Тест: способ сложения и замена переменной

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Решите систему $\\left\\{\\begin{aligned}x^2+y^2=41\\\\ x^2-y^2=9\\end{aligned}\\right.$. В ответе запишите наибольшее значение $x$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Складываем уравнения: $2x^2=50$, откуда $x^2=25$.","Значит, $x=\\pm5$.","Наибольшее значение $x$ равно $5$."],"step":1},{"id":"1","content":"Решите систему $\\left\\{\\begin{aligned}x^2+y^2=52\\\\ x^2-y^2=20\\end{aligned}\\right.$. В ответе запишите наибольшее значение $x$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Складываем уравнения: $2x^2=72$, откуда $x^2=36$.","Значит, $x=\\pm6$.","Наибольшее значение $x$ равно $6$."],"step":1},{"id":"2","content":"Сколько решений имеет система $\\left\\{\\begin{aligned}x^2+y^2=13\\\\ x^2-y^2=5\\end{aligned}\\right.$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Два","Четыре","Восемь","Одно"],"explanations":["Учтены знаки только у одной переменной","","Пар не больше $2\\cdot2=4$","Потеряны знаки: каждое из значений $x^2$ и $y^2$ дает два числа"],"answer":[1]}},"hints":["Складываем: $x^2=9$, вычитаем: $y^2=4$.","$x=\\pm3$ и $y=\\pm2$: $2\\cdot2=4$ пары."],"step":1},{"id":"2","content":"Сколько решений имеет система $\\left\\{\\begin{aligned}x^2+y^2=29\\\\ x^2-y^2=21\\end{aligned}\\right.$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Одно","Два","Четыре","Восемь"],"explanations":["Потеряны знаки: каждое из значений $x^2$ и $y^2$ дает два числа","Учтены знаки только у одной переменной","","Пар не больше $2\\cdot2=4$"],"answer":[2]}},"hints":["Складываем: $x^2=25$, вычитаем: $y^2=4$.","$x=\\pm5$ и $y=\\pm2$: $2\\cdot2=4$ пары."],"step":1},{"id":"3","content":"Решая систему $\\left\\{\\begin{aligned}4x^2+3y^2=48\\\\ 3x^2-2y^2=19\\end{aligned}\\right.$ способом сложения, получаем $x^2=$ [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$4$","$9$","$3$","$\\frac{67}{17}$"],"answer":1}},"hints":["Чтобы $y^2$ сократилось, умножаем первое уравнение на $2$, второе на $3$ — обе части каждого.","Складываем: $17x^2=96+57=153$.","$x^2=9$."],"step":1},{"id":"3","content":"Решая систему $\\left\\{\\begin{aligned}3x^2+2y^2=14\\\\ 2x^2-5y^2=3\\end{aligned}\\right.$ способом сложения, получаем $x^2=$ [[fill_choice-2]]","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$4$","$2$","$1$","$\\frac{17}{19}$"],"answer":0}},"hints":["Чтобы $y^2$ сократилось, умножаем первое уравнение на $5$, второе на $2$ — обе части каждого.","Складываем: $19x^2=70+6=76$.","$x^2=4$."],"step":1},{"id":"4","content":"Вообразавр решает систему $\\left\\{\\begin{aligned}x^2+y^2=26\\\\ xy=5\\end{aligned}\\right.$. Он записал $(x+y)^2=x^2+y^2=26$ и получил $x+y=\\pm\\sqrt{26}$. В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Надо было возвести в квадрат второе уравнение: $x^2y^2=25$","Надо было записать $(x+y)^2=x^2+xy+y^2=31$","Ошибки нет: $x+y=\\pm\\sqrt{26}$","Пропущено $2xy$: $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=26+2\\cdot5=36$"],"explanations":["Это верное равенство, но оно не дает сумму $x+y$: для нее нужна формула квадрата суммы","Произведение в формуле удваивается: $2xy=2\\cdot5$, поэтому $(x+y)^2=36$","Пара $(5;1)$ — решение системы, но $5+1=6$, а не $\\sqrt{26}$",""],"answer":[3]}},"hints":["$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$: удвоенное произведение пропускать нельзя.","$(x+y)^2=26+2\\cdot5=36$, значит $x+y=\\pm6$."],"step":1},{"id":"4","content":"Вообразавр решает систему $\\left\\{\\begin{aligned}x^2+y^2=41\\\\ xy=20\\end{aligned}\\right.$. Он записал $(x+y)^2=x^2+y^2=41$ и получил $x+y=\\pm\\sqrt{41}$. В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Пропущено $2xy$: $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=41+2\\cdot20=81$","Надо было возвести в квадрат второе уравнение: $x^2y^2=400$","Ошибки нет: $x+y=\\pm\\sqrt{41}$","Надо было записать $(x+y)^2=x^2+xy+y^2=61$"],"explanations":["","Это верное равенство, но оно не дает сумму $x+y$: для нее нужна формула квадрата суммы","Пара $(5;4)$ — решение системы, но $5+4=9$, а не $\\sqrt{41}$","Произведение в формуле удваивается: $2xy=2\\cdot20$, поэтому $(x+y)^2=81$"],"answer":[0]}},"hints":["$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$: удвоенное произведение пропускать нельзя.","$(x+y)^2=41+2\\cdot20=81$, значит $x+y=\\pm9$."],"step":1},{"id":"5","content":"Распределите системы по удобному способу решения. [[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Сложение","Подстановка","Замена $x+y$ и $x-y$"],"items":[["$x^2+y^2=13$ и $x^2-y^2=5$","$2x^2+y^2=9$ и $x^2-y^2=0$"],["$x-y=1$ и $x^2+y^2=25$","$y=x^2$ и $x+y=2$"],["$x^2+y^2=10$ и $xy=3$","$x^2+y^2=20$ и $xy=8$"]]}},"hints":["Если в обоих уравнениях только квадраты — складывайте. Если есть $x^2+y^2$ и $xy$ — вводите замену $x+y$ и $x-y$. Если одно уравнение линейное — подставляйте."]},{"id":"5","content":"Распределите системы по удобному способу решения. [[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Сложение","Подстановка","Замена $x+y$ и $x-y$"],"items":[["$x^2+2y^2=18$ и $x^2-y^2=0$","$3x^2+y^2=28$ и $x^2-y^2=12$"],["$y=x-2$ и $x^2+y^2=10$","$y=x+3$ и $xy=10$"],["$x^2+y^2=29$ и $xy=10$","$x^2+y^2=17$ и $xy=4$"]]}},"hints":["Если в обоих уравнениях только квадраты — складывайте. Если есть $x^2+y^2$ и $xy$ — вводите замену $x+y$ и $x-y$. Если одно уравнение линейное — подставляйте."]},{"id":"6","content":"Вообразавр решает систему $\\left\\{\\begin{aligned}x^2+y^2=50\\\\ xy=7\\end{aligned}\\right.$. Он нашел $(x+y)^2=64$, записал $x+y=8$ и получил пары $(7;1)$ и $(1;7)$. В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Потерян случай $x+y=-8$: из квадрата следует и $8$, и $-8$","Нельзя использовать формулу $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$","Пары $(7;1)$ и $(1;7)$ не удовлетворяют системе","Надо было найти $x-y=\\pm6$ и сразу записать ответ"],"explanations":["","Формула применена верно: $50+2\\cdot7=64$","Проверка: $49+1=50$ и $7\\cdot1=7$ — пары верные, но решение неполное","Нахождение $x-y$ — другой путь к тем же четырем парам; здесь же потерян знак суммы"],"answer":[0]}},"hints":["Из $(x+y)^2=64$ следует $x+y=8$ или $x+y=-8$.","Случай $x+y=-8$ дает еще пары $(-7;-1)$ и $(-1;-7)$."],"step":1},{"id":"6","content":"Вообразавр решает систему $\\left\\{\\begin{aligned}x^2+y^2=65\\\\ xy=8\\end{aligned}\\right.$. Он нашел $(x+y)^2=81$, записал $x+y=9$ и получил пары $(1;8)$ и $(8;1)$. В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Пары $(1;8)$ и $(8;1)$ не удовлетворяют системе","Нельзя использовать формулу $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$","Надо было найти $x-y=\\pm7$ и сразу записать ответ","Потерян случай $x+y=-9$: из квадрата следует и $9$, и $-9$"],"explanations":["Проверка: $1+64=65$ и $1\\cdot8=8$ — пары верные, но решение неполное","Формула применена верно: $65+2\\cdot8=81$","Нахождение $x-y$ — другой путь к тем же четырем парам; здесь же потерян знак суммы",""],"answer":[3]}},"hints":["Из $(x+y)^2=81$ следует $x+y=9$ или $x+y=-9$.","Случай $x+y=-9$ дает еще пары $(-1;-8)$ и $(-8;-1)$."],"step":1},{"id":"7","content":"Найдите число решений системы $\\left\\{\\begin{aligned}x^2+y^2=10\\\\ x^2-y^2=-10\\end{aligned}\\right.$. Если решений нет, запишите $0$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Складываем: $2x^2=0$, откуда $x^2=0$ и $x=0$.","Вычитаем: $2y^2=20$, $y^2=10$, $y=\\pm\\sqrt{10}$.","Пары $(0;\\sqrt{10})$ и $(0;-\\sqrt{10})$: два решения."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Найдите число решений системы $\\left\\{\\begin{aligned}x^2+y^2=9\\\\ x^2-y^2=17\\end{aligned}\\right.$. Если решений нет, запишите $0$. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"0"}},"hints":["Складываем: $2x^2=26$, $x^2=13$. Вычитаем: $2y^2=-8$, $y^2=-4$.","Квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому решений нет."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Найдите все решения системы $\\left\\{\\begin{aligned}x^2+y^2=20\\\\ xy=-8\\end{aligned}\\right.$ и запишите наименьшее из значений $x$, которые в них встречаются. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"-4"}},"hints":["$(x+y)^2=20+2\\cdot(-8)=4$, $(x-y)^2=20-2\\cdot(-8)=36$: произведение отрицательно, знак учитываем.","$x+y=\\pm2$, $x-y=\\pm6$: четыре системы, $x=\\dfrac{(x+y)+(x-y)}2$.","Решения: $(4;-2),\\ (-2;4),\\ (2;-4),\\ (-4;2)$; наименьшее значение $x$ равно $-4$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Найдите все решения системы $\\left\\{\\begin{aligned}x^2+y^2=45\\\\ xy=-18\\end{aligned}\\right.$ и запишите наименьшее из значений $x$, которые в них встречаются. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"-6"}},"hints":["$(x+y)^2=45+2\\cdot(-18)=9$, $(x-y)^2=45-2\\cdot(-18)=81$: произведение отрицательно, знак учитываем.","$x+y=\\pm3$, $x-y=\\pm9$: четыре системы, $x=\\dfrac{(x+y)+(x-y)}2$.","Решения: $(6;-3),\\ (-3;6),\\ (3;-6),\\ (-6;3)$; наименьшее значение $x$ равно $-6$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"При каком положительном значении $a$ система $\\left\\{\\begin{aligned}x^2+y^2=a\\\\ x^2-y^2=7\\end{aligned}\\right.$ имеет ровно два решения? [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Складываем: $x^2=\\dfrac{a+7}2$; вычитаем: $y^2=\\dfrac{a-7}2$.","Решений будет два, если $y^2=0$: тогда $y=0$, а $x=\\pm\\sqrt7$ дает две пары.","$a-7=0$, то есть $a=7$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"При каком положительном значении $a$ система $\\left\\{\\begin{aligned}x^2+y^2=a\\\\ x^2-y^2=-9\\end{aligned}\\right.$ имеет ровно два решения? [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["Складываем: $x^2=\\dfrac{a-9}2$; вычитаем: $y^2=\\dfrac{a+9}2$.","Решений будет два, если $x^2=0$: тогда $x=0$, а $y=\\pm3$ дает две пары.","$a-9=0$, то есть $a=9$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решите систему $\\left\\{\\begin{aligned}x^2-y^2=15\\\\ x-y=3\\end{aligned}\\right.$.[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$(9;6)$","$(4;1)$ и $(-4;-1)$","Решений нет","$(4;1)$"],"explanations":["Здесь взято $x+y=15$: разность квадратов приравняли к сумме, не разделив $15$ на $x-y=3$","Второе уравнение первой степени: $-4-(-1)=-3$, а не $3$, поэтому пара $(-4;-1)$ лишняя","Это ответ для $(x-y)^2=15$; здесь разность квадратов $(x-y)(x+y)$, а не квадрат разности",""],"answer":[3]}},"hints":["Раскладываем: $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$, и $x-y=3$, поэтому $3(x+y)=15$, $x+y=5$.","Складываем $x+y=5$ и $x-y=3$: $x=4$, $y=1$."],"step":1},{"id":"10","content":"Решите систему $\\left\\{\\begin{aligned}x^2-y^2=21\\\\ x+y=7\\end{aligned}\\right.$.[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$(14;-7)$","Решений нет","$(5;2)$","$(5;2)$ и $(-5;-2)$"],"explanations":["Здесь взято $x-y=21$: разность квадратов приравняли к разности, не разделив $21$ на $x+y=7$","Это ответ для $(x+y)^2=21$; здесь разность квадратов $(x-y)(x+y)$, а не квадрат суммы","","Второе уравнение первой степени: $-5+(-2)=-7$, а не $7$, поэтому пара $(-5;-2)$ лишняя"],"answer":[2]}},"hints":["Раскладываем: $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$, и $x+y=7$, поэтому $7(x-y)=21$, $x-y=3$.","Складываем $x+y=7$ и $x-y=3$: $x=5$, $y=2$."],"step":1}]}</textarea></pre></div>