Градусная мера угла
Представим, что стоит задача сравнить меж собой два следующих угла — $\angle{ab}$ и $\angle{cd}$. При сравнении отрезков мы оперировали такими строгими понятиями, как «длина», «единица измерения», «инструмент для измерения». Проводя параллель, мы можем сразу сделать вывод, что, чтобы углы сравнить, нужно так же, как и с отрезками, провести прежде всего измерение углов.
Как измерить угол? Для этого потребуется ответить на некоторые ключевые вопросы, аналогичные тем, что возникали у нас при измерении отрезков.
❓ Именно:
— что есть единица измерения углов;
— как измерить угол (т. е. с помощью какого прибора);
— с какими особенностями связано измерение углов.
Ответить на все сразу в одном уроке — задача титанических масштабов. Поэтому сейчас ограничимся анализом того, что в геометрии из себя представляет единица измерения углов.
Измерение углов — основы
Длина отрезка как расстояние между двумя точками — началом и концом отрезка — концептуально простое понятие измерений. Настолько простое, что мы можем его даже продемонстрировать на пальцах.
Хьюстон, у нас проблемы!
Угол же состоит из лучей, которые на плоскости от точки начала простираются в бесконечность. Следовательно, измерение углов никак не связано с длиной — мерой конечных объектов. Все уже не так просто. Выходит, нам придется вводить новое понятие для пространственного измерения. Остается обозначить, какая единица измерения углов будет его определять.
Рассмотрим угол в качестве геометрического объекта, совершающего движение. Пусть из точки $O$ выходит два совпадающих луча $OA$ и $OB$. По принципу «ножниц» начнем двигать луч $OB$ против часовой стрелки, оставляя при этом луч $OA$ в начальном положении. Таким образом, угол (с измерительной позиции) представляет собой нечто вроде отклонения одного луча от другого.
Тогда скажем, что измерение углов — это мера поворота одной стороны угла относительно другой. Больше отклонение — больше угол.
Как измерить угол
Измерение углов удобно изображается на окружности. Совместим вершину угла $O$ с центром окружности и начнем вращать стороны. Отклоняя сторону $OB$ левее от стороны $OA$, мы видим, как угол поворота увеличивается. Если разместить на окружности углы $\angle{ab}$ и $\angle{cd}$, которые мы ранее хотели сравнить во введении к уроку, становится очевидным факт, что $$\angle{cd}>\angle{ab}$$
Как $\angle{BOA}<\angle{B_{2}OA}.$
А если бы мы нанесли по длине окружности некоторую разметку, как на сантиметровую линейку, мы могли бы не только заключать неравенство углов, но и выражать его количественно.
Отрезки, лучи и абстракции
Масса, длина и время, входящие в перечень основных физических величин, определяются физическими явлениями. Напомним, что, например, ранее изученный нами метр — единица длины — определяется как длина пути, который проходит свет в вакууме за интервал времени $\frac{1}{299~792~458}$ секунды. Метр (физическая величина) и скорость света (физическое явление) определяют друг друга.
Луч — абстрактное понятие; он существует лишь в составе абстрактной плоскости. Все это значительно усложняет поиск эталона, который смог бы точно, наподобие метра, охарактеризовать измерение углов.
Раз измерять нам нужно геометрические абстракции, то и единица измерения углов должна из себя представлять геометрическую абстракцию. И как измерить угол?.. На помощь вновь приходит окружность. Что, если разделить окружность на энное количество частей и измерить отклонение количеством тех частей, что размещаются между сторонами угла?
📐 Вообще-то не новость
Эта идея лежит в основе понятия «градусная мера угла», и идея эта намного старше Лувра, сонетов Шекспира и даже древнегреческих трактатов об устройстве государства. Измерение углов — «горячая» тема геометрии, насчитывающая в своем багаже более 4000 лет.
Измерение углов: выбираем «эталон»
Подумайте о торте, который разрезается на равные доли, чтобы каждому, сидящему за столом, достался кусочек. Окружность — это торт, и «порезать» ее мы можем как угодно: на пять кусочков, на шесть и так далее.
Иными словами, окружность делится на сколь угодно частей: на десять, пятнадцать, хоть на двадцать тысяч. Поскольку мы вольны выбирать любое число из возможных, оно должно быть удобным математически.
Почему окружность можно разбивать произвольно?
Единицу можно представить в виде обыкновенной дроби:
$$\frac{a}{b},$$
где $a=b$ и $a\in{\mathbb{N}}$, $b\in{\mathbb{N}}$
Величины $a$ и $b$ принадлежат множеству натуральных чисел $\mathbb{N}$, ведь представлять единицу множеством иррациональных чисел $\mathbb{Q}$ (например, $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$) — занятие, потенциально обрекающее математиков на мучения.
Отрицательные числа нас тоже не интересуют, ведь измерение углов и его результат (пока что) — значение со знаком «плюс». Вспомните измерение отрезков и аксиому, что длина всякого отрезка всегда больше нуля.
Итого, получается $\frac{1}{1}$, $\frac{2}{2}$, $\frac{3}{3}$, $\frac{4}{4}$, … $=1$.
На сколько бы частей вы ни разрезали торт, сложив все кусочки, вы получаете единицу торта. Торт может быть огромным, как планета Марс. Он может быть маленьким, подобно спичечному коробку. Однако «собрав в кучу» все доли — хоть большого, хоть маленького, — вы неизменно получаете единицу.
Единица измерения углов: «супер»-число
Время, за которое Земля по своей орбите полностью огибает Солнце, именуется годом и состоит из 365 дней. Древние астрономы хитрыми вычислениями смогли данную цифру вывести буквально на палках. Правда, точность их расчетов не учла несколько дней, и вышло у них число 360. Может, это было намеренное округление. Как таковая письменность в те времена еще не возникла, так что узнать наверняка, как оно было, возможности нет.
А еще 360 — это «супер»-число. Оно делится на:
2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120 и 180
В минуте — 60 секунд, в часе — 60 минут, в сутках — 24 часа. В году — 12 месяцев. Время тесно связано с движением нашей планеты по окружности. Так что 360 — это отличный выбор для «разрезания» окружности. Оно не только, можно сказать, подарено нам природой, но еще и математически удобно. Как раз то, что мы искали!
Градусная мера угла
Что же, $\frac{1}{360}$ окружности — это нами искомая единица измерения углов. Данную долю окружности называют градусом (от лат. ‘gradus’ — «шаг», «ступень»). Если мы, например, утверждаем, что $\angle{A}=1^\circ$, то, следовательно, имеем в виду, что с точки зрения измерения данный угол составляет $\frac{1}{360}$ окружности.
Окружности разные, а градусная мера угла одинакова
Допустим, нам известна градусная мера угла $\angle{\alpha}=30^\circ$. У многих может возникнуть естественный вопрос: раз градус является частью окружности, как быть, если окружности разные? В определении градуса выше мы не привязывали окружность к длине радиуса — да мы и словом не обмолвились о размерах.
Почему?
Впишем $\angle{\alpha}=30^\circ$ в окружности разных радиусов. Какова бы ни была окружность, $\angle{\alpha}$ составляет строго 30 частей из 360. Как видите, длины дуг, на которые опирается угол, разные, но неизменным остается то, что $\angle{\alpha}$ занимает $\frac{1}{12}$ (сократите $\frac{30}{360}$) любой окружности, в которую он вписан. У градуса нет эталона (в отличие от длины). Взять можно абсолютно любую окружность.
Главное — поделить ее ровно на 360 частей.
5
5
1
Хотите оставить комментарий?
Войти