Тест: число решений системы, график и параметр

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Сопоставьте систему из уравнения окружности $x^2+y^2=36$ и уравнения прямой с числом ее решений. Один вариант лишний. [[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$y=6$","$y=-2$","$y=7$"],"items":["Одно решение","Два решения","Решений нет","Четыре решения"]}},"hints":["Радиус окружности равен $6$. Прямая $y=b$ пересекает окружность дважды при $\\lvert b \\rvert<6$, касается при $\\lvert b \\rvert=6$ и не имеет с ней общих точек при $\\lvert b \\rvert>6$.","$y=6$ — одно решение; $y=-2$ — два; $y=7$ — нет решений."],"step":1},{"id":"1","content":"Сопоставьте систему из уравнения окружности $x^2+y^2=49$ и уравнения прямой с числом ее решений. Один вариант лишний. [[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$y=-7$","$y=3$","$y=-8$"],"items":["Одно решение","Два решения","Решений нет","Четыре решения"]}},"hints":["Радиус окружности равен $7$. Прямая $y=b$ пересекает окружность дважды при $\\lvert b \\rvert<7$, касается при $\\lvert b \\rvert=7$ и не имеет с ней общих точек при $\\lvert b \\rvert>7$.","$y=-7$ — одно решение; $y=3$ — два; $y=-8$ — нет решений."],"step":1},{"id":"2","content":"При каком значении $a$ система $\\left\\{\\begin{aligned}y=x^2-8x\\\\ y=a\\end{aligned}\\right.$ имеет ровно одно решение? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-16"}},"hints":["Решение одно, если прямая $y=a$ проходит через вершину параболы.","Абсцисса вершины $x_0=-\\dfrac{-8}{2}=4$, ордината $y_0=4^2-8\\cdot4=-16$.","$a=-16$."],"step":1},{"id":"2","content":"При каком значении $a$ система $\\left\\{\\begin{aligned}y=x^2+6x\\\\ y=a\\end{aligned}\\right.$ имеет ровно одно решение? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"-9"}},"hints":["Решение одно, если прямая $y=a$ проходит через вершину параболы.","Абсцисса вершины $x_0=-\\dfrac{6}{2}=-3$, ордината $y_0=(-3)^2+6\\cdot(-3)=-9$.","$a=-9$."],"step":1},{"id":"3","content":"Найдите наибольшее целое значение $k$, при котором прямая $y=kx$ имеет с графиком $y=x^2-8|x|$ ровно три общие точки. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Точка $(0;0)$ общая всегда. При $x>0$: $x^2-8x=kx$, $x=k+8$; при $x<0$: $x^2+8x=kx$, $x=k-8$.","Нужны оба корня подходящего знака: $k+8>0$ и $k-8<0$, то есть $|k|<8$.","Наибольшее целое $k=7$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"3","content":"Найдите наибольшее целое значение $k$, при котором прямая $y=kx$ имеет с графиком $y=x^2-6|x|$ ровно три общие точки. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Точка $(0;0)$ общая всегда. При $x>0$: $x^2-6x=kx$, $x=k+6$; при $x<0$: $x^2+6x=kx$, $x=k-6$.","Нужны оба корня подходящего знака: $k+6>0$ и $k-6<0$, то есть $|k|<6$.","Наибольшее целое $k=5$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"Найдите наибольшее значение $a$, при котором система $\\left\\{\\begin{aligned}x^2+y^2=18\\\\ y=x+a\\end{aligned}\\right.$ имеет ровно одно решение. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Подставляем $y=x+a$: $2x^2+2ax+a^2-18=0$.","Одно решение при $D=0$: $144-4a^2=0$, то есть $a^2=36$.","$a=\\pm6$; наибольшее значение равно $6$."],"step":1},{"id":"4","content":"Найдите наибольшее значение $a$, при котором система $\\left\\{\\begin{aligned}x^2+y^2=2\\\\ y=x+a\\end{aligned}\\right.$ имеет ровно одно решение. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Подставляем $y=x+a$: $2x^2+2ax+a^2-2=0$.","Одно решение при $D=0$: $16-4a^2=0$, то есть $a^2=4$.","$a=\\pm2$; наибольшее значение равно $2$."],"step":1},{"id":"5","content":"Расставьте шаги построения графика $y=x^2-10|x|+9$ в верном порядке. [[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["При $x\\ge0$ модуль $|x|=x$, поэтому $y=x^2-10x+9$","Значит, правая часть графика — парабола с вершиной $(5;-16)$; строим ее при $x\\ge0$","График симметричен относительно оси $Oy$, поэтому отражаем построенную часть","Тогда у графика две вершины $(\\pm5;-16)$ и излом в точке $(0;9)$"]}},"hints":["Сначала раскрываем модуль при $x\\ge0$ и строим правую половину графика.","Потом отражаем ее относительно оси $Oy$: вершины $(\\pm5;-16)$, излом $(0;9)$."],"step":1},{"id":"5","content":"Расставьте шаги построения графика $y=x^2-8|x|+7$ в верном порядке. [[sorter-2]]","widgets":{"sorter-2":{"type":"sorter","items":["При $x\\ge0$ модуль $|x|=x$, поэтому $y=x^2-8x+7$","Значит, правая часть графика — парабола с вершиной $(4;-9)$; строим ее при $x\\ge0$","График симметричен относительно оси $Oy$, поэтому отражаем построенную часть","Тогда у графика две вершины $(\\pm4;-9)$ и излом в точке $(0;7)$"]}},"hints":["Сначала раскрываем модуль при $x\\ge0$ и строим правую половину графика.","Потом отражаем ее относительно оси $Oy$: вершины $(\\pm4;-9)$, излом $(0;7)$."],"step":1},{"id":"6","content":"Вообразавр решает уравнение $x^2-8|x|=-12$: «При $x\\ge0$ получаем $x^2-8x+12=0$, откуда $x=2$ или $x=6$. Два решения». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["<span>Не рассмотрен случай $x<0$:<br>еще решения $x=-2$ и $x=-6$</span>","<span>Решений нет: квадрат<br>не бывает отрицательным</span>","Ошибки нет: решений два","Решений три: еще $x=0$"],"explanations":["","Отрицательна не $x^2$, а разность $x^2-8|x|$: при $x=2$ она равна $-12$","Подставим $x=-2$: $(-2)^2-8\\cdot\\lvert -2 \\rvert=4-16=-12$ — это тоже решение","При $x=0$ левая часть равна $0$, а не $-12$: $x=0$ не решение"],"answer":[0]}},"hints":["Левая часть не меняется при замене $x$ на $-x$: график $y=x^2-8|x|$ симметричен относительно оси $Oy$.","Значит, $x=-2$ и $x=-6$ — тоже решения: $(-2)^2-8\\cdot\\lvert -2 \\rvert=-12$.","Решений четыре: $x=\\pm2$ и $x=\\pm6$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Вообразавр решает уравнение $x^2-10|x|=-16$: «При $x\\ge0$ получаем $x^2-10x+16=0$, откуда $x=2$ или $x=8$. Два решения». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Решений три: еще $x=0$","Ошибки нет: решений два","<span>Решений нет: квадрат<br>не бывает отрицательным</span>","<span>Не рассмотрен случай $x<0$:<br>еще решения $x=-2$ и $x=-8$</span>"],"explanations":["При $x=0$ левая часть равна $0$, а не $-16$: $x=0$ не решение","Подставим $x=-2$: $(-2)^2-10\\cdot\\lvert -2 \\rvert=4-20=-16$ — это тоже решение","Отрицательна не $x^2$, а разность $x^2-10|x|$: при $x=2$ она равна $-16$",""],"answer":[3]}},"hints":["Левая часть не меняется при замене $x$ на $-x$: график $y=x^2-10|x|$ симметричен относительно оси $Oy$.","Значит, $x=-2$ и $x=-8$ — тоже решения: $(-2)^2-10\\cdot\\lvert -2 \\rvert=-16$.","Решений четыре: $x=\\pm2$ и $x=\\pm8$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Вообразавр говорит о системе $\\left\\{\\begin{aligned}x^2+y^2=25\\\\ y=5-x^2\\end{aligned}\\right.$: «В системе два уравнения, значит, и решений два». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["<span>Четыре: окружность и парабола<br>всегда имеют четыре общие точки</span>","Ошибки нет: решений два","<span>Число решений не равно числу<br>уравнений; здесь их три</span>","Решение одно: $(0;5)$"],"explanations":["Число общих точек зависит от расположения линий: здесь вершина параболы лежит на окружности, точек три","Проверьте $(0;5)$, $(-3;-4)$ и $(3;-4)$: все три пары удовлетворяют обоим уравнениям","","Потеряны точки $(-3;-4)$ и $(3;-4)$: из $x^2=9$ получаем $x=\\pm3$"],"answer":[2]}},"hints":["Подставим $x^2$ из второго уравнения в первое: получим квадратное уравнение относительно $y$ с корнями $5$ и $-4$.","При $y=5$ находим $x=0$, при $y=-4$ — $x=\\pm3$.","Решений три: $(-3;-4),\\ (0;5),\\ (3;-4)$ — вершина параболы лежит на окружности."],"step":1},{"id":"7","content":"Вообразавр говорит о системе $\\left\\{\\begin{aligned}x^2+y^2=25\\\\ y=x^2-5\\end{aligned}\\right.$: «В системе два уравнения, значит, и решений два». В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["<span>Четыре: окружность и парабола<br>всегда имеют четыре общие точки</span>","<span>Число решений не равно числу<br>уравнений; здесь их три</span>","Ошибки нет: решений два","Решение одно: $(0;-5)$"],"explanations":["Число общих точек зависит от расположения линий: здесь вершина параболы лежит на окружности, точек три","","Проверьте $(0;-5)$, $(-3;4)$ и $(3;4)$: все три пары удовлетворяют обоим уравнениям","Потеряны точки $(-3;4)$ и $(3;4)$: из $x^2=9$ получаем $x=\\pm3$"],"answer":[1]}},"hints":["Подставим $x^2$ из второго уравнения в первое: получим квадратное уравнение относительно $y$ с корнями $-5$ и $4$.","При $y=-5$ находим $x=0$, при $y=4$ — $x=\\pm3$.","Решений три: $(-3;4),\\ (0;-5),\\ (3;4)$ — вершина параболы лежит на окружности."],"step":1},{"id":"8","content":"Вообразавр решает систему $\\left\\{\\begin{aligned}y=x^2-8|x|\\\\ y=0\\end{aligned}\\right.$. Он записал: «$x^2=8|x|$, делим обе части на $|x|$: $|x|=8$, $x=\\pm8$. Два решения». В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$|x|=8$ дает только $x=8$","Ошибки нет: решений два","Потеряно решение $(0;0)$: решений три — $(0;0)$, $(8;0)$, $(-8;0)$","Корни $x=8$ и $x=-8$ — одно решение"],"explanations":["Модуль равен $8$ при двух значениях: $x=8$ и $x=-8$","При $x=0$ равенство $0^2=8\\cdot0$ верно: пара $(0;0)$ — третье решение","","Это разные точки графика, симметричные относительно оси $Oy$: они считаются отдельно"],"answer":[2]}},"hints":["Перепишем $x^2=8\\lvert x\\rvert$ как $\\lvert x\\rvert(\\lvert x\\rvert-8)=0$.","Делить на $|x|$ можно только при $x\\ne0$, а $x=0$ — тоже корень: $0^2=8\\cdot0$.","Решений три: $(0;0)$, $(8;0)$ и $(-8;0)$."],"step":1},{"id":"8","content":"Вообразавр решает систему $\\left\\{\\begin{aligned}y=x^2-6|x|\\\\ y=0\\end{aligned}\\right.$. Он записал: «$x^2=6|x|$, делим обе части на $|x|$: $|x|=6$, $x=\\pm6$. Два решения». В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$|x|=6$ дает только $x=6$","Потеряно решение $(0;0)$: решений три — $(0;0)$, $(6;0)$, $(-6;0)$","Корни $x=6$ и $x=-6$ — одно решение","Ошибки нет: решений два"],"explanations":["Модуль равен $6$ при двух значениях: $x=6$ и $x=-6$","","Это разные точки графика, симметричные относительно оси $Oy$: они считаются отдельно","При $x=0$ равенство $0^2=6\\cdot0$ верно: пара $(0;0)$ — третье решение"],"answer":[1]}},"hints":["Перепишем $x^2=6\\lvert x\\rvert$ как $\\lvert x\\rvert(\\lvert x\\rvert-6)=0$.","Делить на $|x|$ можно только при $x\\ne0$, а $x=0$ — тоже корень: $0^2=6\\cdot0$.","Решений три: $(0;0)$, $(6;0)$ и $(-6;0)$."],"step":1},{"id":"9","content":"Найдите количество целых значений $a$, при которых уравнение $x^2-8|x|=a$ имеет ровно четыре решения. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["График $y=x^2-8|x|$: вершины $(\\pm4;-16)$, излом $(0;0)$.","Четыре решения при $-16<a<0$.","Целые значения: от $-15$ до $-1$, их $15$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Найдите количество целых значений $a$, при которых уравнение $x^2-6|x|=a$ имеет ровно четыре решения. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["График $y=x^2-6|x|$: вершины $(\\pm3;-9)$, излом $(0;0)$.","Четыре решения при $-9<a<0$.","Целые значения: от $-8$ до $-1$, их $8$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"При каких значениях $a$ система $\\left\\{\\begin{aligned}y=x^2-8|x|\\\\ y=a\\end{aligned}\\right.$ имеет ровно два решения?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$-16<a<0$","$a=-16$ или $a>0$","$a>0$","$a>-16$"],"explanations":["Для таких $a$ решений четыре, а не два","","Потеряно значение $a=-16$: прямая касается графика в двух вершинах, тоже два решения","В промежутке $-16<a<0$ решений четыре, при $a=0$ — три"],"answer":[1]}},"hints":["Две общие точки: когда прямая проходит через вершины $(\\pm4;-16)$ или выше излома $(0;0)$.","Это $a=-16$ и $a>0$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"При каких значениях $a$ система $\\left\\{\\begin{aligned}y=x^2-6|x|\\\\ y=a\\end{aligned}\\right.$ имеет ровно два решения?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$a>0$","$-9<a<0$","$a=-9$ или $a>0$","$a>-9$"],"explanations":["Потеряно значение $a=-9$: прямая касается графика в двух вершинах, тоже два решения","Для таких $a$ решений четыре, а не два","","В промежутке $-9<a<0$ решений четыре, при $a=0$ — три"],"answer":[2]}},"hints":["Две общие точки: когда прямая проходит через вершины $(\\pm3;-9)$ или выше излома $(0;0)$.","Это $a=-9$ и $a>0$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>