10. Текстовые задачи: задачи на работу

Первый садовый насос перекачивает $5$ литров воды за $2$ минуты, значит скорость его работы — $\frac{5}{2}.$ Второй насос перекачивает тот же объем воды за $3$ минуты: $\frac{5}{3}.$ Найдем скорость совместной работы насосов: $$\frac{5}{2}+\frac{5}{3} = \frac{25}{6}$$

Чтобы найти время, за которое насосы перекачают $25$ литров, разделим всю работу на общую скорость работы: $$25:\frac{25}{6} = 6$$

Один мастер выполняет $\frac{1}{12}$ часть работы в час, а другой выполняет $\frac{1}{6}$ часть работы в час.Значит, оба мастера, работая вместе, выполняют: $$\frac{1}{12}+\frac{1}{6}=\frac{1}{4}$$ Значит, работая вместе, они выполнят всю работу за $4$ часа.

Пусть за час первый рабочий изготавливает $x$ деталей. Тогда время выполнения заказа первым рабочим будет: $\frac{156}{x},$ а время выполнения заказа вторым рабочим — $\frac{156}{x-1}.$ Первый рабочий выполняет заказ на $1$ час быстрее, чем второй. Составим уравнение: $$\frac{156}{x-1}-\frac{156}{x}=1$$

$$156x-156(x-1)=x(x-1)$$ $$x^2-x-156 = 0$$ $$x_1=-12$$ $$x_2=13$$ Количество деталей не может быть отрицательным, следовательно, за час первый рабочий изготавливает $13$ деталей.

Пусть за час первый рабочий изготавливает $x$ деталей. Тогда время выполнения заказа первым рабочим будет: $\frac{264}{x},$ а время выполнения заказа вторым рабочим — $\frac{264}{x-1}.$ Первый рабочий выполняет заказ на $2$ часа быстрее, чем второй. Составим уравнение: $$\frac{264}{x-1}-\frac{264}{x}=2$$

$$264x-264(x-1)=2x(x-1)$$ $$2x^2-2x-264 = 0$$ $$x^2-x-132 = 0$$ $$x_1=-11$$ $$x_2=12$$ Количество деталей не может быть отрицательным, следовательно, за час первый рабочий изготавливает $12$ деталей.

Пусть первая труба пропускает $x$ литров воды в минуту. Первая труба заполняет резервуар объёмом $110$ литров на $2$ минуты дольше, чем вторая заполняет резервуар объёмом $99$ литров. Составим уравнение: $$\frac{110}{x}-\frac{99}{x+1} = 2$$

$$110(x+1)-99x=2x\cdot (x+1)$$ $$2x^2-9x-110=0$$ $$x_1=10$$ $$x_2=-5.5$$ Пропускная способность трубы не может быть отрицательной, значит, первая труба пропускает в минуту $10$ литров воды.

Пусть первая труба пропускает $x$ литров воды в минуту. Первая труба заполняет резервуар объёмом $171$ литров на $3$ минуты дольше, чем вторая заполняет резервуар объёмом $160$ литров. Составим уравнение: $$\frac{171}{x}-\frac{160}{x+1} = 3$$

$$171(x+1)-160x=3x\cdot (x+1)$$ $$3x^2-8x-171=0$$ $$x_1=9$$ $$x_2=-6\frac{1}{3}$$ Пропускная способность трубы не может быть отрицательной, значит, первая труба пропускает в минуту $9$ литров воды.

Рабочий выполняет заказ за $15$ часов. Следовательно, он выполняет $\frac{1}{15}$ часть заказа в час. Значит, за $3$ часа рабочий выполнил $\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$ часть заказа. После этого к нему присоединяется второй рабочий. Вместе они должны выполнить оставшуюся часть: $$1−\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$$

Найдём время, за которое два рабочих выполнят оставшуюся часть заказа. Для этого нужно разделить оставшийся объём работы на общую производительность первого и второго рабочего: $$\frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{15}+\frac{1}{15}}=6$$ Значит, на выполнение всего заказа потребовалось: $$3+6=9$$

Рабочий выполняет заказ за $13$ часов. Следовательно, он выполняет $\frac{1}{13}$ часть заказа в час. Значит, за $5$ часов рабочий выполнил $\frac{5}{13}$ заказа. После этого к нему присоединяется второй рабочий. Вместе они должны выполнить оставшуюся часть: $$1−\frac{5}{13}=\frac{8}{13}$$

Найдём время, за которое два рабочих выполнят оставшуюся часть заказа. Для этого нужно разделить оставшийся объём работы на общую производительность первого и второго рабочего: $$\frac{\frac{8}{13}}{\frac{1}{13}+\frac{1}{13}}=4$$ Значит, на выполнение всего заказа потребовалось: $$4+5=9$$

За $1$ минуту Маша пропалывает $\frac{1}{20}$ грядки, а Даша и Маша вместе — $\frac{1}{12}$ грядки.

За $1$ минуту одна Даша пропалывает: $$\frac{1}{12}-\frac{1}{20} = \frac{1}{30}$$ Значит, Даша прополет грядку за $30$ минут.

За $1$ минуту Вика пропалывает $\frac{1}{10}$ грядки, а Таня и Вика вместе — $\frac{1}{6}$ грядки.

За $1$ минуту одна Таня пропалывает: $$\frac{1}{6}-\frac{1}{10} = \frac{1}{15}$$ Значит, Таня прополет грядку за $15$ минут.

Первый насос наполняет бак за $20$ минут, второй — за $30$ минут, а третий — за $1$ час. Значит, за $1$ час первый насос должен наполнить $3$ бака, второй — $2$ бака, а третий — $1$ бак.

Работая вместе, три насоса за $60$ минут наполнят $6$ баков. Значит, $1$ бак три насоса наполняют в шесть раз быстрее: $$60:6=10$$

Первый насос наполняет бак за $14$ минут, второй — за $21$ минуту, а третий — за $42$ минуты. Значит, за $42$ минуты первый насос должен наполнить $3$ бака, второй — $2$ бака, а третий — $1$ бак.

Первый насос наполняет бак за $14$ минут, второй — за $21$ минуту, а третий — за $42$ минуты. Значит, за $42$ минуты первый насос должен наполнить $3$ бака, второй — $2$ бака, а третий — $1$ бак.

Производительность ученика токаря:
$$\frac{1}{18} \text{ заказа в час}$$
Производительность токаря:
$$\frac{1}{12} \text{ заказа в час}$$

Пусть $a$ — время работы ученика (в часах), $b$ — время работы токаря (в часах).
Условие выполнения всего заказа:
$$\frac{1}{18}a + \frac{1}{12}b = 1$$
Условие, что ученик изготовил в два раза больше деталей, чем токарь:
$$\frac{1}{18}a = 2 \cdot \frac{1}{12}b$$

Упростим оба уравнения.
Первое уравнение умножим на $36$ (общий знаменатель $18$ и $12$):
$$36 \cdot \frac{1}{18}a + 36 \cdot \frac{1}{12}b = 36 \cdot 1$$
$$2a + 3b = 36 \quad (1)$$

Второе уравнение:
$$\frac{1}{18}a = \frac{2}{12}b$$
$$\frac{1}{18}a = \frac{1}{6}b$$
Умножим обе части на $18$:
$$a = 3b \quad (2)$$

Подставим $(2)$ в $(1)$:
$$2 \cdot 3b + 3b = 36$$ $$6b + 3b = 36$$ $$9b = 36$$ $$b = 4$$

Тогда из $(2)$:
$$a = 3 \cdot 4 = 12$$

Ученик работал $12$ часов, токарь — $4$ часа.
Так как ученик начал работу раньше, токарь должен начать через:
$$a- b = 12- 4 = 8 \text{ часов}$$

Пусть первый принтер расходует пачку бумаги за $t$ минут. Тогда второй принтер расходует пачку за $t + 10$ минут.

Скорость расхода бумаги:

• первого принтера: $\frac{1}{t}$ пачки в минуту,
• второго принтера: $\frac{1}{t + 10}$ пачки в минуту.

При совместной работе их скорости складываются:
$$\frac{1}{t} + \frac{1}{t + 10} = \frac{1}{12}$$

Умножим обе части уравнения на $12t(t + 10),$ чтобы избавиться от знаменателей:
$$12(t + 10) + 12t = t(t + 10)$$

Раскроем скобки:
$$12t + 120 + 12t = t^2 + 10t$$
$$24t + 120 = t^2 + 10t$$

Перенесем все члены в левую часть:
$$t^2 + 10t- 24t- 120 = 0$$
$$t^2- 14t- 120 = 0$$

Решим квадратное уравнение:
$$D = (-14)^2- 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 196 + 480 = 676$$
$$t = \frac{14 \pm \sqrt{676}}{2} = \frac{14 \pm 26}{2}$$

Получаем два корня:
$$t_1 = \frac{14 + 26}{2} = \frac{40}{2} = 20$$
$$t_2 = \frac{14- 26}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$

Отрицательный корень $t_2 = -6$ не имеет смысла (время не может быть отрицательным). Таким образом, первый принтер израсходует пачку бумаги за $20$ минут.

Пусть первый фильтр очищает цистерну за $t$ минут. Тогда второй фильтр очищает цистерну за $t- 25$ минут.

Скорость очистки:

• первого фильтра: $\dfrac{1}{t}$ цистерны в минуту,
• второго фильтра: $\dfrac{1}{t- 25}$ цистерны в минуту.

При совместной работе их скорости складываются:
$$\frac{1}{t} + \frac{1}{t- 25} = \frac{1}{30}$$

Умножим обе части уравнения на $30t(t- 25),$ чтобы избавиться от знаменателей:
$$30(t- 25) + 30t = t(t- 25)$$

Раскроем скобки:
$$30t- 750 + 30t = t^2- 25t$$ $$60t- 750 = t^2- 25t$$

Перенесем все члены в левую часть:
$$t^2- 25t- 60t + 750 = 0$$ $$t^2- 85t + 750 = 0$$

Решим квадратное уравнение:
$$D = (-85)^2- 4 \cdot 1 \cdot 750 = 7225- 3000 = 4225$$ $$t = \frac{85 \pm \sqrt{4225}}{2} = \frac{85 \pm 65}{2}$$

Получаем два корня:
$$t_1 = \frac{85 + 65}{2} = \frac{150}{2} = 75$$
$$t_2 = \frac{85- 65}{2} = \frac{20}{2} = 10$$

Если $t = 10,$ то время работы второго фильтра $t- 25 = 10- 25 = -15$ минут, что невозможно. Таким образом, подходит только $t = 75$ минут.

Тогда второй фильтр очистит цистерну за:
$$t- 25 = 75- 25 = 50 \text{ минут}$$

Пусть Гоша решает $n$ задач в час. Тогда Вова решает $n + 2$ задач в час.
$1$ час $15$ минут = $1.25$ часа.

Время, за которое один Вова решит $33$ задачи:
$$T_{\text{Вова}} = \frac{33}{n + 2} \text{ часов}$$

Время, за которое Вова и Гоша вместе решат $33$ задачи:
$$T_{\text{вместе}} = \frac{33}{n + (n + 2)} = \frac{33}{2n + 2} = \frac{33}{2(n + 1)} \text{ часов}$$

По условию, вместе они решают на $1.25$ часа быстрее:
$$T_{\text{Вова}}- T_{\text{вместе}} = 1.25$$

Подставим выражения:
$$\frac{33}{n + 2} — \frac{33}{2(n + 1)} = 1.25$$

Умножим обе части на $2(n + 1)(n + 2),$ чтобы избавиться от знаменателей:
$$33 \cdot 2(n + 1)- 33 \cdot (n + 2) = 1.25 \cdot 2(n + 1)(n + 2)$$

Упростим:
$$66(n + 1)- 33(n + 2) = 2.5(n + 1)(n + 2)$$

Раскроем скобки:
$$66n + 66- 33n- 66 = 2.5(n^2 + 3n + 2)$$
$$33n = 2.5n^2 + 7.5n + 5$$

Перенесем все члены в левую часть:
$$0 = 2.5n^2 + 7.5n + 5- 33n$$
$$2.5n^2- 25.5n + 5 = 0$$

Умножим уравнение на $2$ для удобства:
$$5n^2- 51n + 10 = 0$$

Решим квадратное уравнение:
$$D = (-51)^2- 4 \cdot 5 \cdot 10 = 2601- 200 = 2\ 401$$
$$\sqrt{D} = \sqrt{2401} = 49$$
$$n = \frac{51 \pm 49}{10}$$

Получаем два корня:
$$n_1 = \frac{51 + 49}{10} = \frac{100}{10} = 10$$
$$n_2 = \frac{51- 49}{10} = \frac{2}{10} = 0.2$$

По условию, оба решают целое количество задач в час, поэтому $n = 10.$

Гоша решает $10$ задач в час. Чтобы решить $20$ задач, ему потребуется:
$$T = \frac{20}{10} = 2 \text{ часа}$$

Пусть вторая труба пропускает $x$ литров воды в минуту. Тогда первая труба пропускает $x- 1$ литров воды в минуту.

Время заполнения резервуара второй трубой:
$$T_2 = \frac{110}{x} \text{ минут}$$

Время заполнения резервуара первой трубой:
$$T_1 = \frac{110}{x- 1} \text{ минут}$$

По условию, вторая труба заполняет резервуар на $1$ минуту быстрее:
$$T_1- T_2 = 1$$

Подставим выражения:
$$\frac{110}{x- 1} — \frac{110}{x} = 1$$

Умножим обе части на $x(x- 1)$:
$$110x- 110(x- 1) = x(x- 1)$$

Раскроем скобки:
$$110x- 110x + 110 = x^2- x$$
$$110 = x^2- x$$

Перенесем все члены в левую часть:
$$x^2- x- 110 = 0$$

Решим квадратное уравнение:
$$D = (-1)^2- 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441$$
$$\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$$
$$x = \frac{1 \pm 21}{2}$$

Получаем два корня:
$$x_1 = \frac{1 + 21}{2} = \frac{22}{2} = 11$$
$$x_2 = \frac{1- 21}{2} = \frac{-20}{2} = -10$$

Отрицательный корень $x_2 = -10$ не имеет смысла (скорость не может быть отрицательной). Таким образом, вторая труба пропускает $11$ литров воды в минуту.

Пусть первый рабочий делает $n$ деталей в час. Тогда второй рабочий делает $n- 3$ детали в час.

Время, за которое первый рабочий изготовит $475$ деталей:
$$T_1 = \frac{475}{n} \text{ часов}$$

Время, за которое второй рабочий изготовит $550$ деталей:
$$T_2 = \frac{550}{n- 3} \text{ часов}$$

По условию, первый рабочий тратит на $6$ часов меньше:
$$T_2- T_1 = 6$$

Подставим выражения:
$$\frac{550}{n- 3} — \frac{475}{n} = 6$$

Умножим обе части на $n(n- 3)$:
$$550n- 475(n- 3) = 6n(n- 3)$$

Раскроем скобки:
$$550n- 475n + 1425 = 6n^2- 18n$$
$$75n + 1425 = 6n^2- 18n$$

Перенесем все члены в левую часть:
$$6n^2- 18n- 75n- 1425 = 0$$
$$6n^2- 93n- 1425 = 0$$

Разделим уравнение на $3$:
$$2n^2- 31n- 475 = 0$$

Решим квадратное уравнение:
$$D = (-31)^2- 4 \cdot 2 \cdot (-475) = 961 + 3\ 800 = 4\ 761$$
$$\sqrt{D} = \sqrt{4761} = 69$$
$$n = \frac{31 \pm 69}{4}$$

Получаем два корня:
$$n_1 = \frac{31 + 69}{4} = \frac{100}{4} = 25$$
$$n_2 = \frac{31- 69}{4} = \frac{-38}{4} = -9.5$$

Отрицательный корень $n_2 = -9.5$ не имеет смысла. Таким образом, первый рабочий делает $25$ деталей в час.