8 класс Алгебра Уравнения и системы уравнений Квадратное уравнение и его корни

Неполные квадратные уравнения

Содержание

В уроке «Дискриминант и формула корней» вы решали квадратные уравнения $ax^2+bx+c=0$ по формуле корней. Если в уравнении нет слагаемого $bx$ или свободного члена $c$, формула не нужна: такое уравнение решается в одну-две строки. Разберем три вида неполных квадратных уравнений, научимся не терять корень $0$ и узнаем, когда корней нет.

Когда в уравнении не хватает слагаемого

Начнем с вопроса: какое число равно своему квадрату? Решавр записал уравнение $x^2=x$ и ответил: $x=1$. Иксератопс нашел два ответа. Кто прав, выясним во втором разделе, а сначала посмотрим, чем такие уравнения отличаются от полных.

Определение

Квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$, где $a\ne0$, называется неполным, если хотя бы один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю. Неполные уравнения бывают трех видов:

$$ax^2+bx=0\ (c=0)$$

$$ax^2+c=0\ (b=0)$$

$$ax^2=0\ (b=0,\ c=0)$$

Возьмем по одному уравнению каждого вида: $x^2-4=0$, $x^2+3x=0$ и $x^2=0$ — и подставим несколько значений $x$.

В $x^2-4$ при $x=2$ и при $x=-2$ получается $0$, потому что $(-2)^2=2^2=4$. Противоположные числа дают одинаковый квадрат, поэтому корни уравнения без слагаемого $bx$ идут парой: $2$ и $-2$.
В $x^2+3x$ при $x=0$ оба слагаемых равны нулю. Значит, $0$ — корень любого уравнения без свободного члена. Второй корень здесь $-3$: $(-3)^2+3\cdot(-3)=9-9=0$.
Выражение $x^2$ равно нулю только при $x=0$.

Это удобно представить картинкой. Для каждого $x$ отметим точку на высоте, равной значению левой части. Точки сложатся в линию-горку, а корни уравнения — это места, где горка пересекает ось $x$: там значение равно нулю. Такие графики подробно изучают позже, здесь горка — только подсказка.

Три неполных квадратных уравнения как три горки: x² − 4 = 0 с корнями −2 и 2, x² + 3x = 0 с корнями −3 и 0, x² = 0 с одним корнем 0 — Нет $bx$ — горка симметрична относительно оси $y$ и корни идут парой; нет $c$ — горка проходит через начало координат и $0$ всегда корень; нет обоих — горка касается оси в одной точке

Обратите внимание

Вид уравнения определяют после того, как все слагаемые перенесены в левую часть. Уравнение $x^2=x$ записывается как $x^2-x=0$: это вид $ax^2+bx=0$, где $a=1$, $b=-1$, $c=0$.

{"questions":[{"content":"Какое из уравнений имеет вид $ax^2+bx=0$ ($b\\ne0$, $c=0$)?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$4x^2=0$","$4x^2-9=0$","$x^2-9x+4=0$","$4x^2-9x=0$"],"explanations":["Нет ни $bx$, ни $c$: это вид $ax^2=0$","Здесь нет члена с $x$: $b=0$, это вид $ax^2+c=0$","Есть и $bx$, и свободный член $c=4$: уравнение полное",""],"answer":[3]}},"hints":["В нужном уравнении нет свободного члена: оно оканчивается на $x$ и равно нулю.","Остальные: $4x^2-9=0$ — вид $ax^2+c=0$; $x^2-9x+4=0$ — полное.","Это $4x^2-9x=0$."],"step":1}],"mix":1}

Нет свободного члена: выносим x за скобки

Вернемся к уравнению $x^2-x=0$. Оба слагаемых содержат множитель $x$ — вынесем его за скобки: $x(x-1)=0$. Слева произведение, справа ноль.

Правило

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$x(ax+b)=0\quad\Leftrightarrow\quad x=0\ \text{или}\ ax+b=0$$

Для $x(x-1)=0$ получаем $x=0$ или $x-1=0$, то есть корни $0$ и $1$. Прав Иксератопс: своему квадрату равны два числа, ведь $0^2=0$ и $1^2=1$. Решавр потерял корень $0$. Ниже разберем, как это происходит.

Пример

Решите уравнение $6x^2+15x=0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(6x+15)=0$. Произведение равно нулю, значит, $x=0$ или $6x+15=0$. Из второго уравнения $6x=-15$, $x=-2{,}5$.

Проверка: $6\cdot(-2{,}5)^2+15\cdot(-2{,}5)=37{,}5-37{,}5=0$.

Ответ: $x_1=-2{,}5$; $x_2=0$.

Алгоритм

Перенести все слагаемые в левую часть: $ax^2+bx=0$.
Вынести $x$ за скобки: $x(ax+b)=0$.
Приравнять к нулю каждый множитель: $x=0$ или $ax+b=0$.
Записать оба корня: $0$ и $-\dfrac ba$.

Ошибка

Решавр решает уравнение $2x^2=9x$: «Разделю обе части на $x$: $2x=9$, $x=4{,}5$».

Проверим $x=0$: слева $2\cdot0^2=0$, справа $9\cdot0=0$. Равенство верное — значит, $0$ тоже корень, но в ответе его нет.

Где сломалось рассуждение: делить обе части можно только на число, не равное нулю. Разделив на $x$, Решавр молча считал, что $x\ne0$, и выбросил как раз корень $0$. Верно так: $2x^2-9x=0$, $x(2x-9)=0$, корни $0$ и $4{,}5$.

Горка y = 2x² − 9x пересекает ось в точках 0 и 4,5; деление на x теряет корень 0 — Горка $y=2x^2-9x$ пересекает ось $x$ в двух точках; деление на $x$ стирает точку $x=0$

Проверка формулой корней

Скрыть

Формула корней из прошлого урока тоже работает, только дольше. Для $6x^2+15x=0$: $a=6$, $b=15$, $c=0$, $D=15^2-4\cdot6\cdot0=225$, $x=\dfrac{-15\pm15}{12}$, откуда $x_1=-2{,}5$, $x_2=0$. В любом уравнении $ax^2+bx=0$ дискриминант равен $b^2$, и формула дает те же корни $0$ и $-\dfrac ba$.

{"questions":[{"content":"Решите уравнение $7x^2-21x=0$. Запишите больший корень. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Вынесем $x$ за скобки: $x(7x-21)=0$.","Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $x=0$ или $7x-21=0$.","$7x=21$, $x=3$. Больший корень — 3."],"step":1},{"content":"Решавр решает $5x^2=7x$. Он делит обе части на $x$, получает $5x=7$ и пишет ответ $x=1{,}4$. В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Надо было делить на $5$, а не на $x$","Уравнение не имеет корней","Корень $1{,}4$ неверен: $5x=7$ дает $x=0{,}7$","Потерян корень $x=0$: делить на неизвестное нельзя"],"explanations":["Деление на $5$ не теряет корней, но оно не нужно: надо вынести $x$ за скобки","У уравнения есть корни $0$ и $1{,}4$: подстановка это подтверждает","$5x=7$ дает $x=\\dfrac75=1{,}4$: арифметика верна",""],"answer":[3]}},"hints":["Делить на $x$ можно, только если $x\\ne0$.","Подставим $x=0$: $0=0$ — верно, корень $0$ потерян.","Верно: $x(5x-7)=0$, корни $0$ и $1{,}4$."],"step":1},{"content":"Расставьте шаги решения уравнения $ax^2+bx=0$ ($a\\ne0$, $b\\ne0$) в верном порядке.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Вынести $x$ за скобки: $x(ax+b)=0$","Произведение равно нулю, значит $x=0$ или $ax+b=0$","Из уравнения $ax+b=0$ получаем $x=-\\dfrac ba$","Записать оба найденных корня: $0$ и $-\\dfrac ba$"]}},"hints":["Сначала выносим общий множитель $x$.","Произведение равно нулю, значит один из множителей равен нулю.","Ответ: вынести $x$ → два уравнения → решить второе → записать оба корня."],"step":1}],"mix":1}

Нет слагаемого bx: квадрат равен числу

Сравним два похожих уравнения: $x^2-16=0$ и $x^2+16=0$. Посчитаем значения левых частей при нескольких $x$.

$x$	$-4$	$-2$	$0$	$2$	$4$
$x^2-16$	$0$	$-12$	$-16$	$-12$	$0$
$x^2+16$	$32$	$20$	$16$	$20$	$32$

Первое уравнение: $x^2=16$, корни $4$ и $-4$, в таблице при них стоят нули. Во второй строке нулей нет: значения не меньше $16$. Причина в том, что квадрат — произведение двух одинаковых множителей. Оба положительны или оба отрицательны — произведение положительно, а $0^2=0$. Отрицательным квадрат не бывает, поэтому $x^2=-16$ не имеет решений.

Две горки в одном масштабе: x² − 16 = 0 имеет корни −4 и 4, а горка x² + 16 лежит выше оси и корней не имеет — Вершина горки $y=x^2-16$ ниже оси — два корня; горка $y=x^2+16$ выше оси и не доходит до нее — корней нет

Теперь общий случай $ax^2+c=0$. Перенесем $c$ в правую часть и разделим на $a$ (это можно, так как $a\ne0$): $x^2=-\dfrac ca$. При $x=0$ левая часть равна $c$: вершина горки лежит на оси $y$ на высоте $c$.

Правило

Уравнение $ax^2+c=0$ сводится к уравнению

$$x^2=-\frac ca$$

Если $-\dfrac ca>0$, корней два: $x=\pm\sqrt{-\dfrac ca}$. Если $-\dfrac ca<0$, корней нет. Если $c=0$, корень один: $x=0$ (следующий раздел).

Знак $a$	Знак $c$	Знак $-\dfrac ca$	Число корней
$+$	$-$	$+$	Два
$-$	$+$	$+$	Два
$+$	$+$	$-$	Нет корней
$-$	$-$	$-$	Нет корней

Итог таблицы: два корня бывают, когда $a$ и $c$ разных знаков; при одинаковых знаках корней нет.

Пример

1) Решите уравнение $-2x^2+72=0$.

$-2x^2=-72$, $x^2=36$, $x=6$ или $x=-6$. Здесь $a<0$, $c>0$ — знаки разные, корней два.

Ответ: $x_1=-6$; $x_2=6$.

2) Решите уравнение $16x^2-9=0$.

$16x^2=9$, $x^2=\dfrac9{16}$, $x=\pm\dfrac34$, то есть $x=\pm0{,}75$.

Ответ: $x_1=-0{,}75$; $x_2=0{,}75$.

Ошибка

Решавр решает уравнение $x^2+16=0$: «$x^2=-16$, $x=\pm4$».

Проверим: $4^2+16=32\ne0$ и $(-4)^2+16=32\ne0$. Ни одно из чисел не корень.

Где сломалось рассуждение: из $x^2=-16$ корень извлекли так, будто справа стоит $16$, — минус пропал. Квадрат числа не бывает отрицательным, поэтому ответ: корней нет. На горке видно то же: вершина на высоте $16$ над осью, и горка поднимается вверх, до оси она не доходит.

{"questions":[{"content":"Уравнение $ax^2+c=0$ имеет два корня, если числа $a$ и $c$ [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["имеют одинаковые знаки","равны между собой","имеют разные знаки","оба положительны"],"answer":2}},"hints":["$x^2=-\\dfrac ca$; два корня при $-\\dfrac ca>0$.","Дробь $\\dfrac ca$ отрицательна, когда числа разных знаков.","Ответ: имеют разные знаки."],"step":1},{"content":"Решавр решает $2x^2+98=0$: «$2x^2=-98$, $x^2=-49$, $x=7$ или $x=-7$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Делить на $2$ было нельзя: $x^2=-98$","Перенос сделан неверно: должно быть $2x^2=98$","Корень один: $x=7$, а $-7$ лишний","Квадрат числа не бывает отрицательным: корней нет"],"explanations":["Делить обе части на число, не равное нулю, можно: $x^2=-49$ — верно","При переносе $98$ меняет знак: $2x^2=-98$ — это верно","Подстановка $x=7$ дает $196\ne0$: число $7$ тоже не корень",""],"answer":[3]}},"hints":["Подставим $x=7$: $2\\cdot 49+98=196\\ne0$.","$x^2=-49$, а квадрат числа не бывает отрицательным.","Ответ: корней нет."],"step":1},{"content":"Решите уравнение $25x^2-4=0$. Запишите положительный корень десятичной дробью. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,4","0.4"]}},"hints":["$25x^2=4$, $x^2=\\dfrac4{25}$.","$x=\\pm\\dfrac25$.","Положительный корень: $0{,}4$."],"step":1}],"mix":1}

Нет ни b, ни c: единственный корень

В уравнении $3x^2=0$ разделим обе части на $3$: $x^2=0$. Квадрат равен нулю только у нуля, поэтому корень один: $x=0$.

Обратите внимание

Не говорят «два одинаковых корня $0$ и $-0$»: $-0$ и $0$ — одно и то же число. Это согласуется с формулой корней: для $3x^2=0$ дискриминант $D=0^2-4\cdot3\cdot0=0$, а при $D=0$ корень один.

Три горки одной формы y = 3x² − 3, y = 3x², y = 3x² + 3: вершина ниже оси — два корня, на оси — один, выше оси — ни одного — Вершина горки $y=3x^2+c$ на оси $y$ на высоте $c$: ниже оси — два корня, на оси — один, выше — ни одного

На рисунке три горки $y=3x^2-3$, $y=3x^2$ и $y=3x^2+3$. Они отличаются только высотой вершины, то есть числом $c$. При $c=-3$ корни $\pm1$, при $c=0$ горка касается оси в начале координат, при $c=3$ корней нет. Так одной картинкой можно вспомнить все случаи уравнения $ax^2+c=0$ при $a>0$. При $a<0$ горка перевернута: два корня — когда вершина выше оси.

Пример

Решите уравнение $(x+5)^2=10x+25$.

Раскроем скобки: $x^2+10x+25=10x+25$. Перенесем все влево: $x^2+10x+25-10x-25=0$, то есть $x^2=0$.

Ответ: $x=0$.

{"questions":[{"content":"Сколько корней имеет уравнение $-6x^2=0$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"1"}},"hints":["Делим на $-6$: $x^2=0$.","Квадрат равен нулю только при $x=0$.","Ответ: один корень."],"step":1},{"content":"Распределите уравнения по числу корней.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Два корня","Нет корней","Один корень"],"items":[["$3x^2-12=0$","$-x^2+5=0$"],["$4x^2+1=0$","$-3x^2-10=0$"],["$9x^2=0$","$0{,}2x^2=0$"]]}},"instruction":"Распределите уравнения по группам","hints":["Для $ax^2+c=0$: $x^2=-\\dfrac ca$. Если $a$ и $c$ разных знаков, $-\\dfrac ca>0$ — два корня.","Если $a$ и $c$ одного знака, $-\\dfrac ca<0$ — корней нет; если $c=0$, корень один: $x=0$.","Ответ: два корня — $3x^2-12=0$, $-x^2+5=0$; нет корней — $4x^2+1=0$, $-3x^2-10=0$; один корень — $9x^2=0$, $0{,}2x^2=0$."],"step":1}],"mix":1}

Как выбрать способ решения

Перед решением приведите уравнение к виду $ax^2+bx+c=0$ и посмотрите, какого слагаемого нет. Достаточно двух вопросов: есть ли свободный член $c$ и есть ли слагаемое $bx$.

Выбор способа

Нет $c$, есть $bx$: вынести $x$ за скобки, корни $0$ и $-\dfrac ba$.
Нет $bx$, есть $c$: $x^2=-\dfrac ca$, сравнить правую часть с нулем.
Нет ни $bx$, ни $c$: $x=0$.
Есть оба: формула корней через дискриминант.

Пример

Решите уравнение $5x^2-2x=3x^2+8x$.

Перенесем все влево: $5x^2-3x^2-2x-8x=0$, $2x^2-10x=0$. Свободного члена нет — выносим $x$: $x(2x-10)=0$, откуда $x=0$ или $x=5$.

Ответ: $x_1=0$; $x_2=5$.

Та же идея, что в третьем разделе, работает, когда в квадрате стоит выражение.

Пример

1) Решите уравнение $(x+1)^2=36$.

Квадрат выражения $x+1$ равен $36$, значит, $x+1=6$ или $x+1=-6$. Отсюда $x=5$ или $x=-7$.

Ответ: $x_1=-7$; $x_2=5$.

2) Решите уравнение $(x-3)^2=-4$.

Квадрат не бывает отрицательным, поэтому корней нет.

Ответ: корней нет.

Задача

Найдите ошибку. Решавр решает уравнение $8x^2-11=3x^2+9$: «$8x^2-3x^2=9-11$, $5x^2=-2$, корней нет».

Показать решение

Скрыть

При переносе $-11$ в правую часть знак меняется: $8x^2-3x^2=9+11$, $5x^2=20$, $x^2=4$, $x=\pm2$.

Проверка: $8\cdot4-11=21$ и $3\cdot4+9=21$ — равенство верное. Ошибка в переносе привела к ложному выводу «корней нет».

Ответ: $x_1=-2$; $x_2=2$.

{"questions":[{"content":"Как удобнее всего решить уравнение $6x^2-30x=0$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Разделить на $6$ и записать $x^2=5x$, $x=5$","Вынести $x$ за скобки и приравнять множители к нулю","Перенести $30x$ вправо и извлечь квадратный корень","Разделить обе части на $x$"],"explanations":["Деление на $6$ верно, но из $x^2=5x$ дальше нельзя делить на $x$: потерян корень $0$","","Из $6x^2=30x$ нельзя извлечь корень: в обеих частях есть неизвестное","Деление на $x$ теряет корень $0$"],"answer":[1]}},"hints":["В уравнении нет $c$: оба слагаемых содержат $x$.","Выносим $x$: $x(6x-30)=0$.","Получаем $x=0$ или $x=5$."],"step":1},{"content":"Решите уравнение $5x^2+7=3x^2+25$. Запишите положительный корень. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Перенесем: $5x^2-3x^2=25-7$.","$2x^2=18$, $x^2=9$.","Положительный корень — 3."],"step":1},{"content":"Решите уравнение $(x-2)^2=25$. Запишите меньший корень. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"-3"}},"hints":["Выражение $x-2$ в квадрате равно $25$: $x-2=5$ или $x-2=-5$.","$x=7$ или $x=-3$.","Меньший корень: $-3$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Площадь квадрата $49$ см² дает сторону из $x^2=49$; тело, падающее $t$ секунд, проходит около $5t^2$ метров, и время падения с $45$ м находят из $5t^2=45$; в ОГЭ такие уравнения встречаются в задании №9. Неполные уравнения решаются без дискриминанта — достаточно увидеть, какого слагаемого нет. Ответ на вопрос из начала урока: своему квадрату равны два числа, $0$ и $1$, и корень $0$ теряется, если делить на $x$. Чтобы быстро вспомнить правила, представьте горку и ось.

В следующем уроке «Теорема Виета» вы узнаете, как связаны корни квадратного уравнения с его коэффициентами.

Часто задаваемые вопросы

Можно ли решать неполные уравнения по формуле корней?

Можно, формула дает те же корни. Например, для $ax^2+bx=0$ дискриминант равен $b^2$, а корни — $0$ и $-\dfrac ba$. Но вынести $x$ или найти $x^2$ быстрее, и в вычислениях меньше мест для ошибки.

Почему на число делить можно, а на $x$ нельзя?

Делить можно только на то, что не равно нулю. Число $2$ или $-6$ точно не ноль. А $x$ может оказаться нулем, и тогда деление выбрасывает корень $x=0$. Поэтому $x$ не делят, а выносят за скобки.

Как записать ответ, если корней нет?

Так и пишут: «Корней нет». Например, $7x^2+7=0$ дает $x^2=-1$, а квадрат числа не бывает отрицательным. Перед таким ответом полезно проверить перенос и знаки: ложное «корней нет» часто появляется из-за потерянного минуса.

Что делать, если корень не извлекается нацело?

Записать ответ с корнем. Уравнение $x^2-7=0$ имеет корни $x=\pm\sqrt7$. Это точные значения, приближенные $\pm2{,}6$ записывают, только если этого требует задание.

Почему у уравнения $ax^2=0$ один корень, а не два?

Квадрат равен нулю только у числа $0$, а $-0$ и $0$ — одно и то же число. На горке это одна точка касания с осью. Формула корней согласна: $D=0$, корень один.

Награды за урок