9 класс Алгебра Уравнения и системы уравнений Системы уравнений с двумя переменными

Способ подстановки: системы уравнений второй степени

Содержание

Вы уже решали системы линейных уравнений способом подстановки и видели графическим способом, что решение системы — общая точка графиков. В этом уроке одно уравнение системы будет второй степени, и прямая встретится с окружностью, параболой и гиперболой. Научимся находить точные координаты общих точек и заранее узнавать, сколько их.

Точку прямой задает одно число

Каждое уравнение с двумя переменными можно представить дорогой на карте: это все точки, координаты которых ему удовлетворяют (вы знакомы с графиком уравнения с двумя переменными). Решение системы — перекресток, точка, которая лежит сразу на обеих дорогах. Рассмотрим систему $$\left\{\begin{aligned}x-y=2\\ x^2+y^2=10\end{aligned}\right.$$ Первое уравнение задает прямую, второе — окружность с центром в начале координат и радиусом $\sqrt{10}$. На рисунке видно два перекрестка. Где именно они и можно ли верить рисунку?

Окружность x² + y² = 10 и прямая x − y = 2 пересекаются в двух точках; на прямой отмечены столбы y = −3, −2, −1, 0, 1, 2 — Прямая $x-y=2$ пересекает окружность $x^2+y^2=10$ в двух точках. Каждую точку прямой задает одно число $y$

Прямая устроена проще окружности. Из $x-y=2$ следует $x=y+2$, значит, любая точка прямой имеет вид $(y+2;\ y)$. Ее задает одно число $y$ — как номер столба задает место на дороге. Пройдем по прямой и на каждом столбе спросим: лежит ли точка и на окружности, то есть равно ли $x^2+y^2$ числу $10$?

Столб $y$	Точка $(y+2;\ y)$	$x^2+y^2$	На окружности?
$-3$	$(-1;-3)$	$10$	Да
$-2$	$(0;-2)$	$4$	Нет
$-1$	$(1;-1)$	$2$	Нет
$0$	$(2;0)$	$4$	Нет
$1$	$(3;1)$	$10$	Да
$2$	$(4;2)$	$20$	Нет

Перебор нашел две точки только потому, что их координаты целые. Все числа не перебрать, поэтому условие «точка прямой лежит на окружности» записывают уравнением: в $x^2+y^2=10$ вместо $x$ ставят $y+2$. Получается уравнение с одной переменной — номером столба.

Пример 1

Решим систему $\left\{\begin{aligned}x-y=2\\ x^2+y^2=10\end{aligned}\right.$.

1) Из первого уравнения: $x=y+2$.

2) Подставляем во второе: $(y+2)^2+y^2=10$.

3) Раскрываем квадрат суммы: $y^2+4y+4+y^2=10$, то есть $2y^2+4y-6=0$. Делим на $2$: $y^2+2y-3=0$. По теореме Виета $y_1=1$, $y_2=-3$.

4) Возвращаемся к $x=y+2$: при $y=1$ получаем $x=3$, при $y=-3$ получаем $x=-1$.

5) Проверка: $3-1=2$ и $9+1=10$; $-1-(-3)=2$ и $1+9=10$.

Ответ: $(3;1)$, $(-1;-3)$.

{"questions":[{"content":"Прямая $y=x+2$ и окружность $x^2+y^2=20$. Какое уравнение выражает условие «точка прямой лежит на окружности»?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(x+2)^2=20$","$x^2+(x+2)^2=20$","$x^2+x^2+4=20$","$x^2+(x+2)=20$"],"explanations":["Пропало слагаемое $x^2$: заменяют только $y$, а $x^2$ в уравнении остается","","Квадрат суммы раскрыт как $x^2+4$: потеряно удвоенное произведение $4x$, ведь $(x+2)^2=x^2+4x+4$","Вместо $y^2$ подставили $y$: выражение $x+2$ тоже надо возвести в квадрат"],"answer":[1]}},"hints":["Точка прямой имеет вид $(x;\\ x+2)$: вместо $y$ стоит $x+2$.","Подставляем во второе уравнение вместо $y$ все выражение в скобках: $x^2+(x+2)^2=20$."],"step":1},{"content":"Точка $(x;\\ 3-x)$ лежит на прямой $x+y=3$ при любом $x$. При каких $x$ она лежит и на окружности $x^2+y^2=5$? В ответе запишите сумму этих значений $x$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Подставляем координаты точки в уравнение окружности: $x^2+(3-x)^2=5$.","$2x^2-6x+4=0$, то есть $x^2-3x+2=0$, откуда $x=1$ или $x=2$ — точки $(1;2)$ и $(2;1)$.","Сумма значений $x$: $1+2=3$."],"step":1}],"mix":1}

Пять шагов способа подстановки

В примере 1 мы сначала описали первую дорогу через одну переменную, затем «уложили» ее во второе уравнение, и в системе осталась одна неизвестная. Так же решают любую систему, где одно уравнение первой степени.

Способ подстановки

Из уравнения первой степени выразить одну переменную через другую.
Подставить это выражение во второе уравнение.
Решить полученное уравнение с одной переменной.
Для каждого корня найти вторую переменную по выражению из шага 1.
Проверить пары в обоих уравнениях и записать ответ парами $(x;y)$.

Почему так можно. Пара $(x;y)$ — решение системы, только если она верна в обоих уравнениях. Первое уравнение равносильно записи $x=y+2$, поэтому во втором уравнении $x$ можно заменить на $y+2$. Каждый корень полученного уравнения дает ровно одну точку прямой, и решений у системы столько же, сколько корней.

Ошибка

Чаще всего ошибаются, когда раскрывают скобку после подстановки. Вообразавр подставил $x=y+2$ и записал $(y+2)^2=y^2+4$.

Проверим на числе $y=1$: слева $(1+2)^2=9$, справа $1+4=5$. Скобку возводят в квадрат целиком: $(y+2)^2=y^2+4y+4$, а у Вообразавра пропало удвоенное произведение $4y$.

С ошибкой получится $2y^2+4=10$, $y=\pm\sqrt3$, и, например, точка $(2+\sqrt3;\ \sqrt3)$. Она лежит на прямой, но не на окружности: для нее $x^2+y^2=10+4\sqrt3$. Неверно раскрытая скобка «укладывает» дорогу не туда, и перекрестки появляются там, где их нет.

Квадрат со стороной y + 2 разбит на y², 4 и две полосы 2y; запись y² + 4 теряет две полосы — Квадрат со стороной $y+2$: кроме $y^2$ и $4$ в нем две полосы по $2y$. Без них теряется $4y$

{"questions":[{"content":"Расставьте шаги решения системы «линейное и квадратное уравнения» в верном порядке. [[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Выразить одну переменную из линейного уравнения","Подставить это выражение в уравнение второй степени","Из этого уравнения найти значения одной переменной","Подставить каждый корень в выражение из первого шага и найти вторую переменную","Остается проверить пары и записать ответ парами $(x;y)$"]}},"hints":["Сначала из линейного уравнения выражают одну переменную.","Это выражение подставляют в квадратное уравнение.","Затем решают уравнение с одной переменной.","Потом по выражению находят вторую переменную.","В конце проверяют пары и записывают ответ."],"step":1},{"content":"Вообразавр решал систему $\\left\\{\\begin{aligned}x-y=5\\\\ x^2+y^2=13\\end{aligned}\\right.$. Он подставил $x=y+5$ и записал: $y^2+25+y^2=13$, $2y^2=-12$, «решений нет». Где ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Выражать нужно было $y$, а не $x$","Квадрат равен $y^2+5y+25$, а не $y^2+25$","Ошибки нет: у $2y^2=-12$ корней нет","Потеряно $10y$: $(y+5)^2=y^2+10y+25$, решения есть"],"explanations":["Из $y=x-5$ получится то же самое, если снова потерять удвоенное произведение: дело не в выборе переменной","Удвоенное произведение равно $2\\cdot y\\cdot5=10y$, а не $5y$","Вывод сделан из неверного уравнения. Пара $(3;-2)$ подходит: $3-(-2)=5$ и $9+4=13$, значит решения есть",""],"answer":[3]}},"hints":["$(y+5)^2=y^2+2\\cdot y\\cdot5+25=y^2+10y+25$.","Верное уравнение: $2y^2+10y+12=0$, то есть $y^2+5y+6=0$, $y=-2$ или $y=-3$.","Решения $(3;-2)$ и $(2;-3)$ есть, а потеряно слагаемое $10y$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Каждому корню — своя пара

Пример 2

Решим систему $\left\{\begin{aligned}x+y=5\\ xy=6\end{aligned}\right.$. Второе уравнение задает гиперболу $y=\frac6x$, первое — прямую.

1) Выражаем: $y=5-x$.

2) Подставляем: $x(5-x)=6$.

3) $5x-x^2=6$, то есть $x^2-5x+6=0$, откуда $x_1=2$, $x_2=3$.

4) При $x=2$ получаем $y=5-2=3$, при $x=3$ получаем $y=5-3=2$.

5) Проверка: $2+3=5$ и $2\cdot3=6$; $3+2=5$ и $3\cdot2=6$.

Ответ: $(2;3)$, $(3;2)$.

Гипербола xy = 6 и прямая x + y = 5 пересекаются в точках (2; 3) и (3; 2); пунктир y = x — ось симметрии — $x=2$ — вертикальная прямая, а не точка. Перекресток $(2;3)$ находят, вернувшись за $y$

Пары $(2;3)$ и $(3;2)$ составлены из одних и тех же чисел, но это разные точки: они симметричны относительно прямой $y=x$. Поэтому порядок в паре важен: первым всегда пишут $x$, вторым $y$.

Ошибка

Нашли $x$ и остановились: «Ответ: $x=2$, $x=3$». На рисунке $x=2$ — целая вертикальная прямая, а перекресток на ней один, $(2;3)$. Номер столба еще не адрес: вторую переменную находят по выражению из шага 1.

Похожая ошибка — составить пары из чисел наугад, например $(2;2)$ и $(3;3)$. Проверка ловит ее сразу: $2+2=4\ne5$.

{"questions":[{"content":"При решении системы $\\left\\{\\begin{aligned}x-y=1\\\\ xy=6\\end{aligned}\\right.$ выразили $y=x-1$ и получили $x=3$ и $x=-2$. Как записать ответ?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(3;-3)$, $(-2;2)$","$x=3$, $x=-2$","$(2;3)$, $(-3;-2)$","$(3;2)$, $(-2;-3)$"],"explanations":["Пары составлены крест-накрест: при $x=3$ получено $y=2$, а не $-3$","Это значения одной переменной: за вторым числом пары надо вернуться по формуле $y=x-1$","Порядок в паре обратный: первым пишут $x$. Пара $(2;3)$ не подходит: $2-3=-1\\ne1$",""],"answer":[3]}},"hints":["Возвращаемся к $y=x-1$: при $x=3$ получаем $y=2$, при $x=-2$ получаем $y=-3$.","Ответ — пары $(3;2)$ и $(-2;-3)$."],"step":1},{"content":"Решите систему $\\left\\{\\begin{aligned}y=x-4\\\\ xy=5\\end{aligned}\\right.$. В ответе запишите сумму всех значений $y$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-4"}},"hints":["Подставляем $y=x-4$: $x(x-4)=5$, то есть $x^2-4x-5=0$.","$x=5$ или $x=-1$; возвращаемся: $y=5-4=1$ или $y=-1-4=-5$.","Сумма значений $y$: $1+(-5)=-4$."],"step":1}],"mix":1}

Сколько перекрестков, подскажет дискриминант

После подстановки получается квадратное уравнение, а у него два корня, один или ни одного. Каждый корень — перекресток, поэтому число решений системы видно по дискриминанту еще до вычисления корней.

Возьмем параболу $y=x^2$ и прямые $y=-2x+c$ с разными $c$. Подставляем: $x^2=-2x+c$, то есть $x^2+2x-c=0$ и $D=4+4c$.

Прямая	После подстановки	$D$	Решения системы	Как идет прямая
$y=-2x+3$	$x^2+2x-3=0$	$16>0$	$(1;1)$, $(-3;9)$	Пересекает параболу дважды
$y=-2x-1$	$x^2+2x+1=0$	$0$	$(-1;1)$	Касается параболы
$y=-2x-2$	$x^2+2x+2=0$	$-4<0$	Нет	Проходит ниже параболы

Парабола y = x² и прямые y = −2x + 3, y = −2x − 1, y = −2x − 2: две точки, касание, нет общих точек — Чем ниже прямая, тем меньше дискриминант: два перекрестка, касание, ни одного

Число решений

Если после подстановки получилось квадратное уравнение, то при $D>0$ система имеет два решения, при $D=0$ — одно, при $D<0$ решений нет.

Теперь можно ответить, можно ли верить рисунку. Прямые $y=-2x-1$ и $y=-2x-0{,}99$ на чертеже не отличить. Но у первой $D=0$ — одна общая точка с параболой, а у второй $D=0{,}04>0$ — две очень близкие точки, $x=-1{,}1$ и $x=-0{,}9$. Рисунок показывает число перекрестков примерно, а дискриминант — точно.

podstanovka-krivaya

{"questions":[{"content":"Соотнесите каждую систему с числом ее решений. [[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$\\left\\{\\begin{aligned}y=x^2\\\\ y=x+2\\end{aligned}\\right.$","$\\left\\{\\begin{aligned}y=x^2+3\\\\ y=-2x+2\\end{aligned}\\right.$","$\\left\\{\\begin{aligned}y=x^2\\\\ y=x-1\\end{aligned}\\right.$"],"items":["Два решения","Одно решение","Решений нет","Бесконечно много решений"]}},"instruction":"Соотнесите систему и число решений","hints":["Подставляем $y$ из второго уравнения в первое и считаем дискриминант.","$x^2=x+2$: $x^2-x-2=0$, $D=9>0$ — два решения. $x^2+3=-2x+2$: $x^2+2x+1=0$, $D=0$ — одно решение.","$x^2=x-1$: $x^2-x+1=0$, $D=-3<0$ — решений нет. Вариант «бесконечно много» лишний."],"step":1},{"content":"Сколько решений имеет система $\\left\\{\\begin{aligned}y=x+5\\\\ x^2+y^2=9\\end{aligned}\\right.$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Два решения","Четыре решения","Решений нет","Одно решение"],"explanations":["Прямая и окружность не всегда пересекаются: считать надо $D$, а он отрицателен","Прямая пересекает окружность не более чем в двух точках","","Одно решение при $D=0$ (касание), а здесь $D=-28$"],"answer":[2]}},"hints":["Подставляем $y=x+5$: $x^2+(x+5)^2=9$, откуда $2x^2+10x+16=0$.","$D=100-4\\cdot2\\cdot16=-28<0$, корней нет, значит решений нет."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Что выражать, чтобы не было дробей

В примерах 1 и 2 выражать было легко: у переменной стоял коэффициент $1$. Если в линейном уравнении коэффициенты разные, выбор переменной заметно меняет объем вычислений.

Пример 3

Решим систему $\left\{\begin{aligned}3x+y=5\\ x^2+y^2=5\end{aligned}\right.$.

1) Коэффициент при $y$ в первом уравнении равен $1$, поэтому выражаем $y$: $y=5-3x$.

2) Подставляем: $x^2+(5-3x)^2=5$.

3) Квадрат разности: $(5-3x)^2=25-30x+9x^2$. Получаем $10x^2-30x+20=0$, то есть $x^2-3x+2=0$, откуда $x_1=1$, $x_2=2$.

4) $y=5-3\cdot1=2$ и $y=5-3\cdot2=-1$.

5) Проверка: $3+2=5$ и $1+4=5$; $6-1=5$ и $4+1=5$.

Ответ: $(1;2)$, $(2;-1)$.

Что выражать из 3x + y = 5: переменную y без дробей; дробь в квадрате хуже; из второго уравнения выражать нельзя — Выразить y — без дробей; выразить x — дробь в квадрате; выразить из второго уравнения — корень и потерянное решение

Можно было выразить $x=\frac{5-y}{3}$: ответ тот же, но во втором уравнении появится $\frac{(5-y)^2}{9}$, и все придется умножать на $9$. А выражать из второго уравнения неудобно: $y=\pm\sqrt{5-x^2}$, появится корень, а если забыть про минус, решение $(2;-1)$ потеряется.

Обратите внимание

Выражайте из уравнения первой степени ту переменную, у которой коэффициент $1$ или $-1$. Если такой нет, выражайте любую, а дроби убирайте умножением на знаменатель.

{"questions":[{"content":"Дана система $\\left\\{\\begin{aligned}7x-y=5\\\\ x^2+y^2=25\\end{aligned}\\right.$. Что выгоднее всего выразить первым шагом?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$x^2=25-y^2$ из второго уравнения","$y=7x-5$ из первого уравнения","$x=\\frac{y+5}{7}$ из первого уравнения","$y=\\sqrt{25-x^2}$ из второго уравнения"],"explanations":["В первое уравнение входит $x$, а не $x^2$: такую подстановку сделать нельзя","","Получится дробь, которую придется возводить в квадрат; удобнее выразить $y$, у него коэффициент $-1$","Корень неотрицателен, поэтому потеряется решение $(0;-5)$ с отрицательным $y$"],"answer":[1]}},"hints":["Выражают из линейного уравнения ту переменную, коэффициент которой равен $\\pm1$.","В уравнении $7x-y=5$ это $y$: $y=7x-5$, без дробей и корней."],"step":1},{"content":"Решите систему $\\left\\{\\begin{aligned}x-2y=1\\\\ xy=3\\end{aligned}\\right.$. В ответе запишите сумму всех значений $x$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"1"}},"hints":["Выражаем $x=2y+1$ и подставляем: $(2y+1)y=3$, то есть $2y^2+y-3=0$.","$y=1$ или $y=-\\dfrac32$; тогда $x=3$ или $x=-2$.","Сумма значений $x$: $3+(-2)=1$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Ответ должен лежать на обеих дорогах

Решение системы — перекресток, поэтому пару проверяют в обоих уравнениях. Каждое уравнение ловит свою ошибку. Вернемся к примеру 1 и сравним верные и неверные пары.

Пара	$x-y=2$	$x^2+y^2=10$	Вывод
$(3;1)$	$3-1=2$, верно	$9+1=10$, верно	Решение
$(-1;-3)$	$-1+3=2$, верно	$1+9=10$, верно	Решение
$(1;3)$	$1-3=-2$, неверно	$1+9=10$, верно	Числа в паре переставлены
$(2+\sqrt3;\ \sqrt3)$	$2$, верно	$10+4\sqrt3$, неверно	Потеряно $4y$

Пара $(1;3)$ лежит на окружности, но не на прямой, и проверка только во втором уравнении ее пропустила бы. Пара из ошибки с квадратом суммы, наоборот, лежит на прямой — ведь $x$ найден из $x=y+2$, — и выдает ее только второе уравнение. Ответ записывают парами через запятую: «Ответ: $(3;1)$, $(-1;-3)$».

{"questions":[{"content":"Дана система $\\left\\{\\begin{aligned}x+y=1\\\\ x^2+y^2=13\\end{aligned}\\right.$. Распределите пары: являются они решениями системы или нет. [[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Решение системы","Не решение"],"items":[["$(3;-2)$","$(-2;3)$"],["$(2;-3)$","$(-3;2)$","$(0;1)$"]]}},"hints":["Пара — решение, только если она верна в обоих уравнениях.","$(2;-3)$ и $(-3;2)$ подходят во второе уравнение, но $2-3=-1\\ne1$; $(0;1)$ подходит в первое, но $0+1\\ne13$.","Решения: $(3;-2)$ и $(-2;3)$."],"step":1},{"content":"Пара $(a;-2)$ является решением системы $\\left\\{\\begin{aligned}x^2+y^2=20\\\\ x-y=6\\end{aligned}\\right.$. Найдите $a$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Подставляем $y=-2$ в первое уравнение: $a^2+4=20$, откуда $a=4$ или $a=-4$.","Проверяем второе уравнение: $4-(-2)=6$ — верно, $-4-(-2)=-2\\ne6$.","$a=4$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Системы, где одно уравнение первой степени, а другое второй, встречаются в ОГЭ (задание 20) и в текстовых задачах: длина и ширина, скорость и время часто связаны суммой и произведением. Способ подстановки сводит такую систему к знакомому квадратному уравнению. Вспомнить главное поможет карта дорог.

Если же оба уравнения второй степени, выразить переменную без корня удается редко. Для таких систем есть способ сложения и замену переменной — это следующий урок.

Часто задаваемые вопросы

Можно ли решать способом подстановки, если оба уравнения второй степени?

Можно, если из одного уравнения переменная выражается без корня, например $y=x^2-1$. Тогда подстановка дает уравнение с одной переменной, обычно четвертой степени. В общем случае удобнее способ сложения или замена переменной.

Почему у прямой и окружности не больше двух общих точек?

После подстановки получается уравнение второй степени, а у него не больше двух корней. Каждый корень дает одну точку прямой, значит, и перекрестков не больше двух.

Что делать, если после подстановки квадрат переменной сократился?

Тогда уравнение стало линейным, и решение у системы одно или его нет. Например, в системе $x+y=1$, $x^2-y^2=3$ подстановка $y=1-x$ дает $2x-1=3$, откуда $x=2$ и единственное решение $(2;-1)$. Прямая здесь пересекает гиперболу только один раз.

Обязательно ли проверять ответ, если решали аккуратно?

Проверка занимает минуту и ловит две самые частые ошибки: потерянное удвоенное произведение и переставленные числа в паре. Подставляйте пару в оба уравнения: каждое ловит свою ошибку.

Награды за урок