Геометрические прогрессии. Формула n-го члена

Вы уже познакомились с арифметической прогрессией, где каждый следующий шаг создается добавлением одного и того же числа. Однако редко мы можем описать природные процессы линейно. Во многих отраслях науки и цифровых технологиях изменения часто происходят лавинообразно. На каждом этапе развития текущая величина умножается на определенный множитель.

Такой механизм превращает последовательное увеличение в стремительный, взрывной рост, где масштаб каждого следующего шага зависит от размера предыдущего.

Что такое геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый следующий, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же ненулевое число.

• $b_1$ — первый член прогрессии.
• $b_n$ — $n$-й член прогрессии.
• $q$ — знаменатель геометрической прогрессии (число, на которое умножают).

$$q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$$

Понятие геометрической прогрессии впервые детально описано не в европейских учебниках, а в древнеиндийских математических трактатах (в частности, в трудах математика Пингалы, около III – II века до н. э.) в связи с анализом стихотворных размеров и комбинаторики.

В Европе же лавинообразный рост геометрической прогрессии стал широко известен благодаря задаче итальянского математика Леонардо Пизанского (Фибоначчи), опубликованной в его «Книге абака» в $1202$ году.

Он описал идеализированную модель размножения кроликов. Если предположить, что каждый месяц пара кроликов производит на свет новую пару, которая, в свою очередь, через месяц тоже начинает размножаться, то количество пар животных ежемесячно увеличивается в геометрической прогрессии (при условии идеальной выживаемости).

Этот пример до сих пор используется в биологии для демонстрации понятия биологического потенциала популяций при отсутствии ограничивающих факторов среды.

Вывод формулы n-го члена

Разложим последовательность поэтапно, чтобы увидеть закономерность:

• $b_1$
• $b_2 = b_1 \cdot q$
• $b_3 = b_2 \cdot q = (b_1 \cdot q) \cdot q = b_1 \cdot q^2$
• $b_4 = b_3 \cdot q = (b_1 \cdot q^2) \cdot q = b_1 \cdot q^3$
• $b_5 = b_4 \cdot q = (b_1 \cdot q^3) \cdot q = b_1 \cdot q^4$

Показатель степени числа $q$ всегда на единицу меньше, чем порядковый номер $n$ искомого члена прогрессии. Получаем формулу:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Задачи с положительным знаменателем

Показать решение

Скрыть

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Известно, что в геометрической прогрессии $b_3=12$, а $b_5=48$. Найдите $b_1$ и $q$, если известно, что $q>0$.<br><br>Выберите верную пару $(b_1; q)$: [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(3; 2)$","$(6; \\sqrt{2})$","$(12; 2)$","$(3; 4)$"],"explanations":["","Если $q=\\sqrt{2}$, то $q^2=2$ и тогда $b_5=b_3\\cdot q^2=12\\cdot 2=24$, что не совпадает с условием.","При $q=2$ действительно получается $q^2=4$, но тогда $b_1=\\frac{12}{4}=3$, а не $12$.","Если $q=4$, то $q^2=16$ и $b_5=b_3\\cdot 16=192$, что не совпадает с условием."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Запишем формулы членов прогрессии: $b_3=b_1q^2$ и $b_5=b_1q^4$.","Разделим $b_5$ на $b_3$: $\\frac{b_5}{b_3}=\\frac{b_1q^4}{b_1q^2}=q^2$.","Так как $\\frac{b_5}{b_3}=q^2$, получаем $q^2=\\frac{48}{12}=4$, значит при $q>0$ $q=2$.","Найдем $b_1$ из $b_3=b_1q^2$: $b_1=\\frac{12}{2^2}=\\frac{12}{4}=3$."]}]}

Задачи с дробным знаменателем

В первых примерах мы рассматривали ситуацию, когда знаменатель $q$ был больше единицы $(q > 1)$. При умножении на число, большее $1$, каждый следующий член последовательности становится крупнее предыдущего по модулю, и прогрессия стремительно растет. Такой процесс отражает, например, лавинообразное размножение бактерий или рост сложных процентов по вкладу.

В этом случае при умножении на правильную дробь (например, на $\frac{1}{2}$ или $0.1)$ каждый последующий член будет уменьшаться. Знаки всех членов последовательности останутся положительными (если $b_1 > 0)$, однако сами числа будут становиться все ближе и ближе к нулю.

Такая геометрическая прогрессия называется убывающей. Этот процесс описывает, например, радиоактивный распад элементов, постепенное остывание чашки чая или затухание колебаний маятника.

Показать решение

Скрыть

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Дана геометрическая прогрессия, в которой первый член $b_1=81$, а знаменатель $q=\\frac{1}{3}$. Найдите шестой член этой прогрессии $b_6$. [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{1}{3}$","$1$","$3$","$27$"],"explanations":["","Если получилось $1$, то вы, вероятно, ошиблись при возведении $\\left(\\frac{1}{3}\\right)^5$ в степень или при сокращении дроби.","Если получилось $3$, то была допущена ошибка в вычислении степени или вместо $q^5$ было использовано другое значение степени.","Если получилось $27$, то, вероятно, вы использовали $q^1$ или $q^2$ вместо $q^5$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Запишем формулу $n$-го члена геометрической прогрессии: $b_n=b_1q^{n-1}$.","Подставим $n=6$: $b_6=b_1q^5$.","$b_6=81\\cdot\\left(\\frac{1}{3}\\right)^5=81\\cdot\\frac{1}{243}=\\frac{1}{3}$."]}]}

Задачи со знакочередующимся знаменателем

До этого речь шла о ситуациях, когда знаменатель геометрической прогрессии $q$ оставался положительным ($q > 0$). При таком условии все члены последовательности сохраняют один и тот же знак, а числовой ряд монотонно возрастает или убывает.

При умножении положительного числа на отрицательное мы получаем отрицательный результат, а при умножении отрицательного на отрицательное — снова положительный. В результате знаки членов прогрессии начинают строго чередоваться: плюс, минус, плюс, минус…

Такая прогрессия называется знакочередующейся. Формула $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ продолжает работать без изменений, но при возведении отрицательного знаменателя в степень необходимо внимательно следить за четностью показателя: четная степень поглощает минус, а нечетная — сохраняет его.

Показать решение

Скрыть

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"В геометрической прогрессии известны второй и четвертый члены: $b_2 = 5$, а $b_4 = 45$. Найдите знаменатель прогрессии $q$ и ее первый член $b_1$, если известно, что прогрессия является знакочередующейся.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$q=-3$, $b_1=-\\frac{5}{3}$","$q=3$, $b_1=\\frac{5}{3}$","$q=-9$, $b_1=-\\frac{5}{9}$","$q=-3$, $b_1=\\frac{5}{3}$"],"explanations":["","При $q=3$ прогрессия не будет знакочередующейся, так как все члены будут одного знака (если $b_1>0$) или тоже одного знака (если $b_1<0$).","Если $q=-9$, то $b_4/b_2=q^2=81$, но по условию $45/5=9$, поэтому это не подходит.","Если $q=-3$, то из $b_2=b_1q$ получаем $b_1=\\frac{5}{-3}=-\\frac{5}{3}$, а не $\\frac{5}{3}$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Используем формулы: $b_2=b_1q$ и $b_4=b_1q^3$.","Разделим $b_4$ на $b_2$: $\\frac{b_4}{b_2}=\\frac{b_1q^3}{b_1q}=q^2$.","Подставим значения: $q^2=\\frac{45}{5}=9$, значит $q=3$ или $q=-3$.","Так как прогрессия знакочередующаяся, то $q<0$, значит $q=-3$. Затем $b_1=\\frac{b_2}{q}=\\frac{5}{-3}=-\\frac{5}{3}$."]}]}

Заключение

Сегодня мы разобрали мощный математический инструмент — геометрическую прогрессию. В отличие от линейного роста, с которым мы сталкивались раньше, этот процесс обладает колоссальной скоростью изменения, поскольку каждый шаг здесь — это умножение.

Что важно запомнить

1. Главное отличие. В геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число $q$ (знаменатель), в то время как в арифметической — добавлением числа $d$.
2. Универсальный инструмент. Формула $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ позволяет найти абсолютно любой член последовательности, зная только ее начало и шаг умножения. Нам не нужно высчитывать все элементы по порядку.
3. Три сценария поведения:
   • При $q > 1$ прогрессия стремительно возрастает (модель лавины или взрыва).
   • При $0 < q < 1$ прогрессия убывает, приближаясь к нулю (модель затухания или распада).
   • При $q < 0$ знаки членов чередуются, а прогрессия ведет себя подобно раскачивающемуся маятнику.

Часто задаваемые вопросы