Тест: уравнение с двумя переменными и его график

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Какая пара чисел является решением уравнения $3x+y=5$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(2;-1)$","$(2;1)$","$(1;8)$","$(-1;2)$"],"explanations":["","Посчитали $5-6$ как $1$: на самом деле $y=5-3\\cdot2=-1$","Перенесли $3x$ без смены знака: $y=5+3x$, а правильно $y=5-3x$","Числа поставлены в обратном порядке: сначала $x$, потом $y$"],"answer":[0]}},"hints":["Подставляем пары в уравнение по очереди: первое число — $x$, второе — $y$.","Для $(2;-1)$ левая часть равна $5$ — равенство верно."],"step":1},{"id":"1","content":"Какая пара чисел является решением уравнения $x+2y=7$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$(2;3)$","$(3;2)$","$(1;6)$","$(5;-1)$"],"explanations":["Числа поставлены в обратном порядке: сначала $x$, потом $y$","","Нашли $2y=6$, но забыли разделить на $2$: $y=3$, а не $6$","При $x=5$ из $2y=2$ получается $y=1$; знак сменили зря и записали $-1$"],"answer":[1]}},"hints":["Подставляем пары в уравнение по очереди: первое число — $x$, второе — $y$.","Для $(3;2)$ левая часть равна $7$ — равенство верно."],"step":1},{"id":"2","content":"Найдите ординату точки графика уравнения $y=2x^2-8$, абсцисса которой равна $-3$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["Подставляем $x=-3$ в уравнение.","$(-3)^2=9$, поэтому $y=18-8=10$."],"step":1},{"id":"2","content":"Найдите ординату точки графика уравнения $y=x^2-6$, абсцисса которой равна $-2$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"-2"}},"hints":["Подставляем $x=-2$ в уравнение.","$(-2)^2=4$, поэтому $y=4-6=-2$."],"step":1},{"id":"3","content":"Каждая точка лежит на графике ровно одного из уравнений. Сопоставьте уравнение и точку его графика. Две точки лишние. [[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$x^2+y^2=10$","$xy=-6$","$y=x^2-3$","$2x-y=5$"],"items":["$(1;3)$","$(-2;3)$","$(2;1)$","$(4;3)$","$(3;2)$","$(2;3)$"]}},"hints":["Подставляем координаты точки в каждое уравнение: первое число — $x$, второе — $y$.","$x^2+y^2=10$ — $(1;3)$; $xy=-6$ — $(-2;3)$; $y=x^2-3$ — $(2;1)$; $2x-y=5$ — $(4;3)$."],"step":1},{"id":"3","content":"Каждая точка лежит на графике ровно одного из уравнений. Сопоставьте уравнение и точку его графика. Две точки лишние. [[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$x^2+y^2=20$","$xy=8$","$y=2x^2-1$","$x+3y=7$"],"items":["$(-4;2)$","$(1;8)$","$(-2;7)$","$(4;1)$","$(2;-3)$","$(3;1)$"]}},"hints":["Подставляем координаты точки в каждое уравнение: первое число — $x$, второе — $y$.","$x^2+y^2=20$ — $(-4;2)$; $xy=8$ — $(1;8)$; $y=2x^2-1$ — $(-2;7)$; $x+3y=7$ — $(4;1)$."],"step":1},{"id":"4","content":"Что является графиком уравнения $xy=-5$?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Гипербола","Окружность","Парабола","Прямая"],"explanations":["","Окружность — сумма квадратов, а здесь произведение","Парабола — это $y=ax^2+bx+c$, где квадрат только у $x$","Прямая задается уравнением первой степени, а здесь произведение $xy$"],"answer":[0]}},"hints":["Произведение переменных постоянно: $y=-\\dfrac5x$.","Это гипербола."],"step":1},{"id":"4","content":"Что является графиком уравнения $(x+1)^2+y^2=4$?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Окружность","Парабола","Прямая","Гипербола"],"explanations":["","У параболы квадрат только у одной переменной, а здесь есть и $y^2$","Прямая задается уравнением первой степени; в этом уравнении квадраты","Гипербола — это $xy=k$; здесь сумма квадратов, а не произведение"],"answer":[0]}},"hints":["Сумма квадратов двух выражений постоянна: $(x-(-1))^2+(y-0)^2=2^2$.","Это окружность с центром $(-1;0)$ и радиусом $2$."],"step":1},{"id":"5","content":"Найдите радиус окружности $(x+1)^2+(y-4)^2=36$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Правая часть уравнения окружности — квадрат радиуса.","$r^2=36$, значит $r=6$."],"step":1},{"id":"5","content":"Найдите радиус окружности $(x-5)^2+y^2=49$. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Правая часть уравнения окружности — квадрат радиуса.","$r^2=49$, значит $r=7$."],"step":1},{"id":"6","content":"Окружность с центром $(2;-1)$ проходит через начало координат. Чему равно число $r^2$ в уравнении $(x-2)^2+(y+1)^2=r^2$? [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Точка $(0;0)$ лежит на окружности, значит ее координаты обращают уравнение в верное равенство.","$(0-2)^2+(0+1)^2=4+1=5$, то есть $r^2=5$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Окружность с центром $(-1;3)$ проходит через точку $(2;3)$. Чему равно число $r^2$ в уравнении $(x+1)^2+(y-3)^2=r^2$? [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["Точка $(2;3)$ лежит на окружности, значит ее координаты обращают уравнение в верное равенство.","$(2+1)^2+(3-3)^2=9+0=9$, то есть $r^2=9$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Вообразавр утверждает: «Уравнение $x^2+y^2=225$ то же, что $x+y=15$, поэтому точка $(10;5)$ лежит на окружности, ведь $10+5=15$». В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Ошибка в радиусе: он равен $225$, а не $15$","Сумма квадратов не равна квадрату суммы: $100+25=125\\ne225$","Ошибки нет: $10+5=15$, точка на окружности","Ошибка только в точке: брать надо $(9;6)$, ведь $9+6=15$"],"explanations":["Справа стоит квадрат радиуса, поэтому радиус равен $\\sqrt{225}=15$; ошибка не в радиусе","","Подстановка в исходное уравнение дает $125$, а не $225$: точка не на окружности","Эта точка тоже не на окружности: $81+36=117\\ne225$; дело в самом переходе от суммы квадратов к сумме"],"answer":[1]}},"hints":["Проверим точку подстановкой в исходное уравнение: $10^2+5^2=125$, а нужно $225$.","Сумма квадратов не равна квадрату суммы, поэтому уравнения разные: одно задает окружность, другое — прямую."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Вообразавр утверждает: «Уравнение $x^2+y^2=100$ то же, что $x+y=10$, поэтому точка $(6;4)$ лежит на окружности, ведь $6+4=10$». В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Ошибка только в точке: брать надо $(7;3)$, ведь $7+3=10$","Сумма квадратов не равна квадрату суммы: $36+16=52\\ne100$","Ошибка в радиусе: он равен $100$, а не $10$","Ошибки нет: $6+4=10$, точка на окружности"],"explanations":["Эта точка тоже не на окружности: $49+9=58\\ne100$; дело в самом переходе от суммы квадратов к сумме","","Справа стоит квадрат радиуса, поэтому радиус равен $\\sqrt{100}=10$; ошибка не в радиусе","Подстановка в исходное уравнение дает $52$, а не $100$: точка не на окружности"],"answer":[1]}},"hints":["Проверим точку подстановкой в исходное уравнение: $6^2+4^2=52$, а нужно $100$.","Сумма квадратов не равна квадрату суммы, поэтому уравнения разные: одно задает окружность, другое — прямую."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Распределите уравнения: проходит ли график через точку $(0;0)$? [[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Проходит через $(0;0)$","Не проходит через $(0;0)$"],"items":[["$(x-3)^2+(y-4)^2=25$","$y=x^2+5x$","$x^2+y^2+8y=0$"],["$(x-1)^2+y^2=4$","$y=(x-2)^2$","$xy=1$"]]}},"hints":["Подставляем $x=0$ и $y=0$ в каждое уравнение: равенство верно — график проходит через точку.","Для $(x-3)^2+(y-4)^2=25$: $9+16=25$ — верно, хотя центр окружности далеко от начала координат.","Для $(x-1)^2+y^2=4$: $1\\ne4$ — не проходит."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Распределите уравнения: проходит ли график через точку $(1;2)$? [[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Проходит через $(1;2)$","Не проходит через $(1;2)$"],"items":[["$(x-4)^2+(y+2)^2=25$","$y=x^2+1$","$xy=2$"],["$(x-1)^2+(y-2)^2=5$","$y=x^2+2x$","$x+y=2$"]]}},"hints":["Подставляем $x=1$ и $y=2$ в каждое уравнение: равенство верно — график проходит через точку.","Для $(x-4)^2+(y+2)^2=25$: $9+16=25$ — верно, хотя центр окружности далеко от точки $(1;2)$.","Для $(x-1)^2+(y-2)^2=5$: $0\\ne5$ — точка $(1;2)$ здесь центр, а не точка окружности."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"[[image-1]]На рисунке изображен график одного из уравнений. Какое это уравнение?[[choice-7]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/r4y85asew8t9.svg"},"choice-7":{"type":"choice","options":["$y=(x-3)^2$","$y=3-x^2$","$y=x^2+3$","$y=x^2-3$"],"explanations":["Скобка сдвигает параболу вдоль оси $Ox$, а на рисунке вершина на оси $Oy$","Такая парабола направлена ветвями вниз, а на рисунке ветви вверх","Вершина этой параболы в точке $(0;3)$, выше оси $Ox$, а на рисунке она ниже",""],"answer":[3]}},"hints":["Вершина параболы в точке $(0;-3)$, ветви направлены вверх.","Ветви вверх — коэффициент при $x^2$ положителен; вершина ниже начала координат на $3$: $y=x^2-3$."],"step":1},{"id":"9","content":"[[image-2]]На рисунке изображен график одного из уравнений. Какое это уравнение?[[choice-8]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/1a9onftzoldm.svg"},"choice-8":{"type":"choice","options":["$y=\\dfrac8x$","$y=-\\dfrac8x$","$y=-8x$","$y=-\\dfrac x8$"],"explanations":["Такая гипербола лежит в первой и третьей четвертях, а на рисунке — во второй и четвертой","","Это тоже прямая; график с двумя ветвями задается $xy=k$","Это прямая через начало координат, а на рисунке две ветви"],"answer":[1]}},"hints":["Две ветви во второй и четвертой четвертях: произведение $xy$ отрицательно.","Точка $(2;-4)$ лежит на графике: $2\\cdot(-4)=-8$, значит $y=-\\dfrac8x$."],"step":1},{"id":"10","content":"Прямая $3x+4y=12$ пересекает оси координат в точках $A$ и $B$. Найдите длину отрезка $AB$. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["На оси $Ox$: $y=0$, $3x=12$, $x=4$. На оси $Oy$: $x=0$, $4y=12$, $y=3$.","Точки $A(4;0)$ и $B(0;3)$ — катеты $4$ и $3$ прямоугольного треугольника с вершиной в начале координат.","$AB=\\sqrt{4^2+3^2}=5$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Прямая $5x+12y=60$ пересекает оси координат в точках $A$ и $B$. Найдите длину отрезка $AB$. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"13"}},"hints":["На оси $Ox$: $y=0$, $5x=60$, $x=12$. На оси $Oy$: $x=0$, $12y=60$, $y=5$.","Точки $A(12;0)$ и $B(0;5)$ — катеты $12$ и $5$ прямоугольного треугольника с вершиной в начале координат.","$AB=\\sqrt{12^2+5^2}=13$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>