8 класс Алгебра Уравнения и системы уравнений Квадратное уравнение и его корни

Теорема Виета: прямая и обратная

Содержание

Вы уже решаете квадратные уравнения по формуле корней (урок «Дискриминант и формула корней») и умеете решать неполные уравнения (урок «Неполные квадратные уравнения»). В этом уроке выясним, как корни связаны с коэффициентами: их сумма и произведение видны прямо в уравнении — это теорема Виета. Например, уравнение $x^2-1001x+1000=0$ по формуле решать долго: $D=998\,001$. К концу урока вы решите его устно.

Стороны участка — корни уравнения

Прямоугольный участок в саду имеет стороны $4$ м и $7$ м. Сумма двух соседних сторон — половина периметра: $4+7=11$ м. Площадь участка: $4\cdot7=28$ м$^2$.

Прямоугольный участок 4 м на 7 м: сумма сторон 4 + 7 = 11 м, площадь 28 м²; в уравнении x² − 11x + 28 = 0 стоят числа 11 и 28 — Две соседние стороны участка вместе дают 11 м, а прямоугольник на них — 28 квадратных метров

Теперь обратная задача. Известно только, что сумма соседних сторон $11$ м, а площадь $28$ м$^2$. Найдем стороны. Пусть одна сторона $x$ м, тогда другая $(11-x)$ м, а площадь $x(11-x)=28$. Раскроем скобки и перенесем все в одну часть:

$$x^2-11x+28=0$$

$D=121-112=9$, $x=\frac{11\pm3}{2}$: корни $4$ и $7$. Если одна сторона $4$, то другая $11-4=7$, и наоборот: корни уравнения — это как раз две стороны участка.

Посмотрите на уравнение: в нем стоят ровно сумма сторон $11$ (с минусом) и их произведение $28$. Случайно ли это? Проверим на других уравнениях.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Площадь прямоугольного участка равна $36$ м$^2$, а сумма длин двух соседних сторон — $13$ м. Найдите большую сторону. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/koioucpzveze.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["Пусть стороны $x$ и $y$: $x+y=13$, $xy=36$.","Это сумма и произведение корней уравнения $t^2-13t+36=0$: $D=169-144=25$.","$t=\\dfrac{13\\pm5}2$: $4$ и $9$. Большая сторона — 9 м."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Сумма и произведение корней видны в уравнении

Определение

Приведенное квадратное уравнение — квадратное уравнение, у которого старший коэффициент равен $1$. Его записывают так:

$$x^2+px+q=0$$

Решим три приведенных уравнения по формуле корней и сравним корни с коэффициентами $p$ и $q$.

Уравнение	$p$	$q$	Корни	Сумма корней	Произведение корней
$x^2-11x+28=0$	$-11$	$28$	$4$ и $7$	$11$	$28$
$x^2+x-12=0$	$1$	$-12$	$-4$ и $3$	$-1$	$-12$
$x^2+8x+7=0$	$8$	$7$	$-7$ и $-1$	$-8$	$7$

Во всех трех строках сумма корней — это $p$ с противоположным знаком, а произведение равно $q$. Три примера — еще не доказательство, поэтому докажем это для любого приведенного уравнения.

Теорема Виета

Если $x_1$ и $x_2$ — корни приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$, то сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q$$

Вспомните горку из урока «Дискриминант и формула корней»: это график $y=x^2+px+q$, а корни — точки, где он пересекает ось $x$. Почему сумма корней равна $-p$, видно из формулы корней. Для $x^2+px+q=0$ имеем $a=1$, $b=p$, $c=q$, $D=p^2-4q$, и корни равны $-\frac p2-\frac{\sqrt D}2$ и $-\frac p2+\frac{\sqrt D}2$. Оба корня отстоят от точки $-\frac p2$ на один и тот же шаг $\frac{\sqrt D}2$: влево и вправо. Это точка оси, над которой (или под которой) лежит вершина горки: корни расположены симметрично относительно нее.

Горка y = x² − 11x + 28 пересекает ось в точках 4 и 7; середина между корнями 5,5 лежит под вершиной, сумма корней 2 · 5,5 = 11 — Корни 4 и 7 отстоят от середины 5,5 на одинаковый шаг 1,5, поэтому их сумма равна удвоенной середине: 2 · 5,5 = 11

Доказательство

Сумма. Шаги влево и вправо взаимно уничтожаются: $x_1+x_2=-\frac p2-\frac{\sqrt D}2-\frac p2+\frac{\sqrt D}2=-p$.

Произведение. По формуле разности квадратов: $x_1x_2=\left(-\frac p2\right)^2-\left(\frac{\sqrt D}2\right)^2=\frac{p^2}4-\frac{p^2-4q}4=\frac{4q}4=q$. Что и требовалось доказать.

Ошибка

Пишут $x_1+x_2=p$, забывая минус. Например, для $x^2-11x+28=0$ получают сумму $-11$.

Проверка на числах: корни $4$ и $7$, их сумма $11$, а не $-11$. Оба корня положительны, и сумма не может быть отрицательной.

Где ломается рассуждение: середина между корнями — точка $-\frac p2$. При $p=-11$ это $5{,}5$, справа от нуля. Сумма корней — удвоенная середина, поэтому ее знак противоположен знаку $p$.

Ошибка знака: при сумме −11 середина оказалась бы в точке −5,5 слева от нуля, а корни 4 и 7 лежат справа, середина 5,5 — Если бы сумма корней была −11, середина между ними оказалась бы в точке −5,5 — слева от нуля, хотя оба корня справа

Важно

Теорема говорит о корнях, которые есть. У уравнения $x^2+3x+4=0$ дискриминант $D=9-16=-7<0$: горка не доходит до оси, корней нет — значит, нет ни суммы, ни произведения корней, хотя число $-p=-3$ записать можно. Поэтому сначала проверяйте, что $D\ge0$.

При $D=0$ корень один, и формулы верны, если считать $x_1=x_2$. Например, у $x^2-10x+25=0$ корень $5$: $5+5=10=-p$, $5\cdot5=25=q$.

{"questions":[{"content":"Найдите сумму корней уравнения $x^2-9x+14=0$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["Уравнение приведенное: $p=-9$, $q=14$; $D=81-56=25>0$, корни есть.","По теореме Виета $x_1+x_2=-p=9$.","Ответ: 9."],"step":1},{"content":"Решавр решает $x^2+5x-14=0$: «Сумма корней равна $5$, произведение равно $-14$, значит, корни $7$ и $-2$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Сумма равна $-5$; корни $-7$ и $-2$","Ошибки нет; корни $7$ и $-2$","Произведение равно $14$; корни $7$ и $2$","Сумма равна $-5$; корни $-7$ и $2$"],"explanations":["Сумма исправлена, но произведение $(-7)\\cdot(-2)=14$, а нужно $-14$","Подстановка $x=7$ дает $49+35-14=70\\ne0$: это не корень","Произведение равно $q=-14$ со своим знаком; к тому же $7+2=9$",""],"answer":[3]}},"hints":["Подставим $x=7$: $49+35-14=70\\ne0$ — это не корень.","Сумма корней равна $-p=-5$, произведение $q=-14$: подходят $-7$ и $2$.","Ответ: сумма равна $-5$, корни $-7$ и $2$."],"step":1},{"content":"Распределите уравнения: у каких есть корни и сумму корней можно найти как $-p$, а у каких корней нет.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Корни есть: теорема Виета работает","Корней нет: суммы корней нет"],"items":[["$x^2-5x+4=0$","$x^2+4x+3=0$","$x^2+x-2=0$"],["$x^2-5x+7=0$","$x^2+4x+5=0$","$x^2+x+1=0$"]]}},"hints":["Теорема Виета говорит о корнях, которые есть. Сначала найдите $D=p^2-4q$.","Посчитайте $D$ для каждого уравнения: если $D<0$, корней нет.","$x^2-5x+4$: $D=9$; $x^2+4x+3$: $D=4$; $x^2+x-2$: $D=9$ — корни есть. $x^2-5x+7$: $D=-3$; $x^2+4x+5$: $D=-4$; $x^2+x+1$: $D=-3$ — корней нет. В паре уравнений с одинаковым $p$ корни есть только у одного — все решает $D$."],"step":1}],"mix":1}

Если старший коэффициент не равен единице

Уравнение $ax^2+bx+c=0$ разделим на $a\ne0$. Получится приведенное уравнение $x^2+\frac bax+\frac ca=0$ с теми же корнями. Для него $p=\frac ba$, $q=\frac ca$, и теорема Виета дает общий вид.

Теорема Виета для уравнения общего вида

Если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2+bx+c=0$, $a\ne0$, то

$$x_1+x_2=-\frac ba,\qquad x_1x_2=\frac ca$$

Две горки y = 2x² − 7x + 3 и y = x² − 3,5x + 1,5 имеют одни корни 0,5 и 3 и середину 1,75; сумма корней 3,5, а при сумме 7 середина 3,5 была бы правее корня — После деления на 2 горка становится положе, но пересекает ось в тех же точках 0,5 и 3; их середина 1,75, а сумма 3,5

Пример 1

Найдите сумму и произведение корней уравнения $2x^2-7x+3=0$, не решая его.

Решение. $a=2$, $b=-7$, $c=3$; $D=49-24=25>0$, корни есть. По теореме Виета $x_1+x_2=-\frac{-7}{2}=3{,}5$, $x_1x_2=\frac32=1{,}5$.

Проверка. По формуле корней $x=\frac{7\pm5}{4}$, то есть $0{,}5$ и $3$. Сумма $0{,}5+3=3{,}5$, произведение $0{,}5\cdot3=1{,}5$.

Ответ: сумма $3{,}5$, произведение $1{,}5$.

Ошибка

Применяют формулы для приведенного уравнения без деления на $a$: для $2x^2-7x+3=0$ пишут сумму $7$ и произведение $3$.

Проверка на числах: корни $0{,}5$ и $3$, их сумма $3{,}5$, а не $7$. Сумма $7$ означала бы середину $3{,}5$ — правее обоих корней, чего быть не может.

Где ломается рассуждение: $-p$ и $q$ — коэффициенты приведенного уравнения. Пока старший коэффициент не равен $1$, сначала делим на $a$.

Повышенный уровень: сумма квадратов корней без вычисления корней

Скрыть

По сумме и произведению можно найти и другие выражения с корнями. Сумму квадратов выразим по формуле квадрата суммы: $(x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2$, откуда

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$

Для $2x^2-7x+3=0$: $x_1^2+x_2^2=3{,}5^2-2\cdot1{,}5=12{,}25-3=9{,}25$. Проверка: $0{,}5^2+3^2=0{,}25+9=9{,}25$.

{"questions":[{"content":"Найдите сумму корней уравнения $2x^2-10x+12=0$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-5$","$10$","$6$","$5$"],"explanations":["Потерян знак: $b=-10$, поэтому $-\\dfrac ba=+5$","Забыли поделить на $a=2$: сумма равна $-\\dfrac ba$, а не $-b$","Это произведение корней $\\dfrac ca=6$, а не сумма",""],"answer":[3]}},"hints":["$a=2$, $b=-10$; $D=100-96=4>0$.","$x_1+x_2=-\\dfrac ba=-\\dfrac{-10}{2}=5$.","Ответ: 5."],"step":1},{"content":"Корни уравнения $x^2-6x+4=0$ обозначены $x_1$ и $x_2$ ($D=20>0$). Найдите $x_1^2+x_2^2$ без вычисления корней. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"28"}},"hints":["$x_1+x_2=6$, $x_1x_2=4$.","$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$.","$36-8=28$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

По двум числам можно составить уравнение

Теперь пойдем в обратную сторону: даны два числа, нужно уравнение, корнями которого они будут. Возьмем числа $-2$ и $6$. Их сумма $4$, произведение $-12$. По теореме Виета у приведенного уравнения с такими корнями $p=-4$, $q=-12$: $x^2-4x-12=0$. Проверим формулой: $D=16+48=64$, $x=\frac{4\pm8}{2}$, то есть $-2$ и $6$. Совпало — и так будет всегда.

Теорема, обратная теореме Виета

Если числа $m$ и $n$ таковы, что $m+n=-p$ и $mn=q$, то $m$ и $n$ — корни уравнения $x^2+px+q=0$. Уравнение с корнями $m$ и $n$:

$$x^2-(m+n)x+mn=0$$

Почему это верно: раскроем скобки в $(x-m)(x-n)=x^2-mx-nx+mn=x^2-(m+n)x+mn$. Значит, левая часть уравнения равна $(x-m)(x-n)$. Произведение равно нулю при $x=m$ и при $x=n$ — это и есть корни. На горке: она пересекает ось ровно в точках $m$ и $n$.

teorema-vieta-korni

Ошибка

Меняют знак не только у суммы, но и у произведения. Для корней $2$ и $3$ пишут $x^2-5x-6=0$.

Проверка на числах: при $x=2$ получаем $4-10-6=-12\ne0$, значит, $2$ — не корень. На самом деле у $x^2-5x-6=0$ корни $-1$ и $6$.

Где ломается рассуждение: знак меняется только у суммы ($p=-(m+n)$), а свободный член равен произведению корней со своим знаком: $q=2\cdot3=6$. Верно: $x^2-5x+6=0$.

{"questions":[{"content":"Составьте приведенное квадратное уравнение с корнями $-3$ и $5$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$x^2+2x-15=0$","$x^2-2x+15=0$","$x^2+2x+15=0$","$x^2-2x-15=0$"],"explanations":["Знак при $x$ взят с суммой: должно быть $p=-(x_1+x_2)=-2$","Знак произведения потерян: $-3\\cdot5=-15$","Оба знака перепутаны: $p=-2$ и $q=-15$",""],"answer":[3]}},"hints":["$x_1+x_2=-3+5=2$, значит $p=-2$.","$x_1x_2=-3\\cdot5=-15$, значит $q=-15$.","Ответ: $x^2-2x-15=0$."],"step":1},{"content":"Решавр составляет приведенное уравнение с корнями $3$ и $4$ и пишет $x^2-7x-12=0$. В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Ошибка в обоих: должно быть $x^2+7x+12=0$","Ошибка в $p$: должно быть $x^2+7x-12=0$","Ошибки нет: $3\\cdot4=12$, знак меняется","Ошибка в $q$: должно быть $x^2-7x+12=0$"],"explanations":["Знак у $p$ верный: $x^2+7x+12$ имел бы отрицательные корни","Сумма корней $7$, поэтому $p=-7$: этот знак у Решавра верный","Произведение корней равно $q$ без смены знака: $q=+12$, а не $-12$",""],"answer":[3]}},"hints":["Сумма $3+4=7$, значит $p=-7$ — это верно.","Произведение $3\\cdot4=12$, значит $q=+12$, а не $-12$.","Верно: $x^2-7x+12=0$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Знаки корней видны без решения

Где лежат две точки-корня относительно нуля, подскажут произведение и сумма. Произведение двух чисел положительно, когда числа одного знака, и отрицательно, когда знаки разные. Если знаки одинаковые, сумма покажет какие: у двух положительных чисел сумма положительна, у двух отрицательных — отрицательна.

Произведение $q$	Сумма $-p$	Знаки корней	Точки на оси
$q>0$	$-p>0$	оба положительны	обе справа от нуля
$q>0$	$-p<0$	оба отрицательны	обе слева от нуля
$q<0$	любая	разных знаков	по разные стороны от нуля
$q=0$	любая	один из корней равен нулю	одна точка в нуле

Правило

Если $q<0$, корни разных знаков. Если $q>0$ и $D\ge0$, знаки корней одинаковые и совпадают со знаком суммы $-p$.

Обратите внимание

При $q>0$ сначала проверьте, что $D>0$: у $x^2-2x+5=0$ $q=5>0$, но $D=4-20<0$ и корней нет. При $q<0$ корни есть всегда: $D=p^2-4q$ — сумма неотрицательного $p^2$ и положительного $-4q$.

Пример 2

Определите знаки корней уравнений: а) $x^2+5x-36=0$; б) $x^2-10x+16=0$.

Решение. а) $q=-36<0$: корни разных знаков (и они точно есть). Сумма $-p=-5<0$, значит, отрицательный корень больше по модулю. б) $D=100-64=36>0$; $q=16>0$ — знаки одинаковые; сумма $-p=10>0$ — оба положительны.

Проверка. а) корни $-9$ и $4$; б) корни $2$ и $8$.

Ответ: а) разных знаков; б) оба положительны.

{"questions":[{"content":"Если $D>0$ и произведение корней отрицательно, то корни [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["имеют одинаковые знаки","оба отрицательны","имеют разные знаки","оба положительны"],"answer":2}},"hints":["Произведение $x_1x_2<0$ только когда множители разных знаков.","Ответ: имеют разные знаки."],"step":1},{"content":"Не решая уравнения, сопоставьте каждое уравнение и знаки его корней. Один вариант лишний.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$x^2-8x+15=0$","$x^2+8x+15=0$","$x^2+2x-15=0$"],"items":["Оба корня положительны","Оба корня отрицательны","Корни разных знаков","Один из корней равен нулю"]}},"hints":["Произведение $q$ показывает, одинаковы ли знаки; сумма $-p$ — какие они, если одинаковы.","$x^2-8x+15$: $q=15>0$, сумма $8>0$ — оба положительны. $x^2+8x+15$: $q=15>0$, сумма $-8<0$ — оба отрицательны. $x^2+2x-15$: $q=-15<0$ — разных знаков.","Ответ: лишний вариант «Один из корней равен нулю» — ни у одного уравнения $q\\ne0$."],"step":1}],"mix":1}

Корни можно подобрать устно

Если корни — целые числа, их часто удается подобрать. Ищем два числа, произведение которых равно $q$, а сумма равна $-p$. Найденная пара — корни по обратной теореме, поэтому проверять ее формулой не нужно.

Пример 3

Подберите корни уравнения $x^2+2x-24=0$.

Решение. $q=-24<0$: корни разных знаков. Сумма $-p=-2$: отрицательный корень больше по модулю на $2$. Переберем пары множителей $24$ и найдем пару с разностью $2$ (см. таблицу).

Подходят $4$ и $6$, значит, корни $-6$ и $4$. Проверка: $-6+4=-2$, $-6\cdot4=-24$.

Ответ: $x_1=-6$; $x_2=4$.

Пара множителей $24$	Разность чисел	Подходит?
$1$ и $24$	$23$	нет
$2$ и $12$	$10$	нет
$3$ и $8$	$5$	нет
$4$ и $6$	$2$	да: корни $-6$ и $4$

Если известен один корень, второй находят из суммы или из произведения. Например, один корень уравнения $x^2+bx+21=0$ равен $3$. Тогда второй корень $21:3=7$, сумма корней $3+7=10=-b$, значит, $b=-10$.

Вернемся к уравнению из начала урока: $x^2-1001x+1000=0$. Здесь $q=1000>0$ и сумма $-p=1001>0$ — оба корня положительны. Нужны два числа с произведением $1000$ и суммой $1001$. Первая же пара подходит: $1$ и $1000$. Ответ: $x_1=1$; $x_2=1000$. Формула дала бы то же: $\sqrt{998\,001}=999$, $x=\frac{1001\pm999}2$.

Если пару целых чисел найти не удается (например, у $x^2-5x+3=0$ $D=13$, корни не целые), решайте по формуле — теорема Виета тогда пригодится для проверки.

{"questions":[{"content":"Какая пара чисел — корни уравнения $x^2-8x-20=0$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$10$ и $2$","$4$ и $-5$","$-10$ и $2$","$10$ и $-2$"],"explanations":["Сумма $12$ и произведение $20$: подходит по модулю, но не по знаку","Произведение $-20$ есть, но сумма $-1$, а нужно $8$","Сумма $-8$, а нужно $8$: знак суммы перепутан",""],"answer":[3]}},"hints":["Сумма корней $-p=8$, произведение $q=-20$.","Подходит пара $10$ и $-2$: $10-2=8$, $10\\cdot(-2)=-20$.","Ответ: $10$ и $-2$."],"step":1},{"content":"Подберите корни уравнения $x^2-11x+24=0$. Запишите меньший корень. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Корни положительны: $q=24>0$ и сумма $11>0$.","Пары множителей $24$: $3\\cdot8$ — сумма $11$.","Меньший корень — 3."],"step":1},{"content":"Один корень уравнения $x^2+bx+28=0$ равен $-4$. Найдите $b$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"11"}},"hints":["$x_1x_2=28$, значит $x_2=28:(-4)=-7$.","$x_1+x_2=-4+(-7)=-11=-b$.","Ответ: $b=11$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Теорема Виета позволяет узнать о корнях многое, не решая уравнение: их сумму, произведение, знаки, а часто и сами корни. Она помогает проверить ответ, найденный по формуле, составить уравнение по корням и найти неизвестный коэффициент по известному корню. Названа теорема в честь французского математика Франсуа Виета (XVI век).

Чтобы быстро вспомнить главное, представьте две точки-корня на оси под горкой:

Часто задаваемые вопросы

Можно ли применять теорему Виета, если старший коэффициент не равен 1?

Можно, но сначала разделите уравнение на $a$ или сразу пользуйтесь формулами $x_1+x_2=-\frac ba$ и $x_1x_2=\frac ca$. Формулы $-p$ и $q$ без деления дают неверный ответ.

Что делать, если дискриминант отрицательный?

Тогда корней нет, и говорить об их сумме и произведении нельзя. Числа $-p$ и $q$ записать можно, но они не будут суммой и произведением чего-либо. Поэтому перед теоремой Виета проверяйте, что $D\ge0$.

Почему при подборе можно не проверять корни формулой?

Если пара чисел дает сумму $-p$ и произведение $q$, то по обратной теореме это корни уравнения. Проверка подстановкой полезна, чтобы не ошибиться в знаках, но формула не нужна.

Как запомнить, у чего меняется знак?

Вспомните горку: середина между корнями — точка $-\frac p2$, а сумма корней — удвоенная середина, поэтому $x_1+x_2=-p$ и знак меняется. Произведение — площадь прямоугольника на корнях, знак не меняется: $x_1x_2=q$.

Есть ли еще быстрые приемы?

Да, например, если сумма коэффициентов уравнения равна нулю, то один из корней равен $1$. Такие приемы разобраны в уроке «Нестандартные методы решения квадратных уравнений».

Награды за урок