10. Текстовые задачи: Задачи на работу
Первый садовый насос перекачивает $5$ литров воды за $2$ минуты, второй насос перекачивает тот же объем воды за $3$ минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать $25$ литров воды?
Первый садовый насос перекачивает $5$ литров воды за $2$ минуты, значит скорость его работы — $\frac{5}{2}.$ Второй насос перекачивает тот же объем воды за $3$ минуты: $\frac{5}{3}.$ Найдем скорость совместной работы насосов: $$\frac{5}{2}+\frac{5}{3} = \frac{25}{6}$$
Чтобы найти время, за которое насосы перекачают $25$ литров, разделим всю работу на общую скорость работы: $$25:\frac{25}{6} = 6$$
Один мастер может выполнить заказ за $12$ часов, а другой — за $6$ часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?
Один мастер выполняет $\frac{1}{12}$ часть работы в час, а другой выполняет $\frac{1}{6}$ часть работы в час.Значит, оба мастера, работая вместе, выполняют: $$\frac{1}{12}+\frac{1}{6}=\frac{1}{4}$$ Значит, работая вместе, они выполнят всю работу за $4$ часа.
Заказ на изготовление $156$ деталей первый рабочий выполняет на $1$ час быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает первый рабочий, если известно, что он за час изготавливает на $1$ деталь больше второго?
Пусть за час первый рабочий изготавливает $x$ деталей. Тогда время выполнения заказа первым рабочим будет: $\frac{156}{x},$ а время выполнения заказа вторым рабочим — $\frac{156}{x-1}.$ Первый рабочий выполняет заказ на $1$ час быстрее, чем второй. Составим уравнение: $$\frac{156}{x-1}-\frac{156}{x}=1$$
$$156x-156(x-1)=x(x-1)$$ $$x^2-x-156 = 0$$ $$x_1=-12$$ $$x_2=13$$ Количество деталей не может быть отрицательным, следовательно, за час первый рабочий изготавливает $13$ деталей.
Заказ на изготовление $264$ деталей первый рабочий выполняет на $2$ часа быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает первый рабочий, если известно, что он за час изготавливает на $1$ деталь больше второго?
Пусть за час первый рабочий изготавливает $x$ деталей. Тогда время выполнения заказа первым рабочим будет: $\frac{264}{x},$ а время выполнения заказа вторым рабочим — $\frac{264}{x-1}.$ Первый рабочий выполняет заказ на $2$ часа быстрее, чем второй. Составим уравнение: $$\frac{264}{x-1}-\frac{264}{x}=2$$
$$264x-264(x-1)=2x(x-1)$$ $$2x^2-2x-264 = 0$$ $$x^2-x-132 = 0$$ $$x_1=-11$$ $$x_2=12$$ Количество деталей не может быть отрицательным, следовательно, за час первый рабочий изготавливает $12$ деталей.
Первая труба пропускает на $1$ литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом $110$ литров она заполняет на $2$ минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом $99$ литров?
Пусть первая труба пропускает $x$ литров воды в минуту. Первая труба заполняет резервуар объёмом $110$ литров на $2$ минуты дольше, чем вторая заполняет резервуар объёмом $99$ литров. Составим уравнение: $$\frac{110}{x}-\frac{99}{x+1} = 2$$
$$110(x+1)-99x=2x\cdot (x+1)$$ $$2x^2-9x-110=0$$ $$x_1=10$$ $$x_2=-5.5$$ Пропускная способность трубы не может быть отрицательной, значит, первая труба пропускает в минуту $10$ литров воды.
Первая труба пропускает на $1$ литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом $171$ литр она заполняет на $3$ минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом $160$ литров?
Пусть первая труба пропускает $x$ литров воды в минуту. Первая труба заполняет резервуар объёмом $171$ литров на $3$ минуты дольше, чем вторая заполняет резервуар объёмом $160$ литров. Составим уравнение: $$\frac{171}{x}-\frac{160}{x+1} = 3$$
$$171(x+1)-160x=3x\cdot (x+1)$$ $$3x^2-8x-171=0$$ $$x_1=9$$ $$x_2=-6\frac{1}{3}$$ Пропускная способность трубы не может быть отрицательной, значит, первая труба пропускает в минуту $9$ литров воды.
Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за $15$ часов. Через $3$ часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?
Рабочий выполняет заказ за $15$ часов. Следовательно, он выполняет $\frac{1}{15}$ часть заказа в час. Значит, за $3$ часа рабочий выполнил $\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$ часть заказа. После этого к нему присоединяется второй рабочий. Вместе они должны выполнить оставшуюся часть: $$1−\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$$
Найдём время, за которое два рабочих выполнят оставшуюся часть заказа. Для этого нужно разделить оставшийся объём работы на общую производительность первого и второго рабочего: $$\frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{15}+\frac{1}{15}}=6$$ Значит, на выполнение всего заказа потребовалось: $$3+6=9$$
Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за $13$ часов. Через $5$ часов после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?
Рабочий выполняет заказ за $13$ часов. Следовательно, он выполняет $\frac{1}{13}$ часть заказа в час. Значит, за $5$ часов рабочий выполнил $\frac{5}{13}$ заказа. После этого к нему присоединяется второй рабочий. Вместе они должны выполнить оставшуюся часть: $$1−\frac{5}{13}=\frac{8}{13}$$
Найдём время, за которое два рабочих выполнят оставшуюся часть заказа. Для этого нужно разделить оставшийся объём работы на общую производительность первого и второго рабочего: $$\frac{\frac{8}{13}}{\frac{1}{13}+\frac{1}{13}}=4$$ Значит, на выполнение всего заказа потребовалось: $$4+5=9$$
Даша и Маша пропалывают грядку за $12$ минут, а одна Маша — за $20$ минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?
За $1$ минуту Маша пропалывает $\frac{1}{20}$ грядки, а Даша и Маша вместе — $\frac{1}{12}$ грядки.
За $1$ минуту одна Даша пропалывает: $$\frac{1}{12}-\frac{1}{20} = \frac{1}{30}$$ Значит, Даша прополет грядку за $30$ минут.
Таня и Вика пропалывают грядку за $6$ минут, а одна Вика — за $10$ минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Таня?
За $1$ минуту Вика пропалывает $\frac{1}{10}$ грядки, а Таня и Вика вместе — $\frac{1}{6}$ грядки.
За $1$ минуту одна Таня пропалывает: $$\frac{1}{6}-\frac{1}{10} = \frac{1}{15}$$ Значит, Таня прополет грядку за $15$ минут.
Первый насос наполняет бак за $20$ минут, второй — за $30$ минут, а третий — за $60$ минут. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?
Первый насос наполняет бак за $20$ минут, второй — за $30$ минут, а третий — за $1$ час. Значит, за $1$ час первый насос должен наполнить $3$ бака, второй — $2$ бака, а третий — $1$ бак.
Работая вместе, три насоса за $60$ минут наполнят $6$ баков. Значит, $1$ бак три насоса наполняют в шесть раз быстрее: $$60:6=10$$
Первый насос наполняет бак за $14$ минут, второй — за $21$ минуту, а третий — за $42$ минуты. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?
Первый насос наполняет бак за $14$ минут, второй — за $21$ минуту, а третий — за $42$ минуты. Значит, за $42$ минуты первый насос должен наполнить $3$ бака, второй — $2$ бака, а третий — $1$ бак.
Первый насос наполняет бак за $14$ минут, второй — за $21$ минуту, а третий — за $42$ минуты. Значит, за $42$ минуты первый насос должен наполнить $3$ бака, второй — $2$ бака, а третий — $1$ бак.