Карточки
Тесты
Зави
Тест: способ сложения и замена переменной
Способ сложения и замена переменной в системах второй степени
В прошлом уроке способ подстановки работал, потому что одно уравнение системы было первой степени. Теперь оба уравнения будут второй степени. Вспомним, как линейные системы решают способом сложения, научимся складывать уравнения с квадратами, вводить новые переменные и не терять при этом ни одного решения.
Сложение уравнений убирает переменную
Найдите два числа, у которых сумма квадратов равна $58$, а произведение равно $21$. Одну пару легко угадать: $7$ и $3$. Но все ли это решения? Подстановка здесь неудобна: из $xy=21$ получаем $y=\frac{21}{x}$, и уравнение станет четвертой степени. Вернемся к этой задаче, когда появится инструмент, а начнем с системы попроще: $$\left\{\begin{aligned}x^2+y^2=45\\ x^2-y^2=27\end{aligned}\right.$$ Первое уравнение — окружность, второе — гипербола. На карте видно четыре перекрестка.
Сложим уравнения почленно, как в линейных системах: левую часть с левой, правую с правой. Слагаемые $y^2$ и $-y^2$ взаимно уничтожатся: $2x^2=72$, откуда $x^2=36$. Вычтем из первого уравнения второе: $2y^2=18$, откуда $y^2=9$.
Почему новое уравнение не потеряло решений? В каждом перекрестке оба уравнения верны, значит, верна и их сумма. Поэтому дорога $x^2=36$ проходит через все четыре перекрестка. И лишних решений нет: систему из первого уравнения и суммы можно снова «разобрать» вычитанием, она равносильна исходной.
Способ сложения
- Сложить или вычесть уравнения почленно так, чтобы одна переменная исчезла.
- Решить полученное уравнение с одной переменной.
- Найти вторую переменную из любого уравнения системы.
- Составить все пары и проверить их в обоих уравнениях.
Пример 1
Решим систему $\left\{\begin{aligned}x^2+y^2=45\\ x^2-y^2=27\end{aligned}\right.$.
1) Складываем: $2x^2=72$, $x^2=36$. Вычитаем: $2y^2=18$, $y^2=9$.
2) $x^2=36$ дает $x=6$ или $x=-6$; $y^2=9$ дает $y=3$ или $y=-3$.
3) Любое значение $x$ сочетается с любым значением $y$: пар $2\cdot2=4$.
4) Проверка: $36+9=45$ и $36-9=27$ — одинаково для всех знаков.
Ответ: $(6;3)$, $(6;-3)$, $(-6;3)$, $(-6;-3)$.
Ошибка
Вообразавр получил $x^2=36$ и $y^2=9$, взял $x=6$, $y=3$ и записал ответ $(6;3)$.
Проверим пару $(-6;3)$: $36+9=45$ и $36-9=27$ — она тоже решение. Ошибка в шаге «извлечь корень»: $x^2=36$ — это не одна прямая $x=6$, а две прямые, $x=6$ и $x=-6$. Взяв одну, Вообразавр потерял два перекрестка, а выбрав еще и одно значение $y$, — три из четырех.
Сколько прямых даст уравнение $x^2=a$, зависит от знака $a$.
| Уравнение | Значения $x$ | На карте |
|---|---|---|
| $x^2=36$ | $6$ и $-6$ | Две вертикальные прямые |
| $x^2=0$ | только $0$ | Одна прямая — ось $Oy$ |
| $x^2=-4$ | нет | Ни одной прямой: решений у системы нет |
Множитель подбирают до сложения
Не всегда переменная исчезает сразу. Рассмотрим систему $$\left\{\begin{aligned}2x^2+3y^2=30\\ x^2-y^2=5\end{aligned}\right.$$ При сложении получится $3x^2+2y^2=35$: обе переменные на месте. Сделаем коэффициенты при $y^2$ противоположными: $3$ и $-3$. Для этого второе уравнение умножим на $3$ — обе его части.
Пример 2
Решим систему $\left\{\begin{aligned}2x^2+3y^2=30\\ x^2-y^2=5\end{aligned}\right.$.
1) Умножаем второе уравнение на $3$: $3x^2-3y^2=15$.
2) Складываем с первым: $5x^2=45$, $x^2=9$, $x=\pm3$.
3) Из второго уравнения: $y^2=x^2-5=4$, $y=\pm2$.
4) Проверка: $2\cdot9+3\cdot4=30$ и $9-4=5$.
Ответ: $(3;2)$, $(3;-2)$, $(-3;2)$, $(-3;-2)$.
Если умножить на $3$ только левую часть, выйдет $3x^2-3y^2=5$, затем $x^2=7$ и $y^2=2$. Проверка в первом уравнении сразу покажет ошибку: $2\cdot7+3\cdot2=20$, а не $30$. Уравнение — это равенство, и чтобы оно осталось верным, умножают обе части.
Умножение уравнения на число
Обе части уравнения умножают на одно и то же число, не равное нулю, так, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными. Если одного множителя мало, умножают оба уравнения: например, коэффициенты $2$ и $5$ превращают в $10$ и $-10$.
Умножаем оба уравнения
Решим систему $\left\{\begin{aligned}3x^2+2y^2=11\\ 4x^2-5y^2=-16\end{aligned}\right.$.
1) Коэффициенты при $y^2$ равны $2$ и $-5$: наименьшее общее кратное $10$. Первое уравнение умножаем на $5$, второе на $2$: $15x^2+10y^2=55$ и $8x^2-10y^2=-32$.
2) Складываем: $23x^2=23$, $x^2=1$. Тогда $y^2=\dfrac{11-3}2=4$.
Ответ: $(1;2)$, $(1;-2)$, $(-1;2)$, $(-1;-2)$, то есть $(\pm1;\pm2)$.
Вернемся к примеру 2. На карте умножение и сложение дают новую дорогу $(2+k)x^2+(3-k)y^2=30+5k$, где $k$ — множитель второго уравнения. При любом $k$ она проходит через те же четыре перекрестка, а удачный множитель убирает одну переменную, и дорога становится парой прямых, на которых адреса читаются сразу. Проверьте это сами: двигайте $k$ и найдите второй удачный множитель — тот, при котором исчезает $x^2$.
Замена переменной — новая карта
Посмотрим на пример 1 иначе. Обозначим $u=x^2$ и $v=y^2$. Система превратилась в линейную: $u+v=45$, $u-v=27$. На новой карте с осями $u$ и $v$ это две прямые с одним перекрестком $(36;9)$. Такой прием называют заменой переменной: новые буквы выбирают так, чтобы система стала проще.
Ответ нужен на старой карте, поэтому после замены всегда делают обратный ход: по каждому найденному значению новых переменных находят $x$ и $y$. Одна точка $(36;9)$ новой карты дает четыре точки старой: $x=\pm6$, $y=\pm3$.
Вернемся к задаче из начала урока. Замена $u=x^2$ здесь не поможет: мешает $xy$. Зато подходят сумма и разность. По формулам квадрата суммы и квадрата разности $(x+y)^2=x^2+y^2+2xy$ и $(x-y)^2=x^2+y^2-2xy$, а $x^2+y^2$ и $xy$ даны в условии.
Пример 3
Решим систему $\left\{\begin{aligned}x^2+y^2=58\\ xy=21\end{aligned}\right.$.
1) Замена: $s=x+y$, $d=x-y$. Тогда $s^2=58+2\cdot21=100$, $d^2=58-2\cdot21=16$.
2) Новая карта: $s=\pm10$, $d=\pm4$ — четыре сочетания знаков.
3) Обратный ход: $x=\frac{s+d}2$, $y=\frac{s-d}2$ (сложили и вычли $x+y=s$ и $x-y=d$).
$s=10$, $d=4$: $(7;3)$. $s=10$, $d=-4$: $(3;7)$. $s=-10$, $d=4$: $(-3;-7)$. $s=-10$, $d=-4$: $(-7;-3)$.
4) Проверка: $49+9=58$ и $7\cdot3=21$; у остальных пар те же квадраты, а произведение двух отрицательных чисел положительно.
Ответ: $(7;3)$, $(3;7)$, $(-3;-7)$, $(-7;-3)$.
Замена переменной
- Ввести новые переменные, чтобы система стала проще.
- Решить систему для новых переменных, учитывая оба знака у каждого квадрата.
- Обратный ход: для каждого найденного значения новых переменных найти $x$ и $y$.
- Проверить пары и записать ответ парами $(x;y)$.
Ошибка
Вообразавр нашел $s=10$, $d=4$ и записал ответ $(10;4)$. Проверим: $100+16=116$, а не $58$. Пара $(10;4)$ — адрес на новой карте, а на старой это точка $(7;3)$: обратный ход пропущен.
Другой вариант той же ошибки — взять только $s=10$ и $d=4$. Пара $(7;3)$ верна, но решение неполное: проверка пары $(3;7)$ дает $9+49=58$ и $3\cdot7=21$. Из $s^2=100$ следует $s=\pm10$, и каждый знак — отдельная ветка схемы.
Симметрия подсказывает недостающие пары
В примерах 1 и 3 решения пришли четверками, и это не случайность. Поменяем в системе примера 3 местами $x$ и $y$: $y^2+x^2=58$, $yx=21$ — система та же. Значит, вместе с $(7;3)$ решение и $(3;7)$. Сменим знаки обеих переменных: $(-x)^2+(-y)^2=58$, $(-x)(-y)=21$ — снова та же система, поэтому решение и $(-7;-3)$.
| Что сделали с парой | Пример 1 | Пример 3 |
|---|---|---|
| $(a;b)\to(b;a)$ | $(3;6)$: $9-36\ne27$, не решение | $(3;7)$: решение |
| $(a;b)\to(-a;-b)$ | $(-6;-3)$: решение | $(-7;-3)$: решение |
| $(a;b)\to(a;-b)$ | $(6;-3)$: решение | $(7;-3)$: $7\cdot(-3)\ne21$, не решение |
Обратите внимание
Если система не меняется при перестановке $x$ и $y$, то вместе с $(a;b)$ решением будет $(b;a)$. Если не меняется при смене знаков, то вместе с $(a;b)$ решением будет $(-a;-b)$. Симметрия не заменяет решение, но помогает проверить, все ли пары найдены.
Теперь ответ на вопрос из начала урока. Угаданная пара $(7;3)$ — лишь одна из четырех. Симметрия подсказала бы еще три, а замена доказала, что других нет: каждое из четырех сочетаний знаков $s$ и $d$ дает ровно одну пару.
Способ выбирают по виду уравнений
Прежде чем решать, посмотрите, из чего составлены уравнения. От этого зависит, какой способ приведет к ответу быстрее.
| Как выглядит система | Способ | Что происходит на карте |
|---|---|---|
| Одно уравнение первой степени | Подстановка | Первую дорогу описываем одной переменной |
| Только $x^2$, $y^2$ и числа | Сложение или замена $u=x^2$, $v=y^2$ | На новой карте две прямые |
| $x^2+y^2$ и $xy$ | Замена $s=x+y$, $d=x-y$ | На новой карте $s^2$ и $d^2$ известны |
| $x^2-y^2$ и $x+y$ или $x-y$ | Разложение на множители, затем сложение | Остаются две прямые |
Пример 4
Решим систему $\left\{\begin{aligned}x^2-y^2=24\\ x+y=6\end{aligned}\right.$.
1) Раскладываем: $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$. Так как $x+y=6$, получаем $6(x-y)=24$, $x-y=4$.
2) Складываем $x+y=6$ и $x-y=4$: $2x=10$, $x=5$; тогда $y=1$.
3) Проверка: $25-1=24$ и $5+1=6$.
Ответ: $(5;1)$.
Здесь подходит и подстановка $y=6-x$, но разложение короче: квадраты исчезают сразу. Решение одно, потому что обе новые дороги, $x+y=6$ и $x-y=4$, — прямые с одним перекрестком.
Вывод
Системы второй степени встречаются в ОГЭ (задание 20) и в текстовых задачах, где неизвестны длина и ширина или два числа с известной суммой квадратов. Способ сложения и замена сводят их к уравнениям, которые вы уже умеете решать. Вспомнить главное поможет карта.
Часто задаваемые вопросы
Сумму уравнений записывают вместо одного из них, а другое оставляют в системе. Из суммы и оставленного уравнения вычитанием снова получается второе уравнение, поэтому новая система равносильна исходной.
Можно. Тогда $x^2+y^2=u^2-2v$, и система станет $u^2-42=58$, $v=21$, откуда $u=\pm10$. Обратный ход: числа с суммой $10$ и произведением $21$ — это $7$ и $3$, а с суммой $-10$ — это $-7$ и $-3$. Ответ тот же.
Число уравнений и число решений не связаны. Окружность и гипербола могут пересечься в четырех точках, и каждый перекресток — отдельное решение. Ответ записывают всеми парами.
Квадрат числа не бывает отрицательным, поэтому такого $x$ нет и решений у системы нет. На карте это значит, что дороги не встречаются.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий