10. Текстовые задачи: #211708

Пусть первый принтер расходует пачку бумаги за $t$ минут. Тогда второй принтер расходует пачку за $t + 10$ минут.

Скорость расхода бумаги:

• первого принтера: $\frac{1}{t}$ пачки в минуту,
• второго принтера: $\frac{1}{t + 10}$ пачки в минуту.

При совместной работе их скорости складываются:
$$\frac{1}{t} + \frac{1}{t + 10} = \frac{1}{12}$$

Умножим обе части уравнения на $12t(t + 10),$ чтобы избавиться от знаменателей:
$$12(t + 10) + 12t = t(t + 10)$$

Раскроем скобки:
$$12t + 120 + 12t = t^2 + 10t$$
$$24t + 120 = t^2 + 10t$$

Перенесем все члены в левую часть:
$$t^2 + 10t- 24t- 120 = 0$$
$$t^2- 14t- 120 = 0$$

Решим квадратное уравнение:
$$D = (-14)^2- 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 196 + 480 = 676$$
$$t = \frac{14 \pm \sqrt{676}}{2} = \frac{14 \pm 26}{2}$$

Получаем два корня:
$$t_1 = \frac{14 + 26}{2} = \frac{40}{2} = 20$$
$$t_2 = \frac{14- 26}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$

Отрицательный корень $t_2 = -6$ не имеет смысла (время не может быть отрицательным). Таким образом, первый принтер израсходует пачку бумаги за $20$ минут.