0 0 0
Личный кабинет Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание ОГЭ
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Градусная мера угла

Содержание

    Представим, что стоит задача сравнить меж собой два следующих угла — $\angle{ab}$ и $\angle{cd}$. При сравнении отрезков мы оперировали такими строгими понятиями, как «длина», «единица измерения», «инструмент для измерения». Проводя параллель, мы можем сразу сделать вывод, что, чтобы углы сравнить, нужно так же, как и с отрезками, провести прежде всего измерение углов.

    Как измерить угол? Для этого потребуется ответить на некоторые ключевые вопросы, аналогичные тем, что возникали у нас при измерении отрезков.

    ❓ Именно:

    — что есть единица измерения углов;
    — как измерить угол (т. е. с помощью какого прибора);
    — с какими особенностями связано измерение углов.  

    Ответить на все сразу в одном уроке — задача титанических масштабов. Поэтому сейчас ограничимся анализом того, что в геометрии из себя представляет единица измерения углов.

    Измерение углов — основы

    Длина отрезка как расстояние между двумя точками — началом и концом отрезка — концептуально простое понятие измерений. Настолько простое, что мы можем его даже продемонстрировать на пальцах.

    Хьюстон, у нас проблемы!

    Угол же состоит из лучей, которые на плоскости от точки начала простираются в бесконечность. Следовательно, измерение углов никак не связано с длиной — мерой конечных объектов. Все уже не так просто. Выходит, нам придется вводить новое понятие для пространственного измерения. Остается обозначить, какая единица измерения углов будет его определять.

    Рассмотрим угол в качестве геометрического объекта, совершающего движение. Пусть из точки $O$ выходит два совпадающих луча $OA$ и $OB$. По принципу «ножниц» начнем двигать луч $OB$ против часовой стрелки, оставляя при этом луч $OA$ в начальном положении. Таким образом, угол (с измерительной позиции) представляет собой нечто вроде отклонения одного луча от другого.

    Тогда скажем, что измерение углов — это мера поворота одной стороны угла относительно другой. Больше отклонение — больше угол.

    Как измерить угол

    Измерение углов удобно изображается на окружности. Совместим вершину угла $O$ с центром окружности и начнем вращать стороны. Отклоняя сторону $OB$ левее от стороны $OA$, мы видим, как угол поворота увеличивается. Если разместить на окружности углы $\angle{ab}$ и $\angle{cd}$, которые мы ранее хотели сравнить во введении к уроку, становится очевидным факт, что $$\angle{cd}>\angle{ab}$$

    Как $\angle{BOA}<\angle{B_{2}OA}.$

    А если бы мы нанесли по длине окружности некоторую разметку, как на сантиметровую линейку, мы могли бы не только заключать неравенство углов, но и выражать его количественно.

    Отрезки, лучи и абстракции

    Масса, длина и время, входящие в перечень основных физических величин, определяются физическими явлениями. Напомним, что, например, ранее изученный нами метр — единица длины — определяется как длина пути, который проходит свет в вакууме за интервал времени $\frac{1}{299~792~458}$ секунды. Метр (физическая величина) и скорость света (физическое явление) определяют друг друга.

    Луч — абстрактное понятие; он существует лишь в составе абстрактной плоскости. Все это значительно усложняет поиск эталона, который смог бы точно, наподобие метра, охарактеризовать измерение углов.

    Раз измерять нам нужно геометрические абстракции, то и единица измерения углов должна из себя представлять геометрическую абстракцию. И как измерить угол?.. На помощь вновь приходит окружность. Что, если разделить окружность на энное количество частей и измерить отклонение количеством тех частей, что размещаются между сторонами угла?

    📐 Вообще-то не новость

    Эта идея лежит в основе понятия «градусная мера угла», и идея эта намного старше Лувра, сонетов Шекспира и даже древнегреческих трактатов об устройстве государства. Измерение углов — «горячая» тема геометрии, насчитывающая в своем багаже более 4000 лет.

    Измерение углов: выбираем «эталон»

    Подумайте о торте, который разрезается на равные доли, чтобы каждому, сидящему за столом, достался кусочек. Окружность — это торт, и «порезать» ее мы можем как угодно: на пять кусочков, на шесть и так далее.

    Иными словами, окружность делится на сколь угодно частей: на десять, пятнадцать, хоть на двадцать тысяч. Поскольку мы вольны выбирать любое число из возможных, оно должно быть удобным математически.  

    Почему окружность можно разбивать произвольно?

    Единицу можно представить в виде обыкновенной дроби:

    $$\frac{a}{b},$$

    где $a=b$ и $a\in{\mathbb{N}}$, $b\in{\mathbb{N}}$

    Величины $a$ и $b$ принадлежат множеству натуральных чисел $\mathbb{N}$, ведь представлять единицу множеством иррациональных чисел $\mathbb{Q}$ (например, $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$) — занятие, потенциально обрекающее математиков на мучения.

    Отрицательные числа нас тоже не интересуют, ведь измерение углов и его результат (пока что) — значение со знаком «плюс». Вспомните измерение отрезков и аксиому, что длина всякого отрезка всегда больше нуля.

    Итого, получается $\frac{1}{1}$, $\frac{2}{2}$, $\frac{3}{3}$, $\frac{4}{4}$, … $=1$.   

    На сколько бы частей вы ни разрезали торт, сложив все кусочки, вы получаете единицу торта. Торт может быть огромным, как планета Марс. Он может быть маленьким, подобно спичечному коробку. Однако «собрав в кучу» все доли — хоть большого, хоть маленького, — вы неизменно получаете единицу.  

    Единица измерения углов: «супер»-число

    Время, за которое Земля по своей орбите полностью огибает Солнце, именуется годом и состоит из 365 дней. Древние астрономы хитрыми вычислениями смогли данную цифру вывести буквально на палках. Правда, точность их расчетов не учла несколько дней, и вышло у них число 360. Может, это было намеренное округление. Как таковая письменность в те времена еще не возникла, так что узнать наверняка, как оно было, возможности нет.

    А еще 360 — это «супер»-число. Оно делится на:

    2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120 и 180

    В минуте — 60 секунд, в часе — 60 минут, в сутках — 24 часа. В году — 12 месяцев. Время тесно связано с движением нашей планеты по окружности. Так что 360 — это отличный выбор для «разрезания» окружности. Оно не только, можно сказать, подарено нам природой, но еще и математически удобно. Как раз то, что мы искали!

    Градусная мера угла

    Что же, $\frac{1}{360}$ окружности — это нами искомая единица измерения углов. Данную долю окружности называют градусом (от лат. ‘gradus’ — «шаг», «ступень»). Если мы, например, утверждаем, что $\angle{A}=1^\circ$, то, следовательно, имеем в виду, что с точки зрения измерения данный угол составляет $\frac{1}{360}$ окружности.

    Окружности разные, а градусная мера угла одинакова

    Допустим, нам известна градусная мера угла $\angle{\alpha}=30^\circ$. У многих может возникнуть естественный вопрос: раз градус является частью окружности, как быть, если окружности разные? В определении градуса выше мы не привязывали окружность к длине радиуса — да мы и словом не обмолвились о размерах.

    Почему?

    Впишем $\angle{\alpha}=30^\circ$ в окружности разных радиусов. Какова бы ни была окружность, $\angle{\alpha}$ составляет строго 30 частей из 360. Как видите, длины дуг, на которые опирается угол, разные, но неизменным остается то, что $\angle{\alpha}$ занимает $\frac{1}{12}$ (сократите $\frac{30}{360}$) любой окружности, в которую он вписан. У градуса нет эталона (в отличие от длины). Взять можно абсолютно любую окружность.

    Главное — поделить ее ровно на 360 частей.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение