Тест: способ подстановки для систем второй степени

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Решите систему $\\left\\{\\begin{aligned}x-y=4\\\\ x^2+y^2=26\\end{aligned}\\right.$. В ответе запишите наибольшее значение $x$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Выражаем: $x=y+4$ и подставляем в квадратное уравнение.","Получаем уравнение с одной переменной: $2y^2+8y-10=0$, то есть $y^2+4y-5=0$. Решите его и вернитесь за второй переменной.","Наибольшее значение $x$ равно $5$."],"step":1},{"id":"1","content":"Решите систему $\\left\\{\\begin{aligned}y-x=2\\\\ x^2+y^2=34\\end{aligned}\\right.$. В ответе запишите наибольшее значение $x$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Выражаем: $y=x+2$ и подставляем в квадратное уравнение.","Получаем уравнение с одной переменной: $2x^2+4x-30=0$, то есть $x^2+2x-15=0$. Решите его и вернитесь за второй переменной.","Наибольшее значение $x$ равно $3$."],"step":1},{"id":"2","content":"Решите систему $\\left\\{\\begin{aligned}x+y=7\\\\ xy=12\\end{aligned}\\right.$. В ответе запишите наибольшее значение $x$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Выражаем $y=7-x$ и подставляем: $x(7-x)=12$.","$x^2-7x+12=0$, откуда $x=3$ или $x=4$.","Наибольшее значение $x$ равно $4$."],"step":1},{"id":"2","content":"Решите систему $\\left\\{\\begin{aligned}x+y=9\\\\ xy=14\\end{aligned}\\right.$. В ответе запишите наибольшее значение $x$. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Выражаем $y=9-x$ и подставляем: $x(9-x)=14$.","$x^2-9x+14=0$, откуда $x=2$ или $x=7$.","Наибольшее значение $x$ равно $7$."],"step":1},{"id":"3","content":"Сколько решений имеет система $\\left\\{\\begin{aligned}y=x^2\\\\ y=2x-1\\end{aligned}\\right.$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Два решения","Решений нет","Бесконечно много решений","Одно решение"],"explanations":["Два решения при $D>0$, а здесь $D=0$: прямая только касается параболы","Решений нет при $D<0$, а здесь $D=0$","Бесконечно много решений бывает лишь при совпадении линий, а здесь парабола и прямая",""],"answer":[3]}},"hints":["Подставляем: $x^2=2x-1$, то есть $x^2-2x+1=0$.","$D=4-4=0$: один корень $x=1$, значит одно решение $(1;1)$."],"step":1},{"id":"3","content":"Сколько решений имеет система $\\left\\{\\begin{aligned}y=x^2+1\\\\ y=2x-2\\end{aligned}\\right.$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Одно решение","Два решения","Бесконечно много решений","Решений нет"],"explanations":["Одно решение при $D=0$, а здесь $D=-8$","Два решения при $D>0$, а здесь дискриминант отрицателен","Бесконечно много решений бывает лишь при совпадении линий, а здесь парабола и прямая",""],"answer":[3]}},"hints":["Подставляем: $x^2+1=2x-2$, то есть $x^2-2x+3=0$.","$D=4-12=-8<0$: корней нет, решений нет."],"step":1},{"id":"4","content":"В системе $\\left\\{\\begin{aligned}y=x+4\\\\ x^2+y^2=40\\end{aligned}\\right.$ подставили первое уравнение во второе: $x^2+(x+4)^2=40$. После раскрытия скобок и переноса слагаемых получится уравнение [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$2x^2+8x-24=0$","$2x^2-24=0$","$2x^2+4x-24=0$","$2x^2+8x+56=0$"],"answer":0}},"instruction":"Выберите уравнение","hints":["Раскрываем квадрат по формуле: в нем три слагаемых, включая удвоенное произведение.","Приводим подобные и переносим число влево: $2x^2+8x-24=0$."],"step":1},{"id":"4","content":"В системе $\\left\\{\\begin{aligned}x=y-3\\\\ x^2+y^2=45\\end{aligned}\\right.$ подставили первое уравнение во второе: $(y-3)^2+y^2=45$. После раскрытия скобок и переноса слагаемых получится уравнение [[fill_choice-2]]","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$2y^2-6y-36=0$","$2y^2-3y-36=0$","$2y^2-36=0$","$2y^2-6y+54=0$"],"answer":0}},"instruction":"Выберите уравнение","hints":["Раскрываем квадрат по формуле: в нем три слагаемых, включая удвоенное произведение.","Приводим подобные и переносим число влево: $2y^2-6y-36=0$."],"step":1},{"id":"5","content":"Расставьте шаги решения системы $\\left\\{\\begin{aligned}x-y=2\\\\ xy=8\\end{aligned}\\right.$ в верном порядке. [[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Из первого уравнения выразим $x=y+2$","Подставим это выражение во второе уравнение: $(y+2)y=8$","Значит, $y^2+2y-8=0$, откуда $y=2$ или $y=-4$","Тогда по формуле $x=y+2$ находим $x=4$ или $x=-2$","Итак, ответ: $(4;2)$, $(-2;-4)$"]}},"hints":["Сначала выражаем переменную из первого уравнения, затем подставляем во второе.","Решаем квадратное уравнение, по выражению находим вторую переменную и записываем пары."],"step":1},{"id":"5","content":"Расставьте шаги решения системы $\\left\\{\\begin{aligned}x+y=2\\\\ xy=-8\\end{aligned}\\right.$ в верном порядке. [[sorter-2]]","widgets":{"sorter-2":{"type":"sorter","items":["Из первого уравнения выразим $y=2-x$","Подставим это выражение во второе уравнение: $x(2-x)=-8$","Значит, $x^2-2x-8=0$, откуда $x=4$ или $x=-2$","Тогда по формуле $y=2-x$ находим $y=-2$ или $y=4$","Итак, ответ: $(4;-2)$, $(-2;4)$"]}},"hints":["Сначала выражаем переменную из первого уравнения, затем подставляем во второе.","Решаем квадратное уравнение, по выражению находим вторую переменную и записываем пары."],"step":1},{"id":"6","content":"Вообразавр решил систему $\\left\\{\\begin{aligned}y=x-1\\\\ x^2+y^2=25\\end{aligned}\\right.$ и нашел $x=4$ или $x=-3$, $y=3$ или $y=-4$. Ответ он записал так: $(4;-4),\\ (-3;3)$. В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["<span>Ответ надо записать так:<br>$x=4$, $x=-3$</span>","<span>Решений четыре:<br>каждое $x$ с каждым $y$</span>","<span>Пары склеены крест-накрест;<br>верно: $(4;3),\\ (-3;-4)$</span>","<span>Ошибки нет: $x$ и $y$ можно<br>соединять в любом порядке</span>"],"explanations":["Решение системы — пара чисел $(x;y)$; одни значения $x$ — это половина ответа","Пары $(4;-4)$ и $(-3;3)$ не удовлетворяют первому уравнению: решений только два","","Подставим $(4;-4)$ в первое уравнение: равенство неверно, значит, это не решение"],"answer":[2]}},"hints":["Каждое $x$ дает свое $y$: из $y=x-1$ при $x=4$ получаем $y=3$, при $x=-3$ — $y=-4$.","Проверка: $(4;-4)$ не удовлетворяет первому уравнению. Верный ответ: $(4;3),\\ (-3;-4)$."],"step":1},{"id":"6","content":"Вообразавр решил систему $\\left\\{\\begin{aligned}x-y=3\\\\ x^2+y^2=17\\end{aligned}\\right.$ и нашел $x=4$ или $x=-1$, $y=1$ или $y=-4$. Ответ он записал так: $(4;-4),\\ (-1;1)$. В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["<span>Ответ надо записать так:<br>$x=4$, $x=-1$</span>","<span>Ошибки нет: $x$ и $y$ можно<br>соединять в любом порядке</span>","<span>Пары склеены крест-накрест;<br>верно: $(4;1),\\ (-1;-4)$</span>","<span>Решений четыре:<br>каждое $x$ с каждым $y$</span>"],"explanations":["Решение системы — пара чисел $(x;y)$; одни значения $x$ — это половина ответа","Подставим $(4;-4)$ в первое уравнение: равенство неверно, значит, это не решение","","Пары $(4;-4)$ и $(-1;1)$ не удовлетворяют первому уравнению: решений только два"],"answer":[2]}},"hints":["Каждое $x$ дает свое $y$: из $y=x-3$ при $x=4$ получаем $y=1$, при $x=-1$ — $y=-4$.","Проверка: $(4;-4)$ не удовлетворяет первому уравнению. Верный ответ: $(4;1),\\ (-1;-4)$."],"step":1},{"id":"7","content":"Вообразавр решал систему $\\left\\{\\begin{aligned}x-y=3\\\\ x^2+y^2=29\\end{aligned}\\right.$. Он подставил $x=y+3$ и записал: $y^2+9+y^2=29$. В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["<span>Квадрат равен $y^2+3y+9$,<br>а не $y^2+9$</span>","<span>$29$ надо было перенести<br>влево со знаком плюс</span>","<span>$(y+3)^2=y^2+6y+9$:<br>потеряно слагаемое $6y$</span>","<span>Из первого уравнения<br>нельзя выразить $x$</span>"],"explanations":["Удвоенное произведение равно $2\\cdot y\\cdot3=6y$, а не $3y$","Перенос $29$ тут ни при чем: проблема в левой части, в раскрытии квадрата","","Выражать $x$ из линейного уравнения можно и нужно; ошибка в раскрытии скобок"],"answer":[2]}},"hints":["$(y+3)^2=y^2+2\\cdot y\\cdot3+9=y^2+6y+9$.","Слагаемое $6y$ потеряно: правильное уравнение $2y^2+6y-20=0$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Вообразавр решал систему $\\left\\{\\begin{aligned}y=x-3\\\\ x^2+y^2=29\\end{aligned}\\right.$. Он подставил $y=x-3$ и записал: $x^2+x^2-9=29$. В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["<span>$(x-3)^2=x^2-6x+9$,<br>а не $x^2-9$</span>","Подставлять надо $x$ вместо $y$","Надо было возвести $29$ в квадрат","$(x-3)^2$ равно $x^2-6x$"],"explanations":["","Выражение для $y$ подставлено верно: ошибка в раскрытии квадрата","Правую часть уравнения менять не нужно: ошибка в левой части","Квадрат второго слагаемого потерян: в разложении есть еще $+9$"],"answer":[0]}},"hints":["$(x-3)^2=x^2-2\\cdot x\\cdot3+9=x^2-6x+9$.","В записи потеряно $-6x$, а число $9$ записано с ошибочным знаком."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"При каком значении $a$ система $\\left\\{\\begin{aligned}y=x^2\\\\ y=4x+a\\end{aligned}\\right.$ имеет ровно одно решение? [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"-4"}},"hints":["Подставляем: $x^2=4x+a$, то есть $x^2-4x-a=0$.","Одно решение при $D=0$: $D=16+4a=0$.","$a=-4$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"При каком значении $a$ система $\\left\\{\\begin{aligned}y=x^2\\\\ y=6x+a\\end{aligned}\\right.$ имеет ровно одно решение? [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"-9"}},"hints":["Подставляем: $x^2=6x+a$, то есть $x^2-6x-a=0$.","Одно решение при $D=0$: $D=36+4a=0$.","$a=-9$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Решите систему $\\left\\{\\begin{aligned}2x+y=1\\\\ xy=-1\\end{aligned}\\right.$. В ответе запишите наименьшее значение $x$. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":["-0,5","-0.5"]}},"hints":["Выражаем $y=1-2x$ и подставляем: $x(1-2x)=-1$, откуда $2x^2-x-1=0$.","$D=9$, $x=1$ или $x=-\\dfrac12$.","Наименьшее значение $x$ равно $-0{,}5$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Решите систему $\\left\\{\\begin{aligned}2x-y=3\\\\ xy=2\\end{aligned}\\right.$. В ответе запишите наибольшее значение $y$. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"1"}},"hints":["Выражаем $y=2x-3$ и подставляем: $x(2x-3)=2$, откуда $2x^2-3x-2=0$.","$D=25$, $x=2$ или $x=-\\dfrac12$; тогда $y=1$ или $y=-4$.","Наибольшее значение $y$ равно $1$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решите систему $\\left\\{\\begin{aligned}y=x^2-5\\\\ x+y=1\\end{aligned}\\right.$. В ответе запишите наибольшее значение $y$. [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Выражаем из второго уравнения $y=1-x$ и приравниваем: $x^2-5=1-x$.","$x^2+x-6=0$, $x=2$ или $x=-3$; тогда $y=-1$ или $y=4$.","Наибольшее значение $y$ равно $4$."],"step":1},{"id":"10","content":"Решите систему $\\left\\{\\begin{aligned}y=x^2-3\\\\ y-x=3\\end{aligned}\\right.$. В ответе запишите наибольшее значение $y$. [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Из второго уравнения $y=x+3$; приравниваем: $x^2-3=x+3$.","$x^2-x-6=0$, $x=3$ или $x=-2$; тогда $y=6$ или $y=1$.","Наибольшее значение $y$ равно $6$."],"step":1}]}</textarea></pre></div>