Тест: текстовые задачи на системы уравнений

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Периметр прямоугольника равен $30$ см, площадь равна $56$ см$^2$. Стороны обозначили $x$ и $y$ см. Какая система соответствует условию?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\left\\{\\begin{aligned}x+y=15\\\\ xy=56\\end{aligned}\\right.$","$\\left\\{\\begin{aligned}x+y=30\\\\ xy=56\\end{aligned}\\right.$","$\\left\\{\\begin{aligned}x^2+y^2=15\\\\ xy=56\\end{aligned}\\right.$","$\\left\\{\\begin{aligned}x+y=56\\\\ xy=15\\end{aligned}\\right.$"],"explanations":["","Периметр — сумма четырех сторон; сумма двух соседних сторон равна $15$","Сумма квадратов связана с диагональю, а не с периметром","Площадь и полупериметр перепутаны: площадь — это произведение сторон"],"answer":[0]}},"hints":["Периметр равен $2(x+y)$, поэтому $x+y=30:2=15$.","Площадь равна $xy=56$."],"step":1},{"id":"1","content":"Периметр прямоугольника равен $34$ см, площадь равна $60$ см$^2$. Стороны обозначили $x$ и $y$ см. Какая система соответствует условию?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\left\\{\\begin{aligned}x+y=60\\\\ xy=17\\end{aligned}\\right.$","$\\left\\{\\begin{aligned}x^2+y^2=17\\\\ xy=60\\end{aligned}\\right.$","$\\left\\{\\begin{aligned}x+y=34\\\\ xy=60\\end{aligned}\\right.$","$\\left\\{\\begin{aligned}x+y=17\\\\ xy=60\\end{aligned}\\right.$"],"explanations":["Площадь и полупериметр перепутаны: площадь — это произведение сторон","Сумма квадратов связана с диагональю, а не с периметром","Периметр — сумма четырех сторон; сумма двух соседних сторон равна $17$",""],"answer":[3]}},"hints":["Периметр равен $2(x+y)$, поэтому $x+y=34:2=17$.","Площадь равна $xy=60$."],"step":1},{"id":"2","content":"Периметр прямоугольника равен $26$ см, площадь равна $40$ см$^2$. Найдите большую сторону в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Система: $x+y=13$, $xy=40$.","$x(13-x)=40$, $x^2-13x+40=0$, $x=5$ или $x=8$.","Большая сторона равна $8$ см."],"step":1},{"id":"2","content":"Периметр прямоугольника равен $20$ см, площадь равна $24$ см$^2$. Найдите большую сторону в сантиметрах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Система: $x+y=10$, $xy=24$.","$x(10-x)=24$, $x^2-10x+24=0$, $x=4$ или $x=6$.","Большая сторона равна $6$ см."],"step":1},{"id":"3","content":"Периметр прямоугольника равен $34$ см, диагональ равна $13$ см. Найдите площадь в квадратных сантиметрах. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"60"}},"hints":["Система: $x+y=17$, $x^2+y^2=169$.","Подстановка $y=17-x$ дает $x^2-17x+60=0$, $x=5$ или $x=12$.","Площадь $5\\cdot12=60$."],"step":1},{"id":"3","content":"Периметр прямоугольника равен $46$ см, диагональ равна $17$ см. Найдите площадь в квадратных сантиметрах. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"120"}},"hints":["Система: $x+y=23$, $x^2+y^2=289$.","Подстановка $y=23-x$ дает $x^2-23x+120=0$, $x=8$ или $x=15$.","Площадь $8\\cdot15=120$."],"step":1},{"id":"4","content":"Сумма двух чисел равна $13$, а их произведение равно $36$. Меньшее из этих чисел равно [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$6$","$9$","$4$","$\\frac{13}{2}$"],"answer":2}},"hints":["Система: $x+y=13$, $xy=36$.","$x(13-x)=36$, $x^2-13x+36=0$, $x=4$ или $x=9$.","Меньшее число равно $4$."],"step":1},{"id":"4","content":"Сумма двух чисел равна $17$, а их произведение равно $60$. Меньшее из этих чисел равно [[fill_choice-2]]","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$\\frac{17}{2}$","$5$","$12$","$10$"],"answer":1}},"hints":["Система: $x+y=17$, $xy=60$.","$x(17-x)=60$, $x^2-17x+60=0$, $x=5$ или $x=12$.","Меньшее число равно $5$."],"step":1},{"id":"5","content":"Сопоставьте условие и уравнение для сторон прямоугольника $x$ и $y$. Одно уравнение лишнее. [[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Периметр равен $20$ см","Площадь равна $24$ см$^2$","Диагональ равна $7$ см"],"items":["$x+y=10$","$xy=24$","$x^2+y^2=49$","$x+y=20$"]}},"hints":["Периметр дает сумму сторон, площадь — произведение, диагональ — сумму квадратов."]},{"id":"5","content":"Сопоставьте условие и уравнение для двух чисел $x$ и $y$. Одно уравнение лишнее. [[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Сумма чисел равна $9$","Произведение чисел равно $14$","Сумма квадратов чисел равна $85$"],"items":["$x+y=9$","$xy=14$","$x^2+y^2=85$","$x^2+y^2=9$"]}},"hints":["Сумма — это $x+y$, произведение — $xy$, сумма квадратов — $x^2+y^2$."]},{"id":"6","content":"Пешеход прошел $12$ км, а велосипедист проехал $24$ км. Скорость велосипедиста на $8$ км/ч больше, а времени он затратил на $1$ ч меньше. Найдите скорость пешехода в километрах в час. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Пусть скорость пешехода $v$ км/ч, время $t$ ч: $vt=12$. У велосипедиста скорость $v+8$, время $t-1$: $(v+8)(t-1)=24$.","Раскрываем: $vt-v+8t-8=24$, вычитаем первое уравнение: $8t-v=20$, $v=8t-20$.","$t(8t-20)=12$, $2t^2-5t-3=0$, $t=3$ (корень $-\\frac12$ не подходит), $v=8\\cdot3-20=4$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Лыжник прошел $20$ км, а мотоциклист проехал $40$ км. Скорость мотоциклиста на $30$ км/ч больше, а времени он затратил на $1$ ч меньше. Найдите скорость лыжника в километрах в час. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["Пусть скорость лыжника $v$ км/ч, время $t$ ч: $vt=20$. У мотоциклиста скорость $v+30$, время $t-1$: $(v+30)(t-1)=40$.","Раскрываем: $vt-v+30t-30=40$, вычитаем первое уравнение: $30t-v=50$, $v=30t-50$.","$t(30t-50)=20$, $3t^2-5t-2=0$, $t=2$ (корень $-\\frac13$ не подходит), $v=30\\cdot2-50=10$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Площадь прямоугольника $42$ см$^2$, одна сторона на $1$ см больше другой. Вообразавр решил систему $\\left\\{\\begin{aligned}y-x=1\\\\ xy=42\\end{aligned}\\right.$ и записал: «Ответ: $(6;7)$, $(-7;-6)$». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Ответ верен: обе пары задают участок","Система составлена неверно: площадь — это сумма сторон","Пара $(-7;-6)$ решает систему, но длина положительна","Вторая пара получена с ошибкой: $(-7)\\cdot(-6)\\ne42$"],"explanations":["Длина не бывает отрицательной, поэтому пара с минусами участок не задает","Система составлена верно: $xy=42$ и разность сторон $1$; ошибка в выборе ответа","","Вторая пара верна: $(-7)\\cdot(-6)=42$; она решает систему, но не подходит по смыслу"],"answer":[2]}},"hints":["Обе пары удовлетворяют системе: $6\\cdot7=42$ и $(-7)\\cdot(-6)=42$.","Но длина стороны положительна, пара $(-7;-6)$ не подходит по смыслу.","Ответ: стороны $6$ и $7$ см."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Площадь прямоугольника $36$ см$^2$, одна сторона на $5$ см больше другой. Вообразавр решил систему $\\left\\{\\begin{aligned}y-x=5\\\\ xy=36\\end{aligned}\\right.$ и записал: «Ответ: $(4;9)$, $(-9;-4)$». В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Система составлена неверно: площадь — это сумма сторон","Вторая пара получена с ошибкой: $(-9)\\cdot(-4)\\ne36$","Пара $(-9;-4)$ решает систему, но длина положительна","Ответ верен: обе пары задают участок"],"explanations":["Система составлена верно: $xy=36$ и разность сторон $5$; ошибка в выборе ответа","Вторая пара верна: $(-9)\\cdot(-4)=36$; она решает систему, но не подходит по смыслу","","Длина не бывает отрицательной, поэтому пара с минусами участок не задает"],"answer":[2]}},"hints":["Обе пары удовлетворяют системе: $4\\cdot9=36$ и $(-9)\\cdot(-4)=36$.","Но длина стороны положительна, пара $(-9;-4)$ не подходит по смыслу.","Ответ: стороны $4$ и $9$ см."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Вообразавр решал задачу: «Периметр прямоугольника $36$ см, площадь $80$ см$^2$». Он записал систему $\\left\\{\\begin{aligned}x+y=36\\\\ xy=80\\end{aligned}\\right.$. В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Надо добавить уравнение для диагонали","Площадь прямоугольника не равна $xy$","Нужно было записать $x-y=36$","Периметр — это $2(x+y)$, поэтому сумма сторон равна $18$, а не $36$"],"explanations":["Для двух неизвестных достаточно двух уравнений, диагональ в условии не дана","Площадь прямоугольника равна произведению сторон: это уравнение верно","Разность сторон в условии не дана",""],"answer":[3]}},"hints":["Периметр прямоугольника равен $2(x+y)$.","Верное уравнение: $x+y=18$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Вообразавр решал задачу: «Диагональ прямоугольника $25$ см, периметр $62$ см». Он записал систему $\\left\\{\\begin{aligned}x+y=31\\\\ x^2+y^2=25\\end{aligned}\\right.$. В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Надо добавить уравнение $xy=25$","Периметр записан неверно: надо $x+y=62$","По теореме Пифагора сумма квадратов сторон равна квадрату диагонали: $x^2+y^2=625$","Для диагонали нужно уравнение $x+y=25$"],"explanations":["Площадь в условии не дана: произведение $xy$ неизвестно","Сумма сторон равна $62:2=31$: уравнение $x+y=31$ верное","","Диагональ не равна сумме сторон: она короче этой суммы"],"answer":[2]}},"hints":["По теореме Пифагора $x^2+y^2=d^2$.","Верное уравнение: $x^2+y^2=625$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"У двузначного числа сумма цифр равна $7$, а произведение цифр равно $12$. Какие числа подходят?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$3$ и $4$","Только $34$","$25$ и $52$","$34$ и $43$"],"explanations":["Это цифры, а спрашивают двузначные числа: из цифр надо составить числа","Цифры $3$ и $4$ можно переставить: у числа $43$ та же сумма и то же произведение цифр","Проверена только сумма цифр: $2\\cdot5=10$, а не $12$",""],"answer":[3]}},"hints":["Цифры $a$ и $b$: $a+b=7$, $ab=12$; $a=3$, $b=4$ или наоборот.","Цифры можно поставить в любом порядке: подходят $34$ и $43$."],"step":1},{"id":"9","content":"У двузначного числа сумма цифр равна $8$, а произведение цифр равно $15$. Какие числа подходят?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$3$ и $5$","Только $35$","$35$ и $53$","$17$ и $71$"],"explanations":["Это цифры, а спрашивают двузначные числа: из цифр надо составить числа","Цифры $3$ и $5$ можно переставить: у числа $53$ та же сумма и то же произведение цифр","","Проверена только сумма цифр: $1\\cdot7=7$, а не $15$"],"answer":[2]}},"hints":["Цифры $a$ и $b$: $a+b=8$, $ab=15$; $a=3$, $b=5$ или наоборот.","Цифры можно поставить в любом порядке: подходят $35$ и $53$."],"step":1},{"id":"10","content":"Площадь прямоугольника равна $60$ см$^2$. Если одну сторону увеличить на $3$ см, а другую уменьшить на $2$ см, площадь станет равна $52$ см$^2$. Найдите первую сторону (ту, которую увеличивали) в сантиметрах. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["Стороны $x$ (увеличивали) и $y$ (уменьшали): $xy=60$ и $(x+3)(y-2)=52$.","Раскрываем: $xy-2x+3y-6=52$, откуда $-2x+3y=-2$.","Выражаем $x$ и подставляем в $xy=60$: $y=6$ (второй корень отрицателен), $x=10$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Площадь прямоугольника равна $40$ см$^2$. Если одну сторону увеличить на $3$ см, а другую уменьшить на $2$ см, площадь станет равна $33$ см$^2$. Найдите первую сторону (ту, которую увеличивали) в сантиметрах. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Стороны $x$ (увеличивали) и $y$ (уменьшали): $xy=40$ и $(x+3)(y-2)=33$.","Раскрываем: $xy-2x+3y-6=33$, откуда $-2x+3y=-1$.","Выражаем $x$ и подставляем в $xy=40$: $y=5$ (второй корень отрицателен), $x=8$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>