Системы уравнений

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Решите систему $\\left\\{\\begin{aligned}y=x^2-2x\\\\ y=x+4\\end{aligned}\\right.$. В ответе запишите наибольшее значение $y$ среди решений системы. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Правые части равны: $x^2-2x=x+4$, то есть $x^2-3x-4=0$, откуда $x=4$ или $x=-1$.","Находим $y$ из уравнения прямой: при $x=4$ получаем $y=8$, при $x=-1$ — $y=3$. Решения: $(4;8),\\ (-1;3)$.","Наибольшее значение $y$ равно $8$."],"step":1},{"id":"1","content":"Решите систему $\\left\\{\\begin{aligned}y=x^2+3x\\\\ y=2x+6\\end{aligned}\\right.$. В ответе запишите наибольшее значение $y$ среди решений системы. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["Правые части равны: $x^2+3x=2x+6$, то есть $x^2+x-6=0$, откуда $x=2$ или $x=-3$.","Находим $y$ из уравнения прямой: при $x=2$ получаем $y=10$, при $x=-3$ — $y=0$. Решения: $(2;10),\\ (-3;0)$.","Наибольшее значение $y$ равно $10$."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-1]]На рисунке изображена окружность. Какое уравнение ее задает?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/y3jdulcwacpi.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$x^2+y^2=4$","$(x-3)^2+(y-1)^2=4$","$(x+3)^2+(y+1)^2=4$","$(x-3)^2+(y-1)^2=2$"],"explanations":["Это окружность радиуса $2$ с центром в начале координат, а центр на рисунке сдвинут","","Знаки в скобках противоположны: для центра $(3;1)$ пишут $x-3$ и $y-1$","Справа стоит квадрат радиуса, $r^2=4$, а не сам радиус"],"answer":[1]}},"hints":["Центр окружности — точка $(3;1)$, радиус равен $2$.","Уравнение $(x-3)^2+(y-1)^2=2^2=4$."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-2]]На рисунке изображена окружность. Какое уравнение ее задает?[[choice-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/sw6kti7aquxn.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["$(x-1)^2+(y+2)^2=9$","$(x+1)^2+(y-2)^2=9$","$x^2+y^2=9$","$(x+1)^2+(y-2)^2=3$"],"explanations":["Знаки в скобках противоположны: для центра $(-1;2)$ пишут $x+1$ и $y-2$","","Это окружность радиуса $3$ с центром в начале координат, а центр на рисунке сдвинут","Справа стоит квадрат радиуса, $r^2=9$, а не сам радиус"],"answer":[1]}},"hints":["Центр окружности — точка $(-1;2)$, радиус равен $3$.","Уравнение $(x+1)^2+(y-2)^2=3^2=9$."],"step":1},{"id":"3","content":"Вообразавр решает систему $\\left\\{\\begin{aligned}x+y=4\\\\ x^2+y^2=10\\end{aligned}\\right.$. Он подставил $y=4-x$ и записал $x^2+16+x^2=10$. В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Потеряно слагаемое $-8x$ в $(4-x)^2$","Потеряно слагаемое $8x$ в $(4-x)^2$","Ошибки нет: $(4-x)^2=16+x^2$","Неверно выражено $y$: должно быть $y=x-4$"],"explanations":["","Удвоенное произведение берут со знаком скобки: $-2\\cdot4\\cdot x=-8x$","Квадрат разности: $(4-x)^2=16-8x+x^2$, слагаемое $-8x$ пропало","Из $x+y=4$ получается $y=4-x$ — выражено верно"],"answer":[0]}},"hints":["$(4-x)^2=16-2\\cdot4\\cdot x+x^2=16-8x+x^2$.","Слагаемое $-8x$ потеряно."],"step":1},{"id":"3","content":"Вообразавр решает систему $\\left\\{\\begin{aligned}x-y=6\\\\ x^2+y^2=68\\end{aligned}\\right.$. Он подставил $x=y+6$ и записал $y^2+36+y^2=68$. В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: $(y+6)^2=y^2+36$","Потеряно слагаемое $6y$ в $(y+6)^2$","Неверно выражено $x$: должно быть $x=y-6$","Потеряно слагаемое $12y$ в $(y+6)^2$"],"explanations":["Квадрат суммы: $(y+6)^2=y^2+12y+36$, слагаемое $12y$ пропало","Удвоенное произведение равно $2\\cdot y\\cdot6=12y$, а не $6y$","Из $x-y=6$ получается $x=y+6$ — выражено верно",""],"answer":[3]}},"hints":["$(y+6)^2=y^2+2\\cdot y\\cdot6+36=y^2+12y+36$.","Слагаемое $12y$ потеряно."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-3]]На рисунке изображены окружность $x^2+y^2=16$ и прямая $y=x+7$. Сколько решений имеет система из этих уравнений?[[choice-5]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/g5h22gvwdjbi.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["Одно решение","Решений нет","Два решения","Четыре решения"],"explanations":["Одна общая точка — это касание, а прямая на рисунке не касается окружности","","Два уравнения не означают двух решений: решения — общие точки линий, а их на рисунке нет","Прямая пересекает окружность не более чем в двух точках"],"answer":[1]}},"hints":["Решения системы — общие точки линий.","На рисунке прямая проходит мимо окружности и не пересекает ее: общих точек нет."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-4]]На рисунке изображены парабола $y=x^2+1$ и прямая $y=2x$. Сколько решений имеет система из этих уравнений?[[choice-6]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/o1e21wwlrhve.svg"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Три решения","Одно решение","Два решения","Решений нет"],"explanations":["Прямая и парабола имеют не более двух общих точек","","Два уравнения не означают двух решений: прямая касается параболы, общая точка одна","Прямая касается параболы в точке $(1;2)$, общая точка есть"],"answer":[1]}},"hints":["Решения системы — общие точки линий.","Прямая касается параболы в точке $(1;2)$: $x^2+1=2x$ дает $(x-1)^2=0$. Общая точка одна."],"step":1},{"id":"5","content":"Вообразавр решает систему $\\left\\{\\begin{aligned}xy=2x\\\\ x+y=5\\end{aligned}\\right.$. Он разделил первое уравнение на $x$, получил $y=2$ и записал ответ $(3;2)$. В чем ошибка?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Потеряно решение $(0;0)$: делили на $x$","Пара $(3;2)$ не подходит ко второму уравнению","Ошибки нет: ответ $(3;2)$ полный","Потеряно решение $(0;5)$: делили на $x$"],"explanations":["Случай $x=0$ потерян, но вторую координату находят из второго уравнения: получается $(0;5)$, а $(0;0)$ ему не удовлетворяет","Проверка подстановкой: пара $(3;2)$ подходит, но решение не единственное","При делении на $x$ потерян случай $x=0$, он дает решение $(0;5)$",""],"answer":[3]}},"hints":["Первое уравнение переписываем как $x\\cdot(\\ldots)=0$: оно верно и при $x=0$.","При $x=0$ из второго уравнения получаем еще решение $(0;5)$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Вообразавр решает систему $\\left\\{\\begin{aligned}xy=3y\\\\ x+y=4\\end{aligned}\\right.$. Он разделил первое уравнение на $y$, получил $x=3$ и записал ответ $(3;1)$. В чем ошибка?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: ответ $(3;1)$ полный","Пара $(3;1)$ не подходит ко второму уравнению","Потеряно решение $(4;0)$: делили на $y$","Потеряно решение $(0;0)$: делили на $y$"],"explanations":["При делении на $y$ потерян случай $y=0$, он дает решение $(4;0)$","Проверка подстановкой: пара $(3;1)$ подходит, но решение не единственное","","Случай $y=0$ потерян, но вторую координату находят из второго уравнения: получается $(4;0)$, а $(0;0)$ ему не удовлетворяет"],"answer":[2]}},"hints":["Первое уравнение переписываем как $y\\cdot(\\ldots)=0$: оно верно и при $y=0$.","При $y=0$ из второго уравнения получаем еще решение $(4;0)$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Решите систему $\\left\\{\\begin{aligned}x^2+y^2=17\\\\ xy=4\\end{aligned}\\right.$. В ответе запишите наибольшее значение $x-y$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=17-2\\cdot4=9$.","Значит, $x-y=\\pm3$.","Наибольшее значение $x-y$ равно $3$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Решите систему $\\left\\{\\begin{aligned}x^2+y^2=13\\\\ xy=-6\\end{aligned}\\right.$. В ответе запишите наибольшее значение $x-y$. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=13-2\\cdot(-6)=25$.","Значит, $x-y=\\pm5$.","Наибольшее значение $x-y$ равно $5$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Дана система $\\left\\{\\begin{aligned}x^2+y^2=73\\\\ x^2-y^2=55\\end{aligned}\\right.$. Распределите пары чисел: какие из них — решения системы, а какие нет. [[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Решение системы","Не решение"],"items":[["$(8;3)$","$(-8;3)$","$(8;-3)$","$(-8;-3)$"],["$(3;8)$","$(64;9)$"]]}},"instruction":"Распределите пары по группам","hints":["Сложение дает $2x^2=128$, $x^2=64$; вычитание дает $2y^2=18$, $y^2=9$.","Значит, $x=\\pm8$, $y=\\pm3$; знаки выбираются независимо: решений четыре — $(8;3),\\ (-8;3),\\ (8;-3),\\ (-8;-3)$.","Пара $(3;8)$ — переставлены $x$ и $y$; пара $(64;9)$ — это $x^2$ и $y^2$, обратный ход не сделан."],"step":1},{"id":"7","content":"Дана система $\\left\\{\\begin{aligned}x^2+y^2=34\\\\ x^2-y^2=16\\end{aligned}\\right.$. Распределите пары чисел: какие из них — решения системы, а какие нет. [[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Решение системы","Не решение"],"items":[["$(5;3)$","$(-5;3)$","$(5;-3)$","$(-5;-3)$"],["$(3;5)$","$(25;9)$"]]}},"instruction":"Распределите пары по группам","hints":["Сложение дает $2x^2=50$, $x^2=25$; вычитание дает $2y^2=18$, $y^2=9$.","Значит, $x=\\pm5$, $y=\\pm3$; знаки выбираются независимо: решений четыре — $(5;3),\\ (-5;3),\\ (5;-3),\\ (-5;-3)$.","Пара $(3;5)$ — переставлены $x$ и $y$; пара $(25;9)$ — это $x^2$ и $y^2$, обратный ход не сделан."],"step":1},{"id":"8","content":"Одна сторона прямоугольника на $23$ см больше другой, а диагональ равна $37$ см. Найдите меньшую сторону прямоугольника (в см). [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["Пусть меньшая сторона $y$ см, большая $y+23$ см. По теореме Пифагора $y^2+(y+23)^2=1369$.","$2y^2+46y-840=0$, то есть $y^2+23y-420=0$: $y=12$ или $y=-35$.","Длина не может быть отрицательной: $y=-35$ не подходит. Меньшая сторона $12$ см."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Одна сторона прямоугольника на $1$ см больше другой, а диагональ равна $29$ см. Найдите меньшую сторону прямоугольника (в см). [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"20"}},"hints":["Пусть меньшая сторона $y$ см, большая $y+1$ см. По теореме Пифагора $y^2+(y+1)^2=841$.","$2y^2+2y-840=0$, то есть $y^2+y-420=0$: $y=20$ или $y=-21$.","Длина не может быть отрицательной: $y=-21$ не подходит. Меньшая сторона $20$ см."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"[[image-5]]На рисунке изображен график $y=x^2-6\\lvert x \\rvert+8$. Сопоставьте прямую и число решений системы из уравнения графика и уравнения прямой. Один вариант лишний. [[matcher-1]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/i7b7jos0lwal.svg"},"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$y=3$","$y=8$","$y=-1$"],"items":["Четыре решения","Три решения","Два решения","Решений нет"]}},"instruction":"Сопоставьте прямую и число решений","hints":["Решения системы — общие точки графика и прямой. График симметричен относительно оси $Oy$: вершины $(\\pm3;-1)$, излом — в точке $(0;8)$.","Прямая между вершинами и изломом пересекает обе «чаши» по два раза — четыре решения; через излом $(0;8)$ — три; через вершины — два (касание); ниже вершин — ни одного.","$y=3$ — четыре решения; $y=8$ — три решения; $y=-1$ — два решения."],"step":1},{"id":"9","content":"[[image-6]]На рисунке изображен график $y=x^2-6\\lvert x \\rvert+8$. Сопоставьте прямую и число решений системы из уравнения графика и уравнения прямой. Один вариант лишний. [[matcher-2]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/i7b7jos0lwal.svg"},"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$y=5$","$y=-1$","$y=-2$"],"items":["Четыре решения","Два решения","Решений нет","Три решения"]}},"instruction":"Сопоставьте прямую и число решений","hints":["Решения системы — общие точки графика и прямой. График симметричен относительно оси $Oy$: вершины $(\\pm3;-1)$, излом — в точке $(0;8)$.","Прямая между вершинами и изломом пересекает обе «чаши» по два раза — четыре решения; через излом $(0;8)$ — три; через вершины — два (касание); ниже вершин — ни одного.","$y=5$ — четыре решения; $y=-1$ — два решения; $y=-2$ — решений нет."],"step":1},{"id":"10","content":"Найдите количество целых значений $a$, при которых система $\\left\\{\\begin{aligned}y=-x^2+10\\lvert x \\rvert\\\\ y=a\\end{aligned}\\right.$ имеет ровно четыре решения. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"24"}},"hints":["График $y=-x^2+10\\lvert x \\rvert$ симметричен относительно оси $Oy$: при $x\\ge0$ это парабола $y=-x^2+10x$ с вершиной $(5;25)$, левая половина — ее отражение; излом в начале координат.","Прямая $y=a$ пересекает обе половины по два раза при $0<a<25$; при $a=0$ решений три, при $a=25$ — два.","Целые значения: от $1$ до $24$, их $24$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Найдите количество целых значений $a$, при которых система $\\left\\{\\begin{aligned}y=-x^2+12\\lvert x \\rvert\\\\ y=a\\end{aligned}\\right.$ имеет ровно четыре решения. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"35"}},"hints":["График $y=-x^2+12\\lvert x \\rvert$ симметричен относительно оси $Oy$: при $x\\ge0$ это парабола $y=-x^2+12x$ с вершиной $(6;36)$, левая половина — ее отражение; излом в начале координат.","Прямая $y=a$ пересекает обе половины по два раза при $0<a<36$; при $a=0$ решений три, при $a=36$ — два.","Целые значения: от $1$ до $35$, их $35$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>