ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ЧАТ С ИИ
Системы уравнений с двумя переменными: повторение и обобщение
Решение систем уравнений второй степени. Решение задач с помощью систем уравнений
В природе объекты редко двигаются по линейным траекториям, а физические величины не всегда зависят друг от друга напрямую. Форма провисания высоковольтных проводов под собственной тяжестью, зона покрытия сигнала от вышки сотовой связи или кривая торможения автомобиля на обледенелой дороге — все эти процессы моделируются кривыми линиями (параболами, цепными линиями, окружностями).
Когда расчет инженеров или исследователей требует найти точки столкновения таких объектов, границы их взаимодействия или критические точки равновесия, возможностей линейной алгебры уже явно перестает хватать. Следовательно, ученым приходится искать более сложные математические инструменты, потому что линейные уравнения не способны описать криволинейные процессы.
Именно этот переход к нелинейным моделям позволяет получить точные результаты. На предыдущих уроках мы научились решать линейные системы и уравнения второй степени. Сегодня мы объединим эти навыки, чтобы сделать следующий шаг — научиться решать системы уравнений второй степени.
Определение
Системы второй степени − это системы, в которых хотя бы одно из уравнений содержит переменные во второй степени ($x^2$, $y^2$ или произведение $xy$).
Ниже приведены несколько типичных примеров систем уравнений второй степени. $$\begin{cases} x-y = 2 \\ x^2 + y^2 = 10 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x + y = 5 \\ x \cdot y = 6 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x^2 + y = 5 \\ x^2-y = 3 \end{cases}$$
Степень каждого отдельного уравнения определяется исключительно по самому старшему члену, содержащему неизвестные. Несмотря на заметные внешние различия в записи, все эти примеры объединяет общая нелинейная природа.
Графики таких уравнений представляют собой кривые линии, их совместное решение всегда требует применения особых аналитических подходов. В итоге правильный выбор метода позволит быстро найти все точки пересечения.
Методы решения
Метод подстановки
Метод подстановки (или метод исключения переменных) заключается в последовательном уменьшении количества неизвестных в системе. Мы сводим систему из двух уравнений с двумя переменными к одному уравнению с одной переменной.
Алгоритм метода подстановки
- Изоляция переменной. В одном из уравнений (выбирается то, где коэффициенты при переменных равны $1$ или $-1$, чтобы избежать появления громоздких дробей) одна переменная выражается через другую. Например, выражается $x$ через $y$: $$x = f(y)$$
- Исключение переменной. Полученное выражение $f(y)$ подставляется вместо переменной $x$ во второе уравнение системы. В результате второе уравнение начинает содержать только одну переменную $y$.
- Решение одномерного уравнения. Полученное уравнение решается относительно $y$. На этом этапе определяются числовые значения (или корни) для $y$.
- Обратная подстановка. Найденные значения $y$ поочередно подставляются в выражение, полученное на первом шаге $(x = f(y))$, для вычисления соответствующих значений $x$.
- Запись ответа. Ответ формируется в виде пар чисел $(x; y)$. Если система имеет вторую степень, таких пар может быть несколько.
Пример 1
Найдите все пары чисел $(x; y)$, удовлетворяющие системе.
$$\begin{cases} 2x-y = 1 \\ xy = 6 \end{cases}$$
Показать решение
Скрыть
- Из первого уравнения выражаем $y$. $$y = 2x-1$$
- Подставляем полученное выражение во второе уравнение вместо $y$. $$x(2x-1) = 6$$ $$2x^2-x-6 = 0$$
- Находим дискриминант. $$D = (-1)^2-4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$$
- Вычисляем корни $x$. $$x_1 = \frac{1 + 7}{4} = 2$$ $$x_2 = \frac{1-7}{4} = -1.5$$
- Находим соответствующие значения $y$ по формуле $y = 2x-1$.
- Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 2 \cdot 2-1 = 3$.
- Если $x_2 = -1.5$, то $y_2 = 2 \cdot (-1.5)-1 = -4$.
- Проверка. Для пары $(2; 3)$:
$2 \cdot 2-3 = 1$ (верно)
$2 \cdot 3 = 6$ (верно) - Для пары $(-1.5; -4)$:
$2 \cdot (-1.5)-(-4) = -3 + 4 = 1$ (верно)
$(-1.5) \cdot (-4) = 6$ (верно) - Ответ: $(2; 3), (-1.5; -4)$.
Пример 2
Найдите все пары чисел $(x; y)$, удовлетворяющие данной системе.
$$\begin{cases} x-y = 1 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases}$$
Показать решение
Скрыть
- Из первого уравнения выражаем $x$. $$x = y + 1$$
- Подставляем это выражение во второе уравнение вместо $x$ $$(y + 1)^2 + y^2 = 25$$
- Раскрываем скобки по формуле квадрата суммы $$y^2 + 2y + 1 + y^2 = 25$$ $$2y^2 + 2y + 1-25 = 0$$ $$2y^2 + 2y-24 = 0$$
- Разделим все члены уравнения на $2$ для упрощения расчетов: $$y^2 + y-12 = 0$$
- Решаем квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-12$ $$y_1 = -4, \quad y_2 = 3$$
- Теперь находим значения $x$ для каждого из двух случаев, используя формулу подстановки $x = y + 1$
- Если $y_1 = -4$, то $x_1 = -4 + 1 = -3$.
- Если $y_2 = 3$, то $x_2 = 3 + 1 = 4$.
- Проверка. Для пары $(-3; -4)$:
- $-3-(-4) = 1$ (верно)
- $(-3)^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25$ (верно)
- Для пары $(4; 3)$:
- $4-3 = 1$ (верно)
- $4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$ (верно).
- Ответ: $(-3; -4), (4; 3)$.
Исторический факт
Знали ли вы, что метод сложения (который в мире часто называют методом исключения Гаусса) был подробно описан за 2000 лет до самого Карла Гаусса?
В древнекитайском трактате «Математика в девяти книгах» (II век до н.э.) системы уравнений решали с помощью раскладывания бамбуковых палочек на счетной доске. Этот метод назывался «фан-чжэн» (что можно перевести как «разделение по клеткам»).
Древние математики заметили: если у вас есть два весовых баланса (два уравнения), то объединение их содержимого или убирание одинакового веса с обеих сторон не нарушает равновесия. Так, двигая палочки и складывая строки на доске, они обнуляли ненужные переменные. То, что мы сегодня делаем на бумаге в несколько строчек, родилось из чисто механического перекладывания предметов!
Метод сложения
Метод сложения (метод исключения переменных путем алгебраического сложения) заключается в том, чтобы избавиться от одной из переменных, покомпонентно складывая или вычитая уравнения системы друг из друга.
Алгоритм метода сложения.
- Уравнивание коэффициентов. Анализируются коэффициенты при одной из переменных (например, при $x$ или $y$, либо при их квадратах $x^2$, $y^2$). Если они не равны по модулю, то одно или оба уравнения целиком умножаются на такие числа, чтобы коэффициенты при выбранной переменной стали одинаковыми или противоположными по знаку.
- Почленное сложение или вычитание. Если коэффициенты противоположны по знаку (например, $3y$ и $-3y$), уравнения складывают. Если коэффициенты одинаковы (например, $2x^2$ и $2x^2$), из одного уравнения вычитают другое.
В результате этого действия выбранная переменная взаимно уничтожается $(0)$, и получается новое уравнение, содержащее только одну переменную. - Решение полученного уравнения. Находится корень (или корни) для оставшейся переменной.
- Нахождение второй переменной. Полученные значения подставляются в любое из исходных уравнений системы, чтобы вычислить оставшуюся переменную.
- Запись ответа. Результаты группируются в пары чисел $(x; y)$.
Пример 3
Найти все пары чисел $(x; y)$, удовлетворяющие данной системе.
$$\begin{cases} 2x^2 + y = 9 \\ 3x^2-y = 11 \end{cases}$$
Показать решение
Скрыть
- Складываем уравнения. $$(2x^2 + 3x^2) + (y-y) = 9 + 11$$ $$5x^2 = 20$$ $$x^2 = 4 \implies x_1 = 2, \quad x_2 = -2$$
- Подставляем $x^2 = 4$ в первое уравнение. $$2 \cdot 4 + y = 9$$ $$8 + y = 9$$ $$y = 1$$
- Так как значение $y$ одинаково для обоих значений $x$, получаем две пары решений.
- Проверка: Для пары $(2; 1)$:
$2 \cdot 2^2 + 1 = 8 + 1 = 9$ (верно);
$3 \cdot 2^2-1 = 12-1 = 11$ (верно). - Для пары $(-2; 1)$:
$2 \cdot (-2)^2 + 1 = 8 + 1 = 9$ (верно);
$3 \cdot (-2)^2-1 = 12-1 = 11$ (верно). - Ответ: $(2; 1), (-2; 1)$.
Пример 4
Найти все пары чисел $(x; y)$, удовлетворяющие системе.
$$\begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 35 \\ 4x^2-3y^2 = 24 \end{cases}$$
Показать решение
Скрыть
- Умножаем первое уравнение на 3, а второе на 2. $$\begin{cases} 9x^2 + 6y^2 = 105 \\ 8x^2-6y^2 = 48 \end{cases}$$
- Складываем уравнения почленно. $$(9x^2 + 8x^2) + (6y^2-6y^2) = 105 + 48$$ $$17x^2 = 153$$ $$x^2 = 9 \implies x_1 = 3, \quad x_2 = -3$$
- Подставляем $x^2 = 9$ в первое исходное уравнение. $$3 \cdot 9 + 2y^2 = 35$$ $$27 + 2y^2 = 35$$ $$2y^2 = 35-27$$ $$2y^2 = 8$$ $$y^2 = 4 \implies y_1 = 2, \quad y_2 = -2$$
- Комбинируя знаки $x$ и $y$, получаем 4 решения.
- Проверка:
Для любых пар $(\pm 3; \pm 2)$ квадраты переменных равны $x^2 = 9$ и $y^2 = 4$.
$3 \cdot 9 + 2 \cdot 4 = 27 + 8 = 35$ (верно);
$4 \cdot 9-3 \cdot 4 = 36-12 = 24$ (верно). - Ответ: $(3; 2), (3; -2), (-3; 2), (-3; -2)$.
Метод замены переменной
Метод замены переменной (или введение новых неизвестных) применяется, когда в уравнениях системы повторяются одинаковые комбинации исходных переменных $x$ и $y$ (например, $x+y$, $xy$, $x^2+y^2$, $\frac{x}{y}$).
Вместо того чтобы раскрывать скобки и усложнять степень системы, эти повторяющиеся блоки временно обозначают новыми буквами (обычно $u$ и $v$). Благодаря этому подходу удается «спрятать» громоздкую структуру и свести систему уравнений второй степени к более простой — часто линейной — системе, потому что это временно убирает сложные комбинации переменных.
Однако после нахождения значений новых неизвестных обязательно выполняется переход обратно к исходным переменным. В итоге этот последовательный процесс разбивает одну сложную задачу на несколько простых шагов.
Алгоритм метода замены переменной.
- Поиск структуры и введение замены. Внимательно изучить систему и найти одинаковые выражения, содержащие переменные $x$ и $y$. Назначить для этих выражений новые переменные. Например: $$u = x + y, \quad v = xy$$
- Составление вспомогательной системы. Переписать исходную систему уравнений, заменив выбранные блоки на новые переменные $u$ и $v$. Полученная система должна быть более низкого порядка или проще для решения.
- Решение вспомогательной системы. Найти значения $(u; v)$, удовлетворяющие новой системе, используя стандартные методы (подстановку или сложение). Если система имеет несколько решений, зафиксировать все пары $(u_1; v_1), (u_2; v_2)$ и так далее.
- Обратная подстановка. Затем необходимо приравнять найденные числовые значения обратно к исходным выражениям с переменными $x$ и $y$. На основании этого для каждой полученной пары $(u; v)$ следует составить новую, так называемую «распадающуюся» систему уравнений относительно первоначальных переменных:
- $$\begin{cases} x + y = u_1 \\ xy = v_1 \end{cases}$$
- Нахождение окончательного ответа. Решить все образовавшиеся системы для $x$ и $y$ (обычно методом подстановки). Сгруппировать полученные результаты в итоговые пары чисел $(x; y)$ и выполнить проверку.
Пример 5
Найти все пары чисел $(x; y)$, удовлетворяющие системе.
$$\begin{cases} (x + y) + xy = 11 \\ (x + y) \cdot xy = 30 \end{cases}$$
Показать решение
Скрыть
- Введение замены:
- Анализируем оба уравнения и находим повторяющиеся комбинации: сумму $(x + y)$ и произведение $xy$.
- Вводим новые переменные:$$u = x + y$$$$v = xy$$
- Составление и решение вспомогательной системы:
- Переписываем исходную систему через $u$ и $v$:$$\begin{cases} u + v = 11 \\ u \cdot v = 30 \end{cases}$$
- Находим корни с помощью теоремы Виета через вспомогательное уравнение $t^2-11t + 30 = 0$. Получаем два числовых решения для структуры системы:
- Первая пара: $u_1 = 5, \quad v_1 = 6$
- Вторая пара: $u_2 = 6, \quad v_2 = 5$
- Обратная подстановка для первой пары ($u = 5, v = 6$):
- Составляем систему уравнений для исходных переменных:$$\begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases}$$
- Выражаем $y$ через $x$ из первого уравнения: $y = 5- x$.
- Подставляем во второе уравнение: $x(5-x) = 6 \implies x^2-5x + 6 = 0$.
- Находим корни квадратного уравнения: $x = 2$ и $x = 3$.
- Вычисляем соответствующие значения $y$:
- Если $x = 2$, то $y = 5-2 = 3 \implies$ пара $(2; 3)$.
- Если $x = 3$, то $y = 5-3 = 2 \implies$ пара $(3; 2)$.
- Обратная подстановка для второй пары ($u = 6, v = 5$):
- Составляем вторую систему уравнений:$$\begin{cases} x + y = 6 \\ xy = 5 \end{cases}$$
- Выражаем $y$ через $x$ из первого уравнения: $y = 6-x$.
- Подставляем во второе уравнение: $x(6-x) = 5 \implies x^2-6x + 5 = 0$.
- Находим корни квадратного уравнения: $x = 1$ и $x = 5$.
- Вычисляем соответствующие значения $y$:
- Если $x = 1$, то $y = 6-1 = 5 \implies$ пара $(1; 5)$.
- Если $x = 5$, то $y = 6-5 = 1 \implies$ пара $(5; 1)$.
- Фиксация итогового ответа:
- Собираем все полученные пары чисел, удовлетворяющие условию задачи.
- Ответ: $(2; 3), (3; 2), (1; 5), (5; 1)$.
Пример 6
Найти все пары чисел $(x; y)$, удовлетворяющие системе.
$$\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{5}{2} \\ x^2-y^2 = 12 \end{cases}$$
Показать решение
Скрыть
- Введение замены:
- Анализируем уравнения системы и замечаем, что переменные входят в него в виде одинаковых дробей $\frac{x}{y}$ и $\frac{y}{x}$, которые являются взаимно обратными выражениями.
- Вводим новую переменную для упрощения первого уравнения:$$u = \frac{x}{y}$$
- Тогда обратная дробь примет вид:$$\frac{y}{x} = \frac{1}{u}$$
- Составление и решение вспомогательного уравнения:
- Подставляем замену в первое уравнение системы:$$u + \frac{1}{u} = \frac{5}{2}$$
- Умножаем все члены уравнения на $2u$ (при условии $u \neq 0$) для избавления от знаменателей:$$2u^2-5u + 2 = 0$$
- Решаем квадратное уравнение через дискриминант ($D = 25-16 = 9$):
- Первый корень: $u_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2$
- Второй корень: $u_2 = \frac{5-3}{4} = \frac{1}{2}$
- Обратная подстановка для первого корня ($u = 2$):
- Возвращаемся к исходным переменным и связываем полученное значение со вторым уравнением системы:$$\begin{cases} \frac{x}{y} = 2 \\ x^2-y^2 = 12 \end{cases}$$
- Выражаем $x$ из первого уравнения: $x = 2y$.
- Подставляем во второе уравнение: $(2y)^2-y^2 = 12 \implies 4y^2-y^2 = 12 \implies 3y^2 = 12$.
- Находим значения $y$: $y^2 = 4 \implies y = 2$ или $y = -2$.
- Вычисляем соответствующие значения $x$ через формулу $x = 2y$:
- Если $y = 2$, то $x = 4 \implies$ пара $(4; 2)$.
- Если $y = -2$, то $x = -4 \implies$ пара $(-4; -2)$.
- Обратная подстановка для второго корня ($u = \frac{1}{2}$):
- Составляем вторую систему уравнений:$$\begin{cases} \frac{x}{y} = \frac{1}{2} \\ x^2-y^2 = 12 \end{cases}$$
- Выражаем $y$ через $x$: $y = 2x$.
- Подставляем во второе уравнение: $x^2-(2x)^2 = 12 \implies x^2-4x^2 = 12 \implies -3x^2 = 12$.
- Получаем уравнение $x^2 = -4$, которое не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Данная ветвь решения не дает новых пар чисел.
- Фиксация итогового ответа:
- Собираем все действительные пары чисел, полученные в ходе расчетов.
- Ответ: $(4; 2), (-4; -2)$.
Решение задач
Важно понимать, что в реальных задачах из области физики или экономики системы уравнений редко бывают готовыми. Обычно мы имеем дело лишь с текстовым описанием процессов: движением тел, площадями или финансовыми показателями. Именно поэтому сначала требуется перевести эти данные на язык математики для создания модели, а уже потом переходить к решению получившейся системы. Сейчас мы разберем, как увязать текст с формулами для поиска реальных величин.
Задача 1
Для испытания квадрокоптера инженеры подготовили прямоугольную площадку. Известно, что длина диагональной траектории полета от одного угла площадки до противоположного составляет $10$ метров. Если одну из сторон площадки уменьшить на $2$ метра, а другую оставить прежней, то площадь тестовой зоны сократится на $16$ квадратных метров. Найдите исходные размеры площадки.
Показать решение
Скрыть
Дано
- $d = 10$ $м$ — диагональ площадки.
- $\Delta S = 16$ $м^2$ — уменьшение площади.
- Изменение сторон: $x$ (без изменений), $(y-2)$ (уменьшена на 2 $м$).
Составление математической модели
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами и диагональю: $$x^2 + y^2 = 10^2 \implies x^2 + y^2 = 100$$ Исходная площадь равна $xy$, а площадь после изменения сторон равна $x(y-2)$. Разность этих площадей составляет $16 м^2$ :$$xy-x(y-2) = 16$$
Упрощение второго уравнения
Раскроем скобки во втором уравнении, чтобы избавиться от произведения переменных: $$xy-xy + 2x = 16 \implies 2x = 16 \implies x = 8$$.
Нахождение второй переменной
Подставим найденное значение $x = 8$ в первое уравнение системы:$$8^2 + y^2 = 100$$$$64 + y^2 = 100 \implies y^2 = 36$$Уравнение имеет два алгебраических корня: $y_1 = 6$ и $y_2 = -6$.
Отбор корней по физическому смыслу
Так как $y$ представляет собой длину стороны площадки, значение $y = -6$ не удовлетворяет условию задачи (длина не может быть отрицательной). Остается один корень: $y = 6$.
Проверка
- Диагональ: $8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 = 10^2$ (верно).
- Исходная площадь: $8 \cdot 6 = 48$ $м^2$
- Новая площадь при изменении стороны $y$: $8 \cdot (6-2) = 8 \cdot 4 = 32$ $м^2$.
- Разность площадей: $48-32 = 16$ $м^2$ (верно).
Ответ. Исходные размеры площадки составляют $8$ метров и $6$ метров.
В предыдущей задаче мы связывали между собой статические величины — длины сторон и площадь. Но системы уравнений второй степени так же легко справляются с процессами, которые развиваются во времени.
Типичный пример — совместная работа. Когда два человека, два механизма или две трубы выполняют одну общую задачу, их скорость работы (производительность) складывается. Если при этом их производительности различаются, а время выполнения задачи ограничено, связь между ними снова превращается в систему уравнений второй степени.
Разберем, как автоматизировать этот расчет.
Задача 2
ИТ-отделу нужно перенести терабайт данных на новый сервер. Если запустить два независимых скрипта оптимизации одновременно, они завершат всю работу за $4$ часа. Если же запустить эти скрипты по очереди, то первому скрипту (работающему быстрее) понадобится на $6$ часов меньше для выполнения всего объема работы, чем второму. За сколько часов каждый скрипт в отдельности может выполнить перенос всей базы данных?
Показать решение
Скрыть
- Введение переменных и составление модели. Пусть скорость работы первого скрипта равна $p_1$ (доля базы в час), а второго — $p_2$. Работая вместе, за 4 часа они выполняют всю работу (1 целую): $$4(p_1 + p_2) = 1 \implies p_1 + p_2 = \frac{1}{4}$$Время, за которое первый скрипт выполнит работу в одиночку, равно $\frac{1}{p_1}$, а второй — $\frac{1}{p_2}$. По условию, первому нужно на 6 часов меньше:$$\frac{1}{p_2}-\frac{1}{p_1} = 6$$
- Преобразование системы
Мы получили систему уравнений:$$\begin{cases} p_1 + p_2 = 0.25 \\ \frac{1}{p_2}-\frac{1}{p_1} = 6 \end{cases}$$ Выразим $p_1$ из первого уравнения: $$p_1 = 0.25-p_2$$. Подставим это выражение во второе уравнение: $$\frac{1}{p_2}-\frac{1}{0.25-p_2} = 6$$ - Решение полученного уравнения
Приведем дроби к общему знаменателю $p_2(0.25-p_2)$: $$\frac{0.25-p_2-p_2}{p_2(0.25-p_2)} = 6$$ $$0.25-2p_2 = 6p_2(0.25-p_2)$$ $$0.25-2p_2 = 1.5p_2-6p_2^2$$ Перенесем все члены в левую часть для формирования стандартного квадратного уравнения: $$6p_2^2-3.5p_2 + 0.25 = 0$$Для удобства умножим все коэффициенты на 4, чтобы избавиться от дробей:$$24p_2^2-14p_2 + 1 = 0$$ Находим дискриминант: $$D = (-14)^2-4 \cdot 24 \cdot 1 = 196-96 = 100$$Вычисляем корни для производительности $p_2$: $$p_{2(1)} = \frac{14 + 10 = 24}{48} = 0.5$$$$p_{2(2)} = \frac{14-10 = 4}{48} = \frac{1}{12}$$ - Анализ результатов и поиск времени
Если $p_2 = 0.5$, то производительность первого скрипта $p_1 = 0.25-0.5 = -0.25$. Скорость работы не может быть отрицательной, этот вариант не подходит.Следовательно, производительность второго скрипта равна:$$p_2 = \frac{1}{12} \text{ (базы в час)}$$Тогда производительность первого скрипта:$$p_1 = \frac{1}{4}-\frac{1}{12} = \frac{3-1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \text{ (базы в час)} $$Находим время одиночной работы для каждого скрипта:$$t_1 = \frac{1}{p_1} = 6 \text{ часов}$$ $$t_2 = \frac{1}{p_2} = 12 \text{ часов}$$
Проверка
- Разница во времени: $12 \text{ ч} — 6 \text{ ч} = 6 \text{ часов}$ (соответствует условию).
- Совместная скорость: $\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ базы в час.
- Время совместной работы: $1 / (\frac{1}{4}) = 4 \text{ часа}$ (соответствует условию).
Ответ. Первый скрипт выполнит перенос базы данных за $6$ часов, а второй — за $12$ часов.
Выводы
Сегодня мы научились решать системы уравнений второй степени. В отличие от линейных, они описывают кривые линии (параболы, окружности) и могут иметь до $4$ решений, так как эти линии пересекаются в нескольких точках.
Универсального алгоритма нет, но в вашем арсенале теперь есть три стратегии:
- Метод подстановки — используйте, если в одном из уравнений легко выразить переменную (коэффициенты $1$ или $-1$).
- Метод сложения — идеален, если в системе есть одинаковые или противоположные слагаемые (например, $+y$ и $-y$). Они взаимно уничтожаются при сложении уравнений.
- Метод замены переменной — применяется, когда в тексте видны повторяющиеся громоздкие блоки (например, $x+y$ и $xy$). Их можно временно спрятать в переменные $u$ и $v$, чтобы упростить структуру системы.
Главный секрет: перед началом вычислений всегда анализируйте структуру системы, чтобы выбрать самый короткий и красивый путь решения.
Часто задаваемые вопросы
Да, может. С геометрической точки зрения это означает, что графики уравнений не пересекаются в пространстве. Например, окружность $x^2 + y^2 = 1$ и прямая $y = 5$ не имеют общих точек, поэтому у такой системы не будет ни одного действительного корня. В процессе алгебраического решения ты просто придешь к квадратному уравнению с отрицательным дискриминантом ($D < 0$).
Математический аппарат (алгебра) не знает, о чем именно задача. Уравнение честно находит все математически возможные точки пересечения графиков. Но если в условии задачи речь идет о длине забора, количестве рабочих или времени работы скрипта, то отрицательные значения просто не имеют физического смысла. Мы отсекаем их на этапе интерпретации результатов.
Для систем второй степени — крайне желательно. Из-за возведения в квадрат, раскрытия скобок и обратных подстановок легко потерять знак или перепутать, какому значению $x$ соответствует конкретное значение $y$. Подстановка найденных пар $(x; y)$ в оба исходных уравнения системы — единственный способ убедиться, что ответ верный.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий
Хотите оставить комментарий?
Войти