9 класс Алгебра Уравнения и системы уравнений Системы уравнений с двумя переменными

Текстовые задачи на системы уравнений

Содержание

В 7 классе вы решали задачи с помощью систем линейных уравнений, а в этом модуле научились решать системы второй степени: способ подстановки, способ сложения и заменой переменной. В этом уроке соединим одно с другим: составим системы по условиям задач о прямоугольниках, движении, работе и числах — такие задачи встречаются в задании 21 ОГЭ — и научимся отбирать ответ по смыслу.

Два факта условия — две дороги на карте

Рассмотрим задачу. Площадь прямоугольного участка равна $35$ м$^2$, одна его сторона на $2$ м длиннее другой. Найдите стороны участка.

Неизвестных две — меньшая и большая сторона. Обозначим их $x$ и $y$ метров. Теперь переведем каждый факт условия в уравнение: «на $2$ м длиннее» дает $y-x=2$, «площадь $35$» дает $xy=35$. Получилась система $$\left\{\begin{aligned}y-x=2\\ xy=35\end{aligned}\right.$$

Таблица перевода условия в систему: обозначим x и y; факт 1 даёт y минус x равно 2; факт 2 даёт xy равно 35; вопрос задаёт зону смысла x больше 0, y больше 0 — Каждый факт условия становится уравнением, а вопрос задачи задает зону смысла: стороны положительны

Как и во всем модуле, каждое уравнение — дорога на карте: все пары $(x;y)$, которые ему подходят (вы строили графики уравнений с двумя переменными). Первый факт дает прямую, второй — гиперболу. Решение системы — перекресток двух дорог. Решив систему, мы найдем два перекрестка. Значит ли это, что у задачи два ответа? Вернемся к этому вопросу в последнем разделе.

У задачи есть то, чего нет у голой системы: смысл букв. Здесь $x$ и $y$ — длины, поэтому подходят только точки, где $x>0$ и $y>0$. Назовем эту часть карты зоной смысла.

Метод

Решение текстовой задачи с помощью системы:

Обозначьте две неизвестные величины буквами и запишите, что означает каждая буква и в каких единицах.
Найдите в условии два факта об этих величинах и запишите каждый уравнением — получится система.
Решите систему: найдите все перекрестки.
Проверьте решения по условию и оставьте только те, что лежат в зоне смысла: длина, скорость, время положительны, цифра — целое число от $0$ до $9$.
Запишите ответ словами на вопрос задачи, с единицами.

{"questions":[{"content":"Задача: «Периметр прямоугольника равен $18$ см, а площадь равна $20$ см$^2$. Найдите стороны прямоугольника». Расставьте шаги решения по порядку. [[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Пусть одна сторона равна $x$ см, а другая $y$ см","Тогда по условию $x+y=9$ и $xy=20$","Подставим $y=9-x$: $x^2-9x+20=0$, отсюда $x=4$ или $x=5$","Затем найдем $y$: пары $(4;5)$ и $(5;4)$ положительны и задают один и тот же прямоугольник","Итак, стороны прямоугольника равны $4$ см и $5$ см"]}},"hints":["Сначала вводят буквы, затем записывают условие уравнениями с этими буквами.","Систему решают, возвращаются ко второй переменной, проверяют смысл и только потом пишут ответ."],"step":1}],"mix":1}

Периметр дает сумму сторон, площадь — произведение

Самые частые факты в задачах о прямоугольнике — периметр и площадь. Если стороны равны $x$ и $y$, то периметр равен $2(x+y)$, а площадь равна $xy$. Значит, периметр дает дорогу-прямую, а площадь — дорогу-гиперболу.

Пример 1

Периметр прямоугольника равен $22$ см, площадь равна $30$ см$^2$. Найдите стороны прямоугольника.

1) Пусть стороны равны $x$ см и $y$ см.

2) Периметр: $2(x+y)=22$, то есть $x+y=11$. Площадь: $xy=30$. Система $$\left\{\begin{aligned}x+y=11\\ xy=30\end{aligned}\right.$$

3) Выражаем $y=11-x$ и подставляем: $x(11-x)=30$, $x^2-11x+30=0$. По теореме Виета $x=5$ или $x=6$. Тогда $y=6$ или $y=5$. Решения системы: $(5;6)$ и $(6;5)$.

4) Проверка: $2\cdot(5+6)=22$ и $5\cdot6=30$. Обе пары положительны и описывают один и тот же прямоугольник — в них лишь поменялись местами буквы.

Ответ: стороны прямоугольника равны $5$ см и $6$ см.

Прямоугольник со сторонами x и y, периметр 22, площадь 30; на карте прямая x плюс y равно 11 и ветвь гиперболы xy равно 30 пересекаются в точках (5; 6) и (6; 5), симметричных относительно прямой y равно x — Два перекрестка (5; 6) и (6; 5) симметричны относительно прямой y = x и дают один прямоугольник 5 × 6

Обратите внимание

В систему идет полупериметр: $x+y=\frac P2$. Если записать $x+y=22$, система получится другой, и стороны выйдут нецелыми, около $1{,}5$ и $20{,}5$ см. Проверка периметром сразу покажет ошибку: $2\cdot22=44\ne22$.

{"questions":[{"content":"Периметр прямоугольника равен $28$ см, площадь равна $48$ см$^2$. Стороны обозначили $x$ и $y$ см. Какая система соответствует условию?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\left\\{\\begin{aligned}x^2+y^2=14\\\\ xy=48\\end{aligned}\\right.$","$\\left\\{\\begin{aligned}xy=28\\\\ x+y=48\\end{aligned}\\right.$","$\\left\\{\\begin{aligned}x+y=14\\\\ xy=48\\end{aligned}\\right.$","$\\left\\{\\begin{aligned}x+y=28\\\\ xy=48\\end{aligned}\\right.$"],"explanations":["Сумма квадратов относится к диагонали, а не к периметру","Числа поставлены не на свои места: площадь — это произведение сторон, периметр связан с суммой","","Периметр — это сумма всех четырех сторон, $2(x+y)=28$; сумма двух сторон равна $14$"],"answer":[2]}},"hints":["Периметр равен $2(x+y)$, поэтому $x+y=28:2=14$.","Площадь равна $xy=48$."],"step":1},{"content":"Периметр прямоугольника равен $28$ см, площадь равна $48$ см$^2$. Найдите большую сторону в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Система: $x+y=14$, $xy=48$.","Выражаем $y=14-x$: $x(14-x)=48$, $x^2-14x+48=0$, $x=6$ или $x=8$.","Стороны $6$ и $8$ см; большая — $8$ см."],"step":1}],"mix":1}

Диагональ дает сумму квадратов

Диагональ $d$ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника с катетами $x$ и $y$. По теореме Пифагора $x^2+y^2=d^2$. На карте это окружность с центром $(0;0)$, и ее радиус равен диагонали.

Пример 2

Периметр прямоугольника равен $42$ см, а диагональ равна $15$ см. Найдите стороны и площадь прямоугольника.

1) Пусть стороны $x$ см и $y$ см.

2) Полупериметр: $x+y=21$. Теорема Пифагора: $x^2+y^2=15^2=225$. Система $$\left\{\begin{aligned}x+y=21\\ x^2+y^2=225\end{aligned}\right.$$

3) Подставляем $y=21-x$: $x^2+(21-x)^2=225$, $2x^2-42x+216=0$, $x^2-21x+108=0$, откуда $x=9$ или $x=12$. Решения: $(9;12)$ и $(12;9)$.

4) Проверка: $9+12=21$, $81+144=225$. Обе пары положительны и задают один прямоугольник, его площадь $9\cdot12=108$ см$^2$.

Ответ: стороны $9$ см и $12$ см, площадь $108$ см$^2$.

Прямоугольник со сторонами x и y и диагональю 15; на карте окружность x² плюс y² равно 225 и прямая x плюс y равно 21 пересекаются в точках (9; 12) и (12; 9) — Диагональ — радиус дороги-окружности: прямая x + y = 21 пересекает ее в точках (9; 12) и (12; 9)

Как найти площадь, не находя сторон

Скрыть

Возведем первое уравнение в квадрат: $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=441$. Сумма квадратов известна, она равна $225$, поэтому $2xy=441-225=216$ и $xy=108$. Площадь найдена сразу. Это способ сложения из прошлого урока: из одного уравнения вычли другое.

Обратите внимание

В уравнение диагонали входит квадрат длины: $x^2+y^2=225$, а не $x^2+y^2=15$. С неверным уравнением дороги не встретятся: подстановка даст $x^2-21x+213=0$, а у него $D=441-852<0$.

{"questions":[{"content":"Периметр прямоугольника равен $14$ см, диагональ равна $5$ см. Найдите площадь в квадратных сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["Система: $x+y=7$, $x^2+y^2=25$ (теорема Пифагора).","Подстановка $y=7-x$ дает $x^2-7x+12=0$, $x=3$ или $x=4$.","Стороны $3$ и $4$, площадь $3\\cdot4=12$."],"step":1},{"content":"Распределите условия по виду уравнения, которое они дают для сторон прямоугольника $x$ и $y$. [[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Сумма сторон $x+y$","Произведение сторон $xy$","Сумма квадратов $x^2+y^2$"],"items":[["Периметр 28 см","Периметр 34 см"],["Площадь 48 см$^2$","Площадь 20 см$^2$"],["Диагональ 5 см","Диагональ 13 см"]]}},"hints":["Периметр — сумма сторон, площадь — произведение, диагональ — сумма квадратов."]}],"mix":1}

В задаче на движение путь — площадь прямоугольника

В задачах на движение путь $S$, скорость $v$ и время $t$ связаны формулой $S=vt$: путь — это площадь прямоугольника со сторонами $v$ и $t$. Если в задаче два режима движения, каждый режим дает свое уравнение — свою дорогу-гиперболу (в примере 3 это $vt=60$ и $(v+5)(t-1)=60$), а ответ — перекресток дорог в зоне смысла. Удобно занести данные в таблицу.

Пример 3

Два велосипедиста одновременно стартовали в пробеге на $60$ км. Скорость первого на $5$ км/ч больше, и он приехал к финишу на $1$ ч раньше второго. Найдите скорости велосипедистов.

1) Пусть скорость второго $v$ км/ч, а его время в пути $t$ ч. Тогда у первого скорость $v+5$ км/ч, время $t-1$ ч.

2) Оба проехали $60$ км: $$\left\{\begin{aligned}vt=60\\ (v+5)(t-1)=60\end{aligned}\right.$$

3) Раскроем скобки во втором уравнении: $vt-v+5t-5=60$. Вычтем первое уравнение: $-v+5t-5=0$, то есть $v=5t-5$. Подставим в первое: $t(5t-5)=60$, $t^2-t-12=0$, откуда $t=4$ или $t=-3$.

4) Время не бывает отрицательным, поэтому $t=-3$ отбрасываем: перекресток $(v;t)=(-20;-3)$ лежит вне зоны смысла: скорость и время положительны. Остается $t=4$, тогда $v=5\cdot4-5=15$. Проверка: второй едет $15\cdot4=60$ км, первый $20\cdot3=60$ км.

Ответ: скорость первого велосипедиста $20$ км/ч, второго — $15$ км/ч.

Участник	Скорость, км/ч	Время, ч	Путь, км
Первый	$v+5$	$t-1$	$(v+5)(t-1)=60$
Второй	$v$	$t$	$vt=60$

Два прямоугольника движения с одной площадью 60 км: 20 км/ч за 3 ч и 15 км/ч за 4 ч; скорость больше на 5 км/ч, время меньше на 1 ч — Прямоугольники 15 × 4 и 20 × 3 разной формы, но одной площади: оба велосипедиста проехали 60 км

Обратите внимание

Знаки в скобках берите из условия: кто быстрее, тот тратит меньше времени. В примере 3 у первого скорость $v+5$, а время $t-1$. Запись $t+1$ означала бы, что быстрый велосипедист ехал дольше медленного.

{"questions":[{"content":"Поезд прошел $120$ км. Если бы его скорость была на $10$ км/ч больше, он затратил бы на этот путь на $1$ ч меньше. Скорость поезда $v$ км/ч, время в пути $t$ ч. Какая система соответствует условию?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\left\\{\\begin{aligned}vt=120\\\\ (v+10)(t-1)=120\\end{aligned}\\right.$","$\\left\\{\\begin{aligned}vt=120\\\\ (v-10)(t-1)=120\\end{aligned}\\right.$","$\\left\\{\\begin{aligned}vt=120\\\\ (v+1)(t-10)=120\\end{aligned}\\right.$","$\\left\\{\\begin{aligned}vt=120\\\\ (v+10)(t+1)=120\\end{aligned}\\right.$"],"explanations":["","Скорость в условии увеличена, а здесь уменьшена; при меньшей скорости и меньшем времени путь стал бы короче","Числа перепутаны местами: на $10$ км/ч меняется скорость, на $1$ ч — время","Время должно уменьшиться: с большей скоростью тот же путь проходят быстрее, нужно $t-1$"],"answer":[0]}},"hints":["Путь равен скорости, умноженной на время: $vt=120$.","Во втором случае скорость $v+10$, время $t-1$, путь тот же: $(v+10)(t-1)=120$."],"step":1},{"content":"Турист прошел $12$ км. Если бы он шел со скоростью на $1$ км/ч больше, то затратил бы на $1$ ч меньше. Найдите скорость туриста в километрах в час. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Пусть скорость $x$ км/ч, время $t$ ч: $xt=12$ и $(x+1)(t-1)=12$.","Раскрываем: $xt-x+t-1=12$, откуда $t-x=1$, $t=x+1$.","$x(x+1)=12$, $x=3$ (корень $-4$ не подходит)."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Числа и цифры: у каждой задачи своя зона смысла

В задачах о числах слова условия переводятся в уравнения так же, как периметр и площадь. Зона смысла зависит от того, какие числа подходят по условию.

Слова условия	Уравнение
сумма чисел равна $s$	$x+y=s$
одно число на $a$ больше другого	$x-y=a$
произведение чисел равно $p$	$xy=p$
сумма квадратов чисел равна $q$	$x^2+y^2=q$
квадрат суммы чисел равен $q$	$(x+y)^2=q$

Пример 4

Одно число на $3$ больше другого, а сумма их квадратов равна $65$. Найдите эти числа.

1) Пусть $x$ — большее число, $y$ — меньшее.

2) Система $$\left\{\begin{aligned}x-y=3\\ x^2+y^2=65\end{aligned}\right.$$

3) Подставляем $x=y+3$: $(y+3)^2+y^2=65$, $2y^2+6y-56=0$, $y^2+3y-28=0$, откуда $y=4$ или $y=-7$. Тогда $x=7$ или $x=-4$.

4) Проверка: $7-4=3$, $49+16=65$; $-4-(-7)=3$, $16+49=65$. Про знак чисел в условии ничего не сказано, поэтому зона смысла — вся карта, и подходят оба перекрестка.

Ответ: $7$ и $4$ или $-4$ и $-7$.

Иначе с цифрами. Если у двузначного числа $a$ десятков и $b$ единиц, то само число равно $10a+b$, а цифры — целые: $a$ от $1$ до $9$, $b$ от $0$ до $9$. Зона смысла — только целые точки карты. Например, если сумма цифр равна $11$, а произведение $30$, то из системы $a+b=11$, $ab=30$ получаем цифры $5$ и $6$. Подходят оба порядка, то есть два разных числа: $56$ и $65$.

Задача на работу: та же таблица

Скрыть

Как и в задачах на работу, работа равна производительности, умноженной на время. Мастер и ученик изготовили по $48$ деталей. Мастер делает в час на $2$ детали больше и потратил на $2$ ч меньше. Сколько деталей в час делает ученик?

Пусть ученик делает $p$ деталей в час и работал $t$ ч: $pt=48$ и $(p+2)(t-2)=48$. Вычитаем: $-2p+2t-4=0$, то есть $t=p+2$. Тогда $p(p+2)=48$, $p=6$ или $p=-8$. Производительность положительна, поэтому $p=6$; мастер делает $8$ деталей в час и работал $6$ ч.

Ответ: $6$ деталей в час.

{"questions":[{"content":"Числа $x$ и $y$ таковы, что $x>y$. Сопоставьте условие и уравнение. Одно уравнение лишнее. [[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Произведение чисел равно $24$","Сумма квадратов чисел равна $52$","Одно число на $2$ больше другого"],"items":["$xy=24$","$x^2+y^2=52$","$x-y=2$","$(x+y)^2=52$"]}},"hints":["Произведение — это $xy$, «на $2$ больше» — разность $x-y=2$.","Сумма квадратов — $x^2+y^2$, а не квадрат суммы $(x+y)^2$."],"step":1},{"content":"У двузначного числа сумма цифр равна $9$, а произведение цифр равно $18$. Найдите наибольшее такое число. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"63"}},"hints":["Цифры $a$ и $b$: $a+b=9$, $ab=18$; $a=3$, $b=6$ или наоборот.","Подходят числа $36$ и $63$.","Наибольшее — $63$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Ответ — только перекресток в зоне смысла

Вернемся к участку из первого раздела. Решим систему $y-x=2$, $xy=35$.

Пример 5

Шаги 1 и 2 сделаны в первом разделе.

3) Выражаем $y=x+2$ и подставляем: $x(x+2)=35$, $x^2+2x-35=0$, откуда $x=5$ или $x=-7$. Возвращаемся к $y$: при $x=5$ получаем $y=7$, при $x=-7$ получаем $y=-5$. У системы два решения: $(5;7)$ и $(-7;-5)$.

4) Проверка: $7-5=2$, $5\cdot7=35$. Но буквы $x$ и $y$ — длины сторон, а длина положительна. Перекресток $(-7;-5)$ лежит вне зоны смысла.

Ответ: меньшая сторона участка $5$ м, большая $7$ м.

Прямая y равно x плюс 2 и гипербола xy равно 35 пересекаются в двух точках: (5; 7) лежит в зоне смысла x больше 0, y больше 0, а (−7; −5) вне зоны и не подходит — У системы два перекрестка, но в зоне смысла x > 0, y > 0 только один: у задачи один ответ

Ошибка

Вообразавр решил систему верно и записал: «Ответ: $(5;7)$, $(-7;-5)$».

Проверим на числах. Вторая пара означает участок со сторонами $-7$ м и $-5$ м. Произведение $(-7)\cdot(-5)$ действительно равно $35$, но отмерить сторону длиной $-7$ м нельзя — такого участка нет.

Где сломалось рассуждение. Система ничего не знает о том, что $x$ и $y$ — длины: это знает только условие. Шаг 4 метода — отбор по смыслу — Вообразавр пропустил. А первая пара без слов тоже не ответ: в задаче спрашивали стороны участка, значит, нужно написать «стороны $5$ м и $7$ м».

Проверьте сами: двигайте точку по дороге $y=x+2$ и найдите оба перекрестка с гиперболой $xy=35$. Прямоугольник рисуется только в зоне смысла.

zadachi-sistemy-zona-smysla

Итак, ответ на вопрос из начала урока: у системы два решения, а у задачи про участок — один ответ. Число перекрестков считает алгебра, а какие из них засчитать, решает условие.

{"questions":[{"content":"Площадь прямоугольника равна $15$ см$^2$, одна сторона на $2$ см больше другой. После составления уравнения получили $x=3$ и $x=-5$. Чем не подходит $x=-5$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Подходят оба корня, надо записать оба","Длина стороны не может быть отрицательной","Это не корень уравнения","Отрицательный корень надо взять по модулю: меньшая сторона $5$ см, большая $7$ см"],"explanations":["Для длины подходит только положительное число","","Подстановка показывает, что $x=-5$ — корень: $(-5)(-3)=15$","Тогда площадь $5\\cdot7=35\\ne15$: минус не убирают, пару $(-5;-3)$ отбрасывают целиком"],"answer":[1]}},"hints":["Длина стороны — положительное число.","Поэтому $x=-5$ отбрасываем, меньшая сторона равна $3$ см, большая $5$ см."],"step":1},{"content":"Разность двух положительных чисел равна $4$, а их произведение равно $45$. Найдите большее число. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["Система: $x-y=4$, $xy=45$; выражаем $x=y+4$.","$y(y+4)=45$, $y^2+4y-45=0$, $y=5$ или $y=-9$.","По условию числа положительные: $y=5$, $x=9$."],"step":1},{"content":"Площадь прямоугольника $20$ см$^2$, одна сторона на $1$ см больше другой. Вообразавр получил пары $(5;4)$ и $(-4;-5)$ и записал: «Ответ: стороны $5$ и $4$ см или $-4$ и $-5$ см». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Вторая пара — решение системы, но длина положительна: ответ только $5$ и $4$ см","Ответ надо записывать парой без единиц","Система составлена неверно: для площади нужна сумма сторон","Во второй паре надо просто убрать минусы и записать обе пары"],"explanations":["","Единицы в ответе нужны, но ошибка не в них, а в том, что вторая пара не подходит по смыслу","Система составлена верно: $xy=20$ и $x-y=1$; ошибка в выборе ответа","Минус не убирают: пару $(-4;-5)$ отбрасывают целиком, по смыслу подходит только $(5;4)$"],"answer":[0]}},"hints":["Пара $(-4;-5)$ получена из отрицательных значений, а длины положительны.","Подходит только $(5;4)$: стороны $5$ и $4$ см."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Задачи на системы второй степени — это задание 21 ОГЭ и расчеты, где две неизвестные связаны суммой, разностью и произведением: размеры участка, скорость и время, производительность. Решение всегда идет по одному пути: два факта — две дороги, система — перекрестки, условие — зона смысла. Вспомнить главное поможет таблица.

В следующем уроке узнаем, сколько решений бывает у системы и как это зависит от параметра.

Часто задаваемые вопросы

Почему у системы два решения, а прямоугольник один?

Пары $(5;6)$ и $(6;5)$ отличаются только тем, какую сторону назвали $x$. Это один и тот же прямоугольник, повернутый на $90^\circ$. На карте такие перекрестки симметричны относительно прямой $y=x$.

Можно ли решить такую задачу одним уравнением?

Можно: обозначить одну сторону $x$, а другую сразу выразить, например $11-x$. Это та же подстановка, сделанная в уме. Система удобнее, когда связь между величинами сложнее, как в задаче о двух режимах движения: каждое уравнение записывается прямо по одному факту.

Что делать, если оба решения системы не подходят по смыслу?

Сначала проверьте составление системы: чаще всего ошибка в знаке, например $t+1$ вместо $t-1$, или в полупериметре. Если система верна, а положительных решений нет, то у задачи нет решения — так бывает, если данные условия противоречат друг другу.

Как оформить решение задания 21 ОГЭ, чтобы не потерять баллы?

Запишите, что обозначает каждая буква и в каких единицах, затем систему, ее решение и отбор корней с причиной: «$t=-3$ не подходит, так как время положительно». Последней строкой — ответ словами на вопрос задачи.

Награды за урок