9 класс Алгебра Уравнения и системы уравнений Системы уравнений с двумя переменными

Число решений системы: график и параметр

Содержание

В уроке «Уравнение с двумя переменными и его график» вы узнали, что уравнение с двумя переменными задает линию на координатной плоскости, а в уроке «Графический способ решения систем уравнений» — что решения системы можно искать как общие точки таких линий. Сегодня нас интересует не где лежат общие точки, а сколько их и как их число меняется, когда одна линия сдвигается или поворачивается. Это задачи с параметром — такие встречаются во второй части ОГЭ.

Решение системы — перекресток двух дорог

Начнем с вопроса, на который ответим в конце урока. Линия на рисунке, похожая на букву W, — график уравнения $y=x^2-4|x|$. Горизонтальная прямая $y=a$ ползет снизу вверх: сначала она ниже всего графика, потом задевает его, потом пересекает. Сколько общих точек у двух линий на каждом этапе? И при каком $a$ их ровно три?

График y = x² − 4|x| и горизонтальная прямая y = a, которая ползет вверх: сколько у них общих точек? — Прямая поднимается снизу вверх, и число ее общих точек с графиком меняется

Как и во всем модуле, каждое уравнение системы — дорога на координатной плоскости: все точки, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. Решение системы — пара чисел $(x;y)$, подходящая обоим уравнениям, то есть точка, лежащая на обеих дорогах сразу, — перекресток. Значит, решений у системы ровно столько, сколько у двух линий общих точек.

Определение

Параметр — буква в уравнении, которая обозначает число, известное в каждой отдельной задаче, но способное принимать разные значения. При каждом значении параметра получается своя система.

Пример 1

Сколько решений имеет система $\left\{\begin{aligned}y&=x^2-6x+8\\ y&=a\end{aligned}\right.$ при $a=3$, $a=-1$ и $a=-2$?

График первого уравнения — парабола, ветви направлены вверх. Вершина: $x_0=\frac{6}{2}=3$, $y_0=9-18+8=-1$, то есть $(3;-1)$.

$a=3$: $x^2-6x+8=3$, $x^2-6x+5=0$, $x=1$ или $x=5$. Два решения: $(1;3)$ и $(5;3)$. Прямая выше вершины пересекает обе ветви.

$a=-1$: $x^2-6x+9=0$, $(x-3)^2=0$, $x=3$. Одно решение $(3;-1)$: прямая проходит через вершину.

$a=-2$: $x^2-6x+10=0$, $D=36-40<0$. Решений нет: прямая ниже вершины.

Ответ: два решения, одно решение, решений нет.

Парабола y = x² − 6x + 8 с вершиной (3; −1) и три горизонтальные прямые: y = 3 — две общие точки, y = −1 — одна, y = −2 — ни одной — Выше вершины — два перекрестка, через вершину — один, ниже — ни одного

Правило

Число решений системы двух уравнений с двумя переменными равно числу общих точек их графиков. Если одно уравнение — $y=a$, число решений системы равно числу корней уравнения $f(x)=a$:

$$\left\{\begin{aligned}y&=f(x)\\ y&=a\end{aligned}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)=a,\ \ y=a$$

Для параболы с ветвями вверх: прямая $y=a$ выше вершины — два решения, через вершину — одно, ниже — ни одного.

Обратите внимание

Число решений не связано с числом уравнений. Система из двух уравнений может не иметь решений, иметь одно, два, три или четыре — сколько перекрестков у двух дорог. Две несовпадающие прямые пересекаются не более чем в одной точке, а прямая и W-график из начала урока — до четырех раз.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]На рисунке — график уравнения $y=x^2-4$ и прямая $y=-1$. Сколько решений имеет система из этих уравнений?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/1ibbwa3puqfu.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["Два решения","Три решения","Одно решение","Решений нет"],"explanations":["","Пересечений с параболой и прямой не больше двух","Одна точка — это касание, а здесь прямая проходит выше вершины параболы и пересекает обе ветви","Прямая лежит выше вершины $(0;-4)$, поэтому пересекает параболу"],"answer":[0]}},"hints":["Решения системы — общие точки двух линий.","Прямая $y=-1$ пересекает параболу дважды: $x^2-4=-1$, $x=\\pm\\sqrt3$."],"step":1},{"content":"При каком значении $a$ система $\\left\\{\\begin{aligned}y=x^2-4\\\\ y=a\\end{aligned}\\right.$ имеет ровно одно решение? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-4"}},"hints":["Одно общее значение — прямая проходит через вершину параболы.","Вершина $y=x^2-4$ — точка $(0;-4)$, значит $a=-4$."],"step":1},{"content":"Прямая $y=a$ пересекает параболу $y=x^2+2x$ в двух точках при [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$a<-1$","$a>0$","$a=-1$","$a>-1$"],"answer":3}},"hints":["Вершина параболы $y=x^2+2x$: $x_0=-1$, $y_0=1-2=-1$; ветви направлены вверх.","Прямая $y=a$ выше вершины пересекает обе ветви: два решения при $a>-1$."],"step":1}],"mix":1}

Прямая скользит мимо окружности

Теперь дороги — окружность $x^2+y^2=9$ с центром $(0;0)$ и радиусом $3$ и прямая $y=x+a$. При любом $a$ эта прямая параллельна прямой $y=x$: меняя $a$, мы сдвигаем дорогу вверх или вниз, не поворачивая ее.

Возьмем $a=3$. Прямая $y=x+3$ проходит через точки $(0;3)$ и $(-3;0)$, и обе лежат на окружности: $0^2+3^2=9$ и $(-3)^2+0^2=9$. Два перекрестка. Прямая $y=x+5$ проходит выше окружности и не пересекает ее. Где-то между $a=3$ и $a=5$ прямая лишь касается окружности — это граница между «два» и «ни одного».

Окружность x² + y² = 9 и параллельные прямые y = x + a: при a = 3 две точки, при a = 3√2 касание, при a = 5 нет общих точек — Сдвигаясь, прямая сначала пересекает окружность, потом касается ее, потом проходит мимо

Пример 2

При каких значениях $a$ система $\left\{\begin{aligned}x^2+y^2&=9\\ y&=x+a\end{aligned}\right.$ имеет два решения, одно решение, не имеет решений?

Подставим $y=x+a$ в первое уравнение: $x^2+(x+a)^2=9$, то есть $2x^2+2ax+a^2-9=0$. Каждый корень $x$ дает ровно одно решение $(x;x+a)$, поэтому решений столько, сколько корней.

$D=(2a)^2-4\cdot2\cdot(a^2-9)=72-4a^2$.

Два решения: $72-4a^2>0$, $a^2<18$, то есть $-3\sqrt2<a<3\sqrt2$.

Одно решение: $a^2=18$, $a=3\sqrt2$ или $a=-3\sqrt2$ — прямая касается окружности.

Решений нет: $a<-3\sqrt2$ или $a>3\sqrt2$.

Проверка: $a=3$ дает $9<18$ — два решения, как на рисунке; $a=5$ дает $25>18$ — решений нет. Граница $3\sqrt2\approx4{,}24$ лежит между $3$ и $5$.

Прямая и окружность

Подставьте уравнение прямой в уравнение окружности. Получится квадратное уравнение, и каждый его корень дает одну общую точку:

$$D>0:\ \text{две точки};\qquad D=0:\ \text{касание};\qquad D<0:\ \text{общих точек нет}$$

Проверка геометрией: почему касание при a = 3√2

Скрыть

При $a>0$ прямая $y=x+a$ пересекает оси в точках $(0;a)$ и $(-a;0)$. Вместе с началом координат они образуют равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами $a$ и гипотенузой $a\sqrt2$. Высота из начала координат на гипотенузу — расстояние от центра окружности до прямой. В равнобедренном прямоугольном треугольнике она равна половине гипотенузы: $\frac{a\sqrt2}{2}$.

Прямая касается окружности, когда это расстояние равно радиусу: $\frac{a\sqrt2}{2}=3$, откуда $a=\frac{6}{\sqrt2}=3\sqrt2$. Ответ совпал с алгебраическим.

{"questions":[{"content":"Сколько решений имеет система $\\left\\{\\begin{aligned}x^2+y^2=9\\\\ y=x+2\\end{aligned}\\right.$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Решений нет","Одно решение","Два решения","Четыре решения"],"explanations":["Решений нет при $D<0$, а здесь $D=56>0$","Одно решение — при $D=0$, а здесь $D=56$","","Прямая и окружность не могут иметь больше двух общих точек"],"answer":[2]}},"hints":["Подставляем $y=x+2$: $2x^2+4x-5=0$.","$D=16+40=56>0$: два корня, значит два решения."],"step":1},{"content":"При каком положительном $a$ система $\\left\\{\\begin{aligned}x^2+y^2=8\\\\ y=x+a\\end{aligned}\\right.$ имеет ровно одно решение? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Подставляем: $x^2+(x+a)^2=8$, то есть $2x^2+2ax+a^2-8=0$.","Одно решение при $D=0$: $4a^2-8(a^2-8)=64-4a^2=0$.","$a^2=16$, $a=4$ (положительное значение)."],"step":1},{"content":"Распределите значения $a$ по числу общих точек прямой $y=x+a$ и окружности $x^2+y^2=50$. [[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Две точки","Одна точка","Нет общих точек"],"items":[["$a=0$","$a=7$"],["$a=10$","$a=-10$"],["$a=11$","$a=-12$"]]}},"hints":["Подставляем $y=x+a$: $2x^2+2ax+a^2-50=0$, $D=4a^2-8(a^2-50)=400-4a^2$.","$D>0$ при $\\lvert a \\rvert<10$ — две точки; $D=0$ при $a=\\pm10$ — касание; $D<0$ при $\\lvert a \\rvert>10$ — общих точек нет."],"step":1}],"mix":1}

График с модулем: строим половину и отражаем

Вернемся к W-графику из начала урока. Модуль мешает построить график $y=x^2-4|x|$ сразу, но у этой функции есть удобное свойство: при $x$ и $-x$ значения одинаковы, ведь $(-x)^2=x^2$ и $\lvert -x \rvert=|x|$. Например, при $x=3$ и при $x=-3$ получаем $9-12=-3$. Значит, график симметричен относительно оси $Oy$. Тот же прием — отражение — встречался в уроке «Функция y = |x| и ее график».

Правило

Если переменная $x$ входит в формулу только через $|x|$ и $x^2$, график симметричен относительно оси $Oy$. Строим его при $x\ge0$, где $|x|=x$, и отражаем относительно оси $Oy$:

$$y=x^2-4|x|=\left\{\begin{aligned}&x^2-4x, && x\ge0\\ &x^2+4x, && x<0\end{aligned}\right.$$

При $x\ge0$ получаем параболу $y=x^2-4x=(x-2)^2-4$ (как искать вершину, разобрано в уроке «Квадратичная функция и ее график»): вершина $(2;-4)$, нули $x=0$ и $x=4$. Отражаем правую половину влево: вершина $(-2;-4)$, нуль $x=-4$. Половины встречаются в точке $(0;0)$ — это излом графика.

Ошибка

Вообразавр построил параболу $y=x^2-4x$ целиком, на всей оси, и решил, что это и есть график $y=x^2-4|x|$.

Проверим на числах. При $x=-1$ по формуле $y=1-4\cdot1=-3$, а на параболе Вообразавра $y=1+4=5$.

Где сломалось рассуждение. При $x<0$ модуль $|x|=-x$, и формула другая: $x^2+4x$. Левая половина — отражение правой, а не продолжение параболы. С неверным графиком прямая $y=-2$ дала бы два перекрестка вместо четырех.

Теперь двигаем прямую $y=a$ снизу вверх. Заметьте, при каких значениях $a$ число перекрестков меняется.

param-peresecheniya

График y = x² − 4|x| и пять горизонтальных прямых y = 2, 0, −2, −4, −5 с числом общих точек 2, 3, 4, 2, 0 — Пять положений прямой: ни одного перекрестка, два, четыре, три и снова два

Положение прямой	Значения параметра	Число решений системы
Ниже вершин	$a<-4$	0
Через обе вершины	$a=-4$	2: $x=\pm2$
Между вершинами и изломом	$-4<a<0$	4
Через излом	$a=0$	3: $x=0$, $x=\pm4$
Выше излома	$a>0$	2

Пример 3

Решите систему $\left\{\begin{aligned}y&=x^2-4|x|\\ y&=5\end{aligned}\right.$ и сверьте ответ с таблицей.

Так как $x^2=|x|^2$, обозначим $t=|x|$, $t\ge0$: $t^2-4t-5=0$, $t=5$ или $t=-1$.

Модуль не бывает отрицательным, поэтому остается $|x|=5$, то есть $x=5$ или $x=-5$.

Проверка: $25-4\cdot5=5$. Два решения — как в таблице для $a>0$.

Ответ: $(-5;5)$, $(5;5)$.

Ошибка

Вообразавр считает решения при $a=0$: «$x^2=4|x|$, делю обе части на $|x|$: $|x|=4$, $x=\pm4$. Два решения».

Проверим на числах. При $x=0$: $0^2-4\cdot0=0$ — верное равенство. Значит, $(0;0)$ — тоже решение, и решений три.

Где сломалось рассуждение. Делить на $|x|$ можно, только если $|x|\ne0$, — случай $x=0$ пропал. Надежнее разложить на множители: $|x|(|x|-4)=0$, откуда $|x|=0$ или $|x|=4$. На графике ошибка видна сразу: прямая $y=0$ проходит через излом $(0;0)$.

График y = x² − 4|x| и прямая y = 0: три общие точки, точка (0; 0) легко теряется — Прямая проходит через три точки графика; точку излома теряют, когда делят на модуль

{"questions":[{"content":"Точка $(2;-4)$ лежит на графике $y=x^2-4|x|$. Какая еще точка лежит на этом графике?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(2;4)$","$(-4;2)$","$(-2;-4)$","$(-2;4)$"],"explanations":["Знак ординаты менять нельзя: симметрия относительно оси $Oy$ меняет только знак $x$","Это просто перестановка чисел, а не точка симметрии графика","","При $x=-2$ значение функции $4-8=-4$, а не $4$: при отражении относительно $Oy$ меняется знак $x$, а не $y$"],"answer":[2]}},"hints":["График симметричен относительно оси $Oy$: значения $x^2-4|x|$ при $x$ и $-x$ совпадают.","Значит, симметричная точка $(-2;-4)$ тоже на графике."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Вообразавр решает систему $\\left\\{\\begin{aligned}y=x^2-3|x|\\\\ y=0\\end{aligned}\\right.$. Он записал: «$x^2=3|x|$, делим обе части на $|x|$: $|x|=3$, $x=\\pm3$. Два решения». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$|x|=3$ дает только $x=3$","Ошибки нет, решений два","Потеряно решение $(0;0)$","$(3;0)$ и $(-3;0)$ — одно решение"],"explanations":["Модуль равен $3$ при двух значениях, $x=3$ и $x=-3$: эта часть решения верна","Прямая $y=0$ проходит и через излом графика $(0;0)$: $0^2-3\\cdot0=0$, это третье решение","","Это разные пары чисел и разные точки графика: они считаются отдельно"],"answer":[2]}},"hints":["$x^2=|x|^2$, поэтому уравнение можно записать так: $|x|(|x|-3)=0$.","Делить на $|x|$ можно только при $x\\ne0$. А $x=0$ — тоже корень: $0^2-3\\cdot0=0$.","Решений три: $(0;0)$, $(3;0)$ и $(-3;0)$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Сколько решений имеет система $\\left\\{\\begin{aligned}y=x^2-4|x|\\\\ y=-1\\end{aligned}\\right.$?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Четыре решения","Два решения","Три решения","Решений нет"],"explanations":["","Учтена только правая половина графика: левая ветвь симметрична и дает еще два решения","Три решения только при $a=0$, а здесь $a=-1$ лежит между $-4$ и $0$","Минимум функции равен $-4$, значит прямая $y=-1$ выше минимума и пересекает график"],"answer":[0]}},"hints":["График симметричен относительно оси $Oy$: достаточно считать $x\\ge0$.","При $x\\ge0$: $x^2-4x=-1$, $x=2\\pm\\sqrt3$ — оба корня положительны.","Значит, при $x\\ge0$ два решения, а всего четыре."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Прямая поворачивается вокруг начала координат

В экзаменационных задачах дорога не только сдвигается, но и поворачивается. Прямая $y=kx$ при любом $k$ проходит через начало координат, а число $k$ задает ее наклон. Возьмем график $y=x^2-2|x|$: при $x\ge0$ это парабола $y=x^2-2x$ с вершиной $(1;-1)$, левая половина — ее отражение с вершиной $(-1;-1)$, излом — снова в точке $(0;0)$.

Точка $(0;0)$ лежит и на прямой, и на графике, поэтому один перекресток есть всегда. Остальные ищем на каждой ветви отдельно.

Пример 4

Сколько общих точек у графика $y=x^2-2|x|$ и прямой $y=x$? А у графика и прямой $y=3x$?

При $x>0$: $x^2-2x=kx$. Делить на $x$ здесь можно: ищем $x>0$, а точку $x=0$ уже учли. Получаем $x=k+2$ — подходит, если $k+2>0$.

При $x<0$: $x^2+2x=kx$, откуда $x=k-2$ — подходит, если $k-2<0$.

$k=1$: $x=3$ подходит, $x=-1$ подходит. Три точки: $(-1;-1)$, $(0;0)$, $(3;3)$.

$k=3$: $x=5$ подходит, а $x=1$ — нет, ведь на левой ветви $x<0$. Две точки: $(0;0)$ и $(5;15)$.

Ответ: три общие точки; две общие точки.

График y = x² − 2|x| и прямые y = x (три общие точки) и y = 2x (две общие точки, граница) — Прямая с небольшим наклоном пересекает обе ветви; при наклоне 2 второй перекресток сливается с началом координат

Значения $k$	Корень на правой ветви	Корень на левой ветви	Общих точек
$k\le-2$	нет	$x=k-2$	2
$-2<k<2$	$x=k+2$	$x=k-2$	3
$k\ge2$	$x=k+2$	нет	2

При $k=2$ корень $x=k-2$ становится равным нулю: перекресток на левой ветви сливается с началом координат, и точек остается две. Поэтому граничные значения $k=\pm2$ в ответ «три общие точки» не входят. На рисунке показан именно граничный случай $k=2$; прямая $y=3x$ из примера идет круче и пересекает правую ветвь в точке $(5;15)$, за пределами рисунка.

Прямая y = kx и график с изломом в начале координат

Точка $(0;0)$ — общая при любом $k$. Остальные общие точки ищите отдельно при $x>0$ и при $x<0$ и оставляйте только корни нужного знака.

{"questions":[{"content":"Сколько общих точек имеют прямая $y=x$ и график $y=x^2-4|x|$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["При $x=0$ обе линии проходят через $(0;0)$.","При $x>0$: $x^2-4x=x$, $x=5$. При $x<0$: $x^2+4x=x$, $x=-3$.","Всего три общие точки."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Сколько общих точек имеют прямая $y=-5x$ и график $y=x^2-4|x|$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Три общие точки","Четыре общие точки","Две общие точки","Одна общая точка"],"explanations":["Корень $x=-1$ получен из уравнения для $x>0$, но он отрицателен: на правой ветви такой точки нет","У прямой $y=kx$ с этим графиком не больше трех общих точек: начало координат и по одной на ветви","","Забыта точка $(-9;45)$ на левой ветви: при $x<0$ корень $x=-9$ подходит"],"answer":[2]}},"hints":["Точка $(0;0)$ лежит на обеих линиях.","При $x>0$: $x^2-4x=-5x$, откуда $x=-1$ — не подходит, ведь мы ищем $x>0$.","При $x<0$: $x^2+4x=-5x$, откуда $x=-9$ — подходит, это точка $(-9;45)$.","Всего две общие точки."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Как записать ответ в задаче с параметром

В задаче с параметром ответ — не одно число, а все значения параметра, при которых выполнено условие. Их находят по рисунку: отмечают особые уровни — вершины и изломы — и для каждого уровня и каждого промежутка между ними считают перекрестки.

Пример 5

Постройте график функции $y=x^2-2|x|-3$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с ним ровно две общие точки.

1) При $x\ge0$: $y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$, вершина $(1;-4)$, нуль $x=3$, при $x=0$ значение $y=-3$. Отражаем: вершина $(-1;-4)$, нуль $x=-3$. Излом — точка $(0;-3)$.

2) Особые уровни: $a=-4$ (вершины) и $a=-3$ (излом).

3) Считаем перекрестки: $a<-4$ — нет; $a=-4$ — два; $-4<a<-3$ — четыре; $a=-3$ — три; $a>-3$ — два.

4) Ровно две общие точки: при $a=-4$ и при $a>-3$.

Ответ: $a=-4$ или $a>-3$. Ту же запись можно дать множеством: $a\in\{-4\}\cup(-3;+\infty)$.

График y = x² − 2|x| − 3 и ось значений a: ровно две общие точки при a = −4 и при a > −3 — Ответ складывается из отдельного значения на уровне вершин и луча выше излома

Как решать задачу «сколько общих точек»

Постройте график; если в формуле $|x|$ — постройте половину при $x\ge0$ и отразите.
Найдите особые уровни: вершины, изломы.
Для каждого особого уровня и каждого промежутка между ними сосчитайте перекрестки.
Выпишите в ответ все значения параметра, где перекрестков столько, сколько требуется: и отдельные числа, и промежутки.

Обратите внимание

Чаще всего в ответе теряют отдельное значение — уровень вершин, как $a=-4$ в примере 5, — или по ошибке включают границу: при $a=-3$ точек три, поэтому запись $a\ge-3$ неверна.

Теперь ответим на вопрос из начала урока. Для W-графика $y=x^2-4|x|$ особые уровни — $a=-4$ и $a=0$. Ровно три перекрестка бывают только при $a=0$: прямая проходит через излом $(0;0)$ и пересекает график еще в точках $(-4;0)$ и $(4;0)$. Почему не при другом $a$? График симметричен: вместе с точкой $(x;a)$ на нем лежит и $(-x;a)$. Пары нет только у точки на самой оси $Oy$. Поэтому нечетное число перекрестков бывает, лишь когда прямая проходит через точку графика на оси $Oy$, — здесь это излом.

Случай	Что делает дорога	Сколько перекрестков
Прямая $y=a$ и парабола	Сдвигается вверх и вниз	0, 1 или 2; граница — вершина
Прямая $y=x+a$ и окружность	Сдвигается параллельно себе	0, 1 или 2; граница — касание, $D=0$
Прямая $y=a$ и график с $\|x\|$	Сдвигается вверх и вниз	0, 2, 3 или 4; границы — вершины и излом
Прямая $y=kx$	Поворачивается вокруг $(0;0)$	$(0;0)$ всегда и по одной точке на подходящих ветвях

{"questions":[{"content":"Вообразавр искал, при каких $a$ система $\\left\\{\\begin{aligned}y=x^2-6|x|+5\\\\ y=a\\end{aligned}\\right.$ имеет ровно два решения, и записал ответ: «$a>5$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Потеряно $a=-4$","Ошибки нет","Нужно $a\\ge5$","Нужно $-4<a<5$"],"explanations":["","При $a=-4$ прямая проходит через обе вершины $(\\pm3;-4)$ — это тоже два решения","При $a=5$ прямая проходит через излом $(0;5)$, решений три: $x=0$ и $x=\\pm6$","При таких $a$ прямая пересекает каждую ветвь дважды: решений четыре"],"answer":[0]}},"hints":["При $x\\ge0$ график — парабола $y=x^2-6x+5$ с вершиной $(3;-4)$; излом графика — точка $(0;5)$; график симметричен относительно оси $Oy$.","Два решения: выше излома ($a>5$) и когда прямая проходит через обе вершины ($a=-4$).","Верный ответ: $a=-4$ или $a>5$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Сопоставьте значение $a$ и число решений уравнения $-x^2+2|x|=a$. Один вариант лишний. [[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$a=2$","$a=1$","$a=0{,}5$","$a=0$"],"items":["Нет решений","Два решения","Четыре решения","Три решения","Одно решение"]}},"hints":["При $x\\ge0$ график $y=-x^2+2|x|$ — парабола $y=-x^2+2x$ с вершиной $(1;1)$, ветви вниз; левая половина симметрична; излом — точка $(0;0)$.","Выше вершин ($a=2$) общих точек нет, через вершины ($a=1$) — две, между изломом и вершинами ($a=0{,}5$) — четыре, через излом ($a=0$) — три."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Задачи с параметром кажутся сложными, пока их решают только алгеброй. Через перекрестки они сводятся к трем действиям: нарисовать обе дороги, понять, как параметр двигает одну из них, и сосчитать перекрестки на каждом этапе — особенно на особых уровнях. Чтобы быстро вспомнить главное, представьте прямую, которая ползет по W-графику: ноль, два, четыре, три, два перекрестка. Этот прием понадобится в уроке «Тест модуля: системы уравнений» и на экзамене.

Часто задаваемые вопросы

Почему у системы с графиком y = x² − 4|x| и прямой y = a не бывает пяти решений?

Каждая половина графика — часть параболы, а горизонтальная прямая пересекает параболу не более чем в двух точках. Значит, на правой половине не больше двух перекрестков и на левой столько же — всего не больше четырех.

Как понять, что прямая касается кривой, если рисунок неточный?

Алгеброй: подставьте уравнение прямой в уравнение кривой и найдите дискриминант. $D=0$ означает одну общую точку. Рисунок подсказывает, где искать, а алгебра подтверждает.

Обязательно ли строить график, если можно решить уравнение?

Для одного значения параметра хватит алгебры. Но когда параметр пробегает все числа, график показывает сразу все случаи и границы между ними. Без него легко пропустить отдельное значение вроде $a=-4$.

Почему у графиков с модулем решения обычно идут парами?

График симметричен относительно оси $Oy$: вместе с точкой $(x;a)$ на нем лежит точка $(-x;a)$. Пары нет только у точки на самой оси, при $x=0$. Поэтому нечетное число решений — признак того, что прямая проходит через точку графика на оси $Oy$.

Что значит «прямая касается окружности»?

У прямой и окружности ровно одна общая точка, и прямая не заходит внутрь окружности. Расстояние от центра окружности до такой прямой равно радиусу.

Награды за урок