7. Числовые неравенства, координатная прямая: все задания

$1)$ Выполним деление $110$ на $13{:}$
$$\dfrac{110}{13} = 8 \dfrac{6}{13}$$
$2)$ Так как: $$8 < 8 \dfrac{6}{13} < 9$$ Следовательно:$$8 < \dfrac{110}{13} < 9$$

$1)$ Выполним деление $7$ на $11{:}$
$$7 : 11 = 0.6363…$$
$2)$ Получаем:
$$\dfrac{7}{11} \approx 0.636$$
$3)$ Проверим, в какой промежуток попадает $0.636{:}$

• $0.4 \le 0.636 \le 0.5$ — нет,
• $0.5 \le 0.636 \le 0.6$ — нет,
• $0.6 \le 0.636 \le 0.7$ — да,
• $0.7 \le 0.636 \le 0.8$ — нет.

$1)$ Выполним деление:
$$\dfrac{4}{11} \approx 0.3636…,\ \dfrac{7}{17} \approx 0.4117…$$
$2)$ Получаем: $$\dfrac{4}{11} \approx 0.364, \quad \dfrac{7}{17} \approx 0.412$$
$3)$ Между числами $0.364$ и $0.412$ из предложенных вариантов попадает только число $0.4{:}$
$$0.364 < 0.4 < 0.412$$

$1)$ Переведем каждую дробь в смешанное число:
$$\dfrac{55}{19} = 2 \dfrac{17}{19}, \quad \dfrac{64}{19} = 3 \dfrac{7}{19}, \quad \dfrac{72}{19} = 3 \dfrac{15}{19}, \quad \dfrac{79}{19} = 4 \dfrac{3}{19}$$
$2)$ Точка $A$ расположена между $3$ и $4,$ ближе к $3,$ но не доходя до середины промежутка.
$3)$ Сравним дробные части чисел:
$$3 \dfrac{7}{19} \approx 3.368, \quad 3 \dfrac{15}{19} \approx 3.789$$
$4)$ Число $3 \dfrac{7}{19}$ лежит между $3$ и $3.5,$ а $3 \dfrac{15}{19}$ — между $3.5$ и $4.$

По расположению точки $A$ подходит $3 \dfrac{7}{19}.$

$1)$ Переведем каждую дробь в десятичную форму:
$$\dfrac{5}{9} \approx 0.555…, \quad \dfrac{11}{9} \approx 1.222…, $$ $$\dfrac{13}{9} \approx 1.444…,\quad \dfrac{14}{9} \approx 1.555…$$
$2)$ Точка $A$ на числовой прямой расположена между $0.5$ и $0.6.$ Из всех данных чисел только $\dfrac{5}{9}$ лежит в этом промежутке:
$$0.5 < 0.555… < 0.6$$

$1)$ Преобразуем концы отрезка в дроби со знаменателем $11$ для удобства сравнения:
$$7 = \dfrac{77}{11}, \quad 8 = \dfrac{88}{11}$$
$2)$ Проверим каждое число:

$\frac{69}{11} < \frac{77}{11}$ — не принадлежит,

$\frac{77}{11} \le \frac{80}{11} \le \frac{88}{11}$ — принадлежит,

$\frac{90}{11} > \frac{88}{11}$ — не принадлежит,

$\frac{92}{11} > \frac{88}{11}$ — не принадлежит.

$1)$ Преобразуем дробь $\dfrac{73}{14}$ в смешанное число:
$$\dfrac{73}{14} = 5 \dfrac{3}{14}$$
$2)$ Оценим положение числа $5 \dfrac{3}{14}{:}$
$$5 \dfrac{3}{14} \approx 5.214$$
$3)$ На координатной прямой точка $A$ находится в интервале $5$ — $5.5,$ точка $B$ — около $5.5,$ точка $C$ — около $6,$ точка $D$ — около $6.5.$ Число $5.214$ лежит в интервале $5$ — $ 5.5,$ следовательно, ему соответствует точка $A.$

$1)$ Упорядочим числа по возрастанию:
$$-0.05 < 0.058 < 0.508 < 0.85$$
$2)$ На координатной прямой точки расположены в порядке возрастания: $A,$ $B,$ $C,$ $D.$ Следовательно:

• наименьшее число $-0.05$ соответствует точке $A{,}$
• следующее число $0.058$ соответствует точке $B{,}$
• затем $0.508$ — точке $C{,}$
• наибольшее $0.85$ — точке $D{.}$

$1)$ Из расположения точек на числовой прямой видно, что числа следуют в порядке: $c < b < a.$
$2)$ Проверим знак каждой разности:

• $b-a{:}$ так как $b < a,$ то $b-a < 0$ (отрицательна).
• $c-b{:}$ так как $c < b,$ то $c-b < 0$ (отрицательна).
• $c-a{:}$ так как $c < a,$ то $c-a < 0$ (отрицательна).

$3)$ Ни одна из разностей не является положительной.

$1)$ Из расположения точек на координатной прямой видно, что числа следуют в порядке: $$p < q < r$$
$2)$ Проверим знак каждой разности:

• $q-p{:}$ так как $q > p,$ то $q-p > 0$ (положительна).
• $q-r{:}$ так как $q < r,$ то $q-r < 0$ (отрицательна).
• $r-p{:}$ так как $r > p,$ то $r-p > 0$ (положительна).

$3)$ Таким образом, отрицательной является только разность $q-r.$

$1)$ По расположению точки $a$ на координатной прямой видно, что $4 < a < 5{.}$
$2)$ Проверим каждое утверждение:

• Утверждение $5- a < 0{:}$ так как $a < 5,$ то $5- a > 0$ — неверно.
• Утверждение $a- 6 > 0{:}$ так как $a < 6,$ то $a- 6 < 0$ — неверно.
• Утверждение $a- 5 < 0{:}$ так как $a < 5,$ то $a- 5 < 0$ — верно.
• Утверждение $4- a > 0{:}$ так как $a > 4,$ то $4- a < 0$ — неверно.

$1)$ Из расположения точек на координатной прямой видно: $a<0$ (отрицательное), $b>0$ (положительное), и $|a|<|b|$ ($a$ ближе к нулю, чем $b$). Возьмем для оценки $a \approx -1,$ $b \approx 3.$

$2)$ Проверим каждое неравенство:

• $a+b<0{:}$ $(-1)+3=2>0$ — неверно.
• $a-b>0{:}$ $(-1)-3=-4<0$ — неверно.
• $ab^2>0{:}$ $(-1) \cdot 3^2 = (-1) \cdot 9 = -9<0$ — неверно.
• $ab<0{:}$ $(-1) \cdot 3 = -3<0$ — верно.

$1)$ Найдем квадраты чисел, между которыми находится $27{:}$
$$5^2 = 25, \quad 6^2 = 36$$
$2)$ Так как $25 < 27 < 36,$ то
$$\sqrt{25} < \sqrt{27} < \sqrt{36}$$ $$5 < \sqrt{27} < 6$$

$1)$ Представим концы промежутка в виде квадратных корней:
$$6 = \sqrt{36}, \quad 7 = \sqrt{49}$$
$2)$ Проверим каждое число:

• $\sqrt{6} \approx 2.45$ — не принадлежит,
• $\sqrt{7} \approx 2.65$ — не принадлежит,
• $\sqrt{40}{:}$ так как $36 < 40 < 49,$ то $\sqrt{36} < \sqrt{40} < \sqrt{49},$ т.е. $6 < \sqrt{40} < 7$ — принадлежит,
• $\sqrt{51}{:}$ так как $51 > 49,$ то $\sqrt{51} > 7$ — не принадлежит.

$1)$ Оценим значение $\sqrt{46}{:}$
$$6 = \sqrt{36}, \quad 7 = \sqrt{49}$$ $$\sqrt{36} < \sqrt{46} < \sqrt{49}$$ $$6 < \sqrt{46} < 7$$
$2)$ Точка $\sqrt{46}$ находится между $6$ и $7{.}$ Следовательно, ей соответствует точка $D.$

$1)$ Выполним деление:
$$\dfrac{170}{19} = 8 \dfrac{18}{19}$$
$2)$ Следовательно:$$8 < \dfrac{170}{19} < 9$$

$1)$ Найдем десятичное значение дроби $\dfrac{3}{11}{:}$
$$\dfrac{3}{11} \approx 0.2727$$
$2)$ Проверим, в какой промежуток попадает $0.2727{:}$

• $0.1 \le 0.2727 \le 0.2$ — нет,
• $0.2 \le 0.2727 \le 0.3$ — да,
• $0.3 \le 0.2727 \le 0.4$ — нет,
• $0.4 \le 0.2727 \le 0.5$ — нет.

$1)$ Найдем десятичные значения дробей:
$$\dfrac{19}{8} = 2.375, \quad \dfrac{17}{7} \approx 2.4286$$
$2)$ Таким образом:
$$2.375 < \text{(искомое число)} < 2.4286$$
$3)$ Из предложенных вариантов в этот промежуток попадает только число $2.4$:
$$2.375 < 2.4 < 2.4286$$

$1)$ Преобразуем каждую дробь в смешанное число:
$$\dfrac{58}{13} = 4 \dfrac{6}{13}, \quad \dfrac{69}{13} = 5 \dfrac{4}{13}, \quad \dfrac{76}{13} = 5 \dfrac{11}{13}, \quad \dfrac{83}{13} = 6 \dfrac{5}{13}$$
$2)$ Точка $A$ расположена между $5.5$ и $6,$ ближе к $6.$
$3)$ Сравним дробные частей чисел, лежащих между $5$ и $6{:}$

$5 \dfrac{4}{13} \approx 5.308$ — меньше $5.5,$

$5 \dfrac{11}{13} \approx 5.846$ — больше $5.5$ и меньше $6.$
Следовательно, точке $A$ соответствует число $5 \dfrac{11}{13} = \dfrac{76}{13}.$

$1)$ Точка $A$ на числовой прямой расположена между $0.5$ и $0.6.$
$2)$ Найдем приближенные значения дробей:

$\dfrac{10}{23} \approx 0.4348$ — меньше $0.5,$

$\dfrac{11}{23} \approx 0.4783$ — меньше $0.5,$

$\dfrac{13}{23} \approx 0.5652$ — между $0.5$ и $0.6,$

$\dfrac{14}{23} \approx 0.6087$ — больше $0.6.$

$3)$ Только $\dfrac{13}{23}$ попадает в промежуток $(0.5, 0.6).$