11. Текстовые задачи: #211713

Пусть Гоша решает $n$ задач в час. Тогда Вова решает $n + 2$ задач в час.
$1$ час $15$ минут = $1.25$ часа.

Время, за которое один Вова решит $33$ задачи:
$$T_{\text{Вова}} = \frac{33}{n + 2} \text{ часов}$$

Время, за которое Вова и Гоша вместе решат $33$ задачи:
$$T_{\text{вместе}} = \frac{33}{n + (n + 2)} = \frac{33}{2n + 2} = \frac{33}{2(n + 1)} \text{ часов}$$

По условию, вместе они решают на $1.25$ часа быстрее:
$$T_{\text{Вова}}- T_{\text{вместе}} = 1.25$$

Подставим выражения:
$$\frac{33}{n + 2} — \frac{33}{2(n + 1)} = 1.25$$

Умножим обе части на $2(n + 1)(n + 2),$ чтобы избавиться от знаменателей:
$$33 \cdot 2(n + 1)- 33 \cdot (n + 2) = 1.25 \cdot 2(n + 1)(n + 2)$$

Упростим:
$$66(n + 1)- 33(n + 2) = 2.5(n + 1)(n + 2)$$

Раскроем скобки:
$$66n + 66- 33n- 66 = 2.5(n^2 + 3n + 2)$$
$$33n = 2.5n^2 + 7.5n + 5$$

Перенесем все члены в левую часть:
$$0 = 2.5n^2 + 7.5n + 5- 33n$$
$$2.5n^2- 25.5n + 5 = 0$$

Умножим уравнение на $2$ для удобства:
$$5n^2- 51n + 10 = 0$$

Решим квадратное уравнение:
$$D = (-51)^2- 4 \cdot 5 \cdot 10 = 2601- 200 = 2\ 401$$
$$\sqrt{D} = \sqrt{2401} = 49$$
$$n = \frac{51 \pm 49}{10}$$

Получаем два корня:
$$n_1 = \frac{51 + 49}{10} = \frac{100}{10} = 10$$
$$n_2 = \frac{51- 49}{10} = \frac{2}{10} = 0.2$$

По условию, оба решают целое количество задач в час, поэтому $n = 10.$

Гоша решает $10$ задач в час. Чтобы решить $20$ задач, ему потребуется:
$$T = \frac{20}{10} = 2 \text{ часа}$$