9 класс Алгебра Уравнения и системы уравнений Системы уравнений с двумя переменными

Уравнение с двумя переменными и его график: прямая, парабола, гипербола, окружность

Содержание

В 7 классе вы строили график линейного уравнения с двумя переменными — прямую, а в 8 классе — график функции $y=\dfrac kx$. В этом уроке соберем все вместе: что такое решение уравнения с двумя переменными, что такое его график и как по уравнению узнать линию — прямую, параболу, гиперболу или окружность. Это основа для систем уравнений.

Решение — не одно число, а пара чисел

Подберите два целых числа, сумма квадратов которых равна $25$. Сразу находятся $3$ и $4$: $3^2+4^2=9+16=25$. Подходят и $0$ и $5$, и $-3$ и $4$. Сколько всего таких пар? Ответим в конце урока, а пока разберемся, что именно мы ищем.

Возьмем уравнение попроще: $2x+y=8$. Если $x=1$, то $y=8-2=6$. Если $x=3$, то $y=8-6=2$. Каждый раз получается не одно число, а пара: значение $x$ и значение $y$. Запишем несколько пар в таблицу.

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$	$8$	$6$	$4$	$2$	$0$	$-2$

Пару записывают в скобках через точку с запятой: $(2;4)$ — сначала $x$, потом $y$. Порядок важен: пара $(4;2)$ уравнению не подходит, ведь $2\cdot4+2=10$, а не $8$. Каждую пару можно отметить на координатной плоскости точкой — у точки появляется «адрес».

Точки-решения уравнения 2x + y = 8 лежат на одной прямой; точка (4; 2) в стороне от нее — Все найденные решения легли на одну линию — дорогу уравнения 2x + y = 8; точка (4; 2) лежит в стороне

Найденные точки выстроились в одну линию. Возьмем любое другое $x$, например $x=0{,}5$: тогда $y=7$, и точка $(0{,}5;7)$ ляжет на ту же линию. Решений бесконечно много, и все вместе они образуют линию — дорогу уравнения. Точка, координаты которой не подходят, лежит в стороне от дороги.

Определение

Уравнение с двумя переменными — равенство с двумя переменными, например $2x+y=8$ или $x^2+y^2=25$.

Решение уравнения с двумя переменными — пара чисел $(x;y)$, при подстановке которой уравнение обращается в верное равенство.

График уравнения с двумя переменными — множество всех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения.

Отсюда главный способ проверки: чтобы узнать, лежит ли точка на графике, подставьте ее координаты в уравнение. Равенство верно — точка на дороге, неверно — в стороне.

{"questions":[{"content":"Какая пара чисел является решением уравнения $x-2y=4$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(0;2)$","$(6;1)$","$(-6;1)$","$(1;6)$"],"explanations":["Знак потерян: при $x=0$ получаем $-2y=4$, $y=-2$, а не $2$","","Знак $x$ потерян: $-6-2\\cdot1=-8$, а не $4$","Числа поставлены в обратном порядке: в паре сначала $x$, потом $y$; $1-2\\cdot6=-11$, а не $4$"],"answer":[1]}},"hints":["Подставляем пару в уравнение: $x$ — первое число, $y$ — второе.","Для $(6;1)$: $6-2\\cdot1=4$ — равенство верно."],"step":1}],"mix":1}

Прямую задают две точки

Уравнение вида $ax+by=c$, где числа $a$ и $b$ не равны нулю одновременно, называют линейным уравнением с двумя переменными. Как вы знаете из 7 класса, его график — прямая. Через две точки проходит ровно одна прямая, поэтому для построения хватает двух решений.

Удобнее всего брать точки на осях. На оси $Oy$ абсцисса равна нулю: подставляем $x=0$. На оси $Ox$ ордината равна нулю: подставляем $y=0$.

Пример 1

Постройте график уравнения $3x-2y=6$.

1) Точка на оси $Oy$: $x=0$, тогда $-2y=6$, $y=-3$. Получили точку $(0;-3)$.

2) Точка на оси $Ox$: $y=0$, тогда $3x=6$, $x=2$. Получили точку $(2;0)$.

3) Проводим прямую через точки $(0;-3)$ и $(2;0)$.

4) Проверка третьей точкой: при $x=4$ получаем $12-2y=6$, $y=3$. Точка $(4;3)$ легла на построенную прямую.

Ответ: прямая, проходящая через точки $(0;-3)$ и $(2;0)$.

Прямая 3x − 2y = 6 по двум точкам на осях (0; −3) и (2; 0), проверочная точка (4; 3) — Две точки на осях задают прямую 3x − 2y = 6; третья точка (4; 3) легла на ту же прямую — построение верно

Третья точка — страховка от ошибки в вычислениях. Если она не легла на прямую, одна из трех точек найдена неверно: пересчитайте подстановку.

{"questions":[{"content":"В какой точке прямая $2x+3y=12$ пересекает ось $Ox$? В ответе запишите абсциссу этой точки. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["На оси $Ox$ ордината равна нулю: $y=0$.","$2x+3\\cdot0=12$, откуда $x=6$."],"step":1},{"content":"Чтобы построить прямую $4x-y=8$, нашли точку $(0;-8)$ на оси $Oy$. Вторая точка — на оси $Ox$: [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$(2;0)$","$(0;2)$","$(-2;0)$","$(8;0)$"],"answer":0}},"instruction":"Выберите точку","hints":["На оси $Ox$ ордината равна нулю: $y=0$.","$4x-0=8$, откуда $x=2$. Точка $(2;0)$."],"step":1}],"mix":1}

Кривую дорогу прокладываем по таблице

Если в уравнении есть квадрат или произведение переменных, график уже не прямая, и двух точек мало. Тогда составляем таблицу из нескольких точек. Удобно выразить $y$ через $x$: для каждого $x$ сразу получаем $y$.

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y=x^2-4$	$0$	$-3$	$-4$	$-3$	$0$

У точек с противоположными абсциссами одинаковые ординаты, ведь $(-x)^2=x^2$. Например, $(-1;-3)$ и $(1;-3)$. Через точки таблицы проходит парабола с вершиной $(0;-4)$, ветви направлены вверх.

$x$	$-6$	$-3$	$-1$	$1$	$2$	$3$	$6$
$y=\dfrac6x$	$-1$	$-2$	$-6$	$6$	$3$	$2$	$1$

Уравнение $xy=6$ при $x\ne0$ можно записать как $y=\dfrac6x$. А при $x=0$ получаем $0\cdot y=0\ne6$ — решений нет, дорога не пересекает ось $Oy$. График — гипербола из двух ветвей. Ветви лежат в первой и третьей четвертях: произведение $xy=6$ положительно, значит, $x$ и $y$ одного знака.

Парабола y = x² − 4 и гипербола xy = 6, построенные по таблицам точек — Парабола y = x² − 4 и гипербола xy = 6: точки из таблиц соединены плавной линией; у гиперболы нет точки с x = 0

Пример 2

Лежат ли точки $A(4;12)$ и $B(1{,}5;4)$ на параболе $y=x^2-4$? А на гиперболе $xy=6$?

Точка $A$: $4^2-4=12$ — верно, $A$ лежит на параболе; $4\cdot12=48\ne6$ — на гиперболе не лежит.

Точка $B$: $1{,}5^2-4=2{,}25-4=-1{,}75\ne4$ — на параболе не лежит; $1{,}5\cdot4=6$ — верно, $B$ лежит на гиперболе.

Ответ: $A$ — на параболе, $B$ — на гиперболе.

{"questions":[{"content":"Найдите ординату точки параболы $y=x^2-4$, абсцисса которой равна $-3$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Подставляем $x=-3$ в уравнение: $y=(-3)^2-4$.","$(-3)^2=9$, значит $y=9-4=5$."],"step":1},{"content":"Точка с абсциссой $-2$ лежит на гиперболе $xy=6$. Найдите ее ординату. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"-3"}},"hints":["Подставляем $x=-2$: $-2\\cdot y=6$.","$y=6:(-2)=-3$."],"step":1}],"mix":1}

Окружность: все точки на одном расстоянии от центра

Вернемся к уравнению из начала урока: $x^2+y^2=25$. Решения $(3;4)$, $(0;5)$, $(-3;4)$ уже найдены. Что у них общего? Для точки $A(3;4)$ построим прямоугольный треугольник с катетами $3$ и $4$ и гипотенузой $OA$, где $O$ — начало координат. По теореме Пифагора $OA^2=3^2+4^2=25$, значит, $OA=5$.

Окружность x² + y² = 25: точка A(3; 4) на расстоянии 5 от начала координат, прямоугольный треугольник 3-4-5 — Сумма квадратов координат — квадрат расстояния до начала координат: все решения x² + y² = 25 лежат на расстоянии 5 от O

Для любой точки $(x;y)$ катеты такого треугольника равны $\lvert x\rvert$ и $\lvert y\rvert$, поэтому квадрат расстояния до начала координат равен $x^2+y^2$. Уравнение $x^2+y^2=25$ говорит: расстояние от точки до $O$ равно $5$. Все такие точки лежат на окружности с центром $O$ и радиусом $5$.

Уравнение окружности с центром в начале координат

Окружность с центром $O(0;0)$ и радиусом $r$ задается уравнением

$$x^2+y^2=r^2$$

Справа стоит квадрат радиуса: у окружности $x^2+y^2=25$ радиус равен $5$.

Ошибка

Вообразавр рассуждает: «Извлечем корень, и $x^2+y^2=25$ превратится в $x+y=5$». Проверим на точках.

Точка $(-3;4)$: $9+16=25$ — она на окружности. Но $-3+4=1\ne5$ — на прямой $x+y=5$ ее нет.
Точка $(1;4)$: $1+4=5$ — она на прямой. Но $1+16=17\ne25$ — на окружности ее нет.

Где сломалось рассуждение: корень из суммы квадратов не равен сумме чисел, $\sqrt{9+16}=5$, а $3+4=7$. Уравнения $x^2+y^2=25$ и $x+y=5$ задают разные дороги: у окружности и прямой общие только точки $(5;0)$ и $(0;5)$.

Вторая ошибка — искать для окружности одну формулу $y=\ldots$. При $x=-3$ получаем $9+y^2=25$, $y^2=16$, $y=4$ или $y=-4$: на окружности две точки с одной абсциссой, $(-3;4)$ и $(-3;-4)$. Окружность — график уравнения, но не график функции.

Окружность x² + y² = 25 и прямая x + y = 5 пересекаются только в точках (5; 0) и (0; 5) — Окружность x² + y² = 25 и прямая x + y = 5 — разные дороги: общих точек только две

uravnenie-dvuh-peremennyh-grafik-curve-points

{"questions":[{"content":"Какая из точек лежит на окружности $x^2+y^2=169$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(6;7)$","$(-5;12)$","$(6{,}5;6{,}5)$","$(13;13)$"],"explanations":["Сложили координаты: $6+7=13$. А нужна сумма квадратов: $36+49=85\\ne169$","","Радиус поделили пополам между координатами: $42{,}25+42{,}25=84{,}5\\ne169$","Радиус $13$ отложен по обеим осям: $169+169=338\\ne169$"],"answer":[1]}},"hints":["Подставляем координаты и сравниваем сумму квадратов с $169$.","Для $(-5;12)$: $25+144=169$ — верно."],"step":1},{"content":"Вообразавр ищет точки окружности $x^2+y^2=25$ с абсциссой $4$: «$16+y^2=25$, $y^2=9$, $y=3$. Значит, такая точка одна — $(4;3)$». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Ошибка в начале: уравнение равносильно $x+y=5$, точка одна — $(4;1)$","Ошибка в корне: из $y^2=9$ следует $y=4{,}5$, точка $(4;4{,}5)$","Потерян второй корень $y=-3$: таких точек две — $(4;3)$ и $(4;-3)$","Ошибки нет: с абсциссой $4$ на окружности лежит одна точка $(4;3)$"],"explanations":["Сумма квадратов не равна квадрату суммы: для $(4;1)$ получаем $16+1=17\\ne25$","$y^2$ — это $y\\cdot y$, а не $2y$: $4{,}5^2=20{,}25\\ne9$","","Подставим $(4;-3)$: $16+9=25$ — равенство верно, значит, точек две. Окружность — не график функции"],"answer":[2]}},"hints":["Уравнение $y^2=9$ имеет два корня: $y=3$ и $y=-3$.","Проверим $(4;-3)$: $16+9=25$ — равенство верно, это вторая точка окружности с абсциссой $4$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Центр окружности можно сдвинуть

Пусть центр окружности — точка $C(a;b)$, а радиус равен $r$. Для точки $(x;y)$ окружности снова строим прямоугольный треугольник: теперь его катеты равны $\lvert x-a\rvert$ и $\lvert y-b\rvert$, а гипотенуза — радиус. По теореме Пифагора получаем уравнение окружности.

Уравнение окружности

Окружность с центром $(a;b)$ и радиусом $r$ задается уравнением

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

В скобках — разности: $x$ минус абсцисса центра, $y$ минус ордината центра. Справа — квадрат радиуса.

Знаки легко перепутать. Скобку $(x+2)$ перепишите как $(x-(-2))$: абсцисса центра равна $-2$. Скобку $(y-1)$ оставьте как есть: ордината центра равна $1$.

Пример 3

Найдите центр и радиус окружности $(x+2)^2+(y-1)^2=9$ и проверьте, лежит ли на ней точка $(1;1)$.

1) $x+2=x-(-2)$, значит, $a=-2$; в скобке $y-1$ стоит $b=1$. Центр — $(-2;1)$.

2) $r^2=9$, значит, $r=3$.

3) Подставим $(1;1)$: $(1+2)^2+(1-1)^2=9+0=9$ — равенство верно. На рисунке это видно: точка $(1;1)$ лежит правее центра ровно на $3$ клетки.

Ответ: центр $(-2;1)$, радиус $3$; точка $(1;1)$ лежит на окружности.

Окружность (x + 2)² + (y − 1)² = 9 с центром C(−2; 1) и радиусом 3 — Окружность (x + 2)² + (y − 1)² = 9: центр (−2; 1), радиус 3 — от центра по 3 клетки вправо, влево, вверх и вниз

{"questions":[{"content":"Сопоставьте уравнение окружности с ее центром и радиусом. [[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$(x-1)^2+(y+4)^2=9$","$(x+1)^2+(y-4)^2=9$","$(x-1)^2+(y+4)^2=81$","$x^2+(y-4)^2=1$"],"items":["центр $(1;-4)$, $r=3$","центр $(-1;4)$, $r=3$","центр $(1;-4)$, $r=9$","центр $(0;4)$, $r=1$","центр $(-1;4)$, $r=9$","центр $(4;0)$, $r=1$"]}},"hints":["Сравниваем с $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$: центр $(a;b)$, справа $r^2$.","$x+1=x-(-1)$, поэтому $a=-1$; $y+4=y-(-4)$, поэтому $b=-4$.","$(x-1)^2+(y+4)^2=9$ — центр $(1;-4)$, $r=3$; $(x+1)^2+(y-4)^2=9$ — центр $(-1;4)$, $r=3$; $(x-1)^2+(y+4)^2=81$ — центр $(1;-4)$, $r=9$; $x^2+(y-4)^2=1$ — центр $(0;4)$, $r=1$."],"step":1},{"content":"Найдите радиус окружности, заданной уравнением $(x-3)^2+(y+2)^2=25$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Уравнение окружности: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.","Справа $r^2=25$, значит $r=5$."],"step":1}],"mix":1}

Как по уравнению узнать дорогу

Чтобы понять, какую линию задает уравнение, посмотрите, в каких степенях входят переменные. Если сразу не видно, выразите $y$ через $x$ или соберите квадраты.

Вид уравнения	Пример	График
$ax+by=c$: $x$ и $y$ в первой степени	$3x-2y=6$	прямая
$y=ax^2+bx+c$, $a\ne0$: квадрат только у $x$	$y=x^2-4$	парабола
$xy=k$, $k\ne0$, то есть $y=\dfrac kx$	$xy=6$	гипербола
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$, $r>0$: сумма квадратов	$(x+2)^2+(y-1)^2=9$	окружность

Четыре кривые: прямая 3x − 2y = 6, парабола y = x² − 4, гипербола xy = 6, окружность (x + 2)² + (y − 1)² = 9 — Четыре дороги урока на одной карте: прямая, парабола, гипербола и окружность

Важно

Окружность получается, только если справа стоит положительное число. Уравнение $x^2+y^2=0$ имеет одно решение $(0;0)$ — его график состоит из одной точки. А уравнение $x^2+y^2=-4$ решений не имеет: сумма квадратов не бывает отрицательной.

Повышенная сложность: квадраты спрятаны

Скрыть

Уравнение $x^2-6x+y^2=0$ не похоже на уравнение окружности. Прибавим к обеим частям $9$, чтобы получить полный квадрат: $x^2-6x+9+y^2=9$, то есть $(x-3)^2+y^2=9$. Это окружность с центром $(3;0)$ и радиусом $3$. Проверка: точка $(0;0)$ подходит исходному уравнению, $0-0+0=0$, и лежит на расстоянии $3$ от центра $(3;0)$.

Теперь ответим на вопрос из начала урока. Целые решения уравнения $x^2+y^2=25$ — это точки окружности радиуса $5$ с целыми координатами. Число $25$ раскладывается в сумму двух квадратов целых чисел двумя способами: $25=0+25$ и $25=9+16$. Первый способ дает $4$ точки: $(5;0)$, $(-5;0)$, $(0;5)$, $(0;-5)$. Второй — $8$ точек: модули координат $3$ и $4$ в любом порядке и с любыми знаками. Всего $4+8=12$ точек. При этом на окружности бесконечно много других точек — с нецелыми координатами.

Дальше дороги начнут встречаться. Если два графика пересекаются, координаты точки пересечения подходят сразу обоим уравнениям — это решение системы уравнений. Сколько таких перекрестков у прямой и параболы или у прямой и окружности, покажет графический способ решения систем.

{"questions":[{"content":"Распределите уравнения по виду графика. [[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Прямая","Парабола","Гипербола","Окружность"],"items":[["$3x-y=6$","$x+2y=4$"],["$y=x^2-1$","$y=-2x^2$"],["$xy=4$","$xy=-6$"],["$x^2+y^2=9$","$(x-1)^2+y^2=4$"]]}},"hints":["Сравните с таблицей раздела: первая степень — прямая, квадрат только у $x$ — парабола, $xy$ — гипербола, сумма квадратов — окружность.","Прямые: $3x-y=6$, $x+2y=4$. Параболы: $y=x^2-1$, $y=-2x^2$. Гиперболы: $xy=4$, $xy=-6$. Окружности: $x^2+y^2=9$, $(x-1)^2+y^2=4$."],"step":1},{"content":"Что является графиком уравнения $x^2+y^2=16$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Окружность радиуса $8$","Окружность радиуса $4$","Окружность радиуса $16$","Парабола"],"explanations":["$16$ поделили на $2$: справа стоит $r^2$, и $r=\\sqrt{16}=4$","","Справа стоит $r^2$, а не $r$: $r^2=16$, значит $r=4$","У параболы квадрат только у одной переменной, а здесь $x^2$ и $y^2$ вместе"],"answer":[1]}},"hints":["В уравнении есть $x^2$ и $y^2$ с одинаковыми знаками, сумма постоянна.","Это окружность с центром в начале координат и радиусом $4$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Уравнение с двумя переменными задает дорогу на координатной плоскости: его решения — пары $(x;y)$, а график — все точки-решения. Проверить точку просто — подставить ее координаты в уравнение. Этот навык нужен в каждой системе уравнений: ответ системы — перекресток двух дорог, пара, подходящая обоим уравнениям. Как быстро вспомнить главное:

лежит ли точка на графике — подставьте адрес $(x;y)$ в уравнение;
$x$ и $y$ в первой степени — прямая, хватит двух точек и одной проверочной;
квадрат только у $x$ — парабола, произведение $xy$ — гипербола: строим по таблице;
сумма квадратов — окружность: центр берем из скобок с обратным знаком, радиус — корень из правой части;
$x^2+y^2=25$ — не $x+y=5$: проверьте любой точкой, например $(-3;4)$.

Повторить основы можно по уроку 8 класса «Уравнение с двумя переменными и его график».

Часто задаваемые вопросы

Чем уравнение с двумя переменными отличается от уравнения с одной переменной?

У уравнения с одной переменной решение — число, и корней обычно немного. У уравнения с двумя переменными решение — пара чисел, и решений чаще всего бесконечно много: они образуют линию на плоскости. Поэтому такое уравнение удобно изображать графиком.

Почему пару записывают через точку с запятой?

Запятая в русской записи отделяет дробную часть числа: $(1{,}5;4)$ — это $x=1{,}5$ и $y=4$. Если разделять числа пары запятой, запись станет двусмысленной.

Окружность — это график функции?

Нет. У функции каждому $x$ соответствует одно значение $y$. А у окружности $x^2+y^2=25$ при $x=0$ две точки: $(0;5)$ и $(0;-5)$. Окружность — график уравнения с двумя переменными, но не график функции.

Как быстро найти радиус окружности по уравнению?

Посмотрите на правую часть уравнения $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ и извлеките из нее квадратный корень: если справа $64$, радиус равен $8$. Частая ошибка — принять правую часть за радиус.

Бывает ли, что у уравнения с двумя переменными нет решений?

Бывает. Уравнение $x^2+y^2=-1$ решений не имеет, ведь сумма квадратов не бывает отрицательной. График такого уравнения пуст — дороги нет.

Награды за урок