\\dfrac{b}{2a}=-\\dfrac{12}{8}$.","Ответ: $-1{,}5$."],"step":1},{"content":"При каком $c$ уравнение $x^2+8x+c=0$ имеет ровно один корень? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"16"}},"hints":["Один корень — это $D=0$.","$D=8^2-4\\cdot1\\cdot c=64-4c$.","$64-4c=0$, откуда $c=16$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Любое квадратное уравнение решается одной формулой, а дискриминант $D=b^2-4ac$ заранее говорит, сколько у него корней. Формула появилась из простой идеи: достроить выражение до полного квадрата. Вспомнить главное помогает модель квадрата и горки:

Главное при счете — знак $c$: при $c<0$ слагаемое $-4ac$ положительно. Формула корней понадобится в следующих уроках: при решении неполных уравнений, в теореме Виета, при разложении квадратного трехчлена на множители и в задании 9 ОГЭ. Краткий конспект темы — в уроке «Формула корней квадратного уравнения. Дискриминант», дополнительные задачи — в тесте «Дискриминант и теорема Виета».

Часто задаваемые вопросы

Почему дискриминант так называется?

Слово происходит от латинского discriminare — «различать, разделять». Дискриминант различает три случая: два корня, один корень или ни одного.

Можно ли решать по формуле неполные уравнения, например $x^2+12x=0$?

Можно: $a=1$, $b=12$, $c=0$, $D=144$, $x=\frac{-12\pm12}{2}$, корни $-12$ и $0$. Но быстрее вынести $x$ за скобки. Короткие способы — в уроке «Неполные квадратные уравнения».

Что делать, если дискриминант не является квадратом целого числа?

Корни записывают с квадратным корнем и упрощают его, как в примере с $3x^2+8x-5=0$: $\sqrt{124}=2\sqrt{31}$. Если нужно приближенное значение, корень оценивают или находят на калькуляторе.

Что делать, если старший коэффициент отрицательный?

Можно решать сразу по формуле — она верна при любом $a\ne0$. А можно умножить обе части на $-1$: дискриминант при этом не изменится, ведь $b^2-4\cdot(-a)\cdot(-c)=b^2-4ac$, а считать станет удобнее.

Зачем делать проверку, если формула верная?

Формула верна, но в вычислениях легко потерять знак или разделить на 2 вместо $2a$. Подстановка корня в исходное уравнение сразу показывает такую ошибку.

Награды за урок