10. Текстовые задачи: #211710

Пусть первый фильтр очищает цистерну за $t$ минут. Тогда второй фильтр очищает цистерну за $t- 25$ минут.

Скорость очистки:

• первого фильтра: $\dfrac{1}{t}$ цистерны в минуту,
• второго фильтра: $\dfrac{1}{t- 25}$ цистерны в минуту.

При совместной работе их скорости складываются:
$$\frac{1}{t} + \frac{1}{t- 25} = \frac{1}{30}$$

Умножим обе части уравнения на $30t(t- 25),$ чтобы избавиться от знаменателей:
$$30(t- 25) + 30t = t(t- 25)$$

Раскроем скобки:
$$30t- 750 + 30t = t^2- 25t$$ $$60t- 750 = t^2- 25t$$

Перенесем все члены в левую часть:
$$t^2- 25t- 60t + 750 = 0$$ $$t^2- 85t + 750 = 0$$

Решим квадратное уравнение:
$$D = (-85)^2- 4 \cdot 1 \cdot 750 = 7225- 3000 = 4225$$ $$t = \frac{85 \pm \sqrt{4225}}{2} = \frac{85 \pm 65}{2}$$

Получаем два корня:
$$t_1 = \frac{85 + 65}{2} = \frac{150}{2} = 75$$
$$t_2 = \frac{85- 65}{2} = \frac{20}{2} = 10$$

Если $t = 10,$ то время работы второго фильтра $t- 25 = 10- 25 = -15$ минут, что невозможно. Таким образом, подходит только $t = 75$ минут.

Тогда второй фильтр очистит цистерну за:
$$t- 25 = 75- 25 = 50 \text{ минут}$$