Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии. Бесконечная геометрическая прогрессия

Мы уже познакомились с последовательностями, которые растут или убывают в геометрической прогрессии, и научились находить любой их элемент по его порядковому номеру.

Сегодня мы сделаем следующий шаг. Что если нам нужно не просто найти конкретный член последовательности, а сложить их все вместе? Например, узнать сумму первых пяти, десяти или даже ста членов?

Легенда об изобретателе шахмат

Существует красивая легенда об изобретении шахмат. Когда индийский царь Шерам впервые сыграл в эту игру, он был потрясен ее глубиной и вызвал к себе создателя — мудреца по имени Сета.

— Я достаточно богат, чтобы исполнить любое твое желание, — высокомерно произнес правитель. — Проси все, что хочешь.

Мудрец поклонился и сказал:

— О повелитель, я не прошу золота. Прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски всего одно пшеничное зерно. За вторую клетку — два зерна, за третью — четыре, за четвертую — восемь… И так далее, каждый раз удваивая количество, пока не заполнятся все $64$ клетки.

Царь даже обиделся на такую, как ему показалось, ничтожную просьбу. Он рассмеялся и прогнал мудреца, приказав слугам немедленно отсчитать ему этот «несчастный мешок зерна».

Однако к вечеру царские математики пришли к правителю в ужасе. Оказалось, что в казне и во всем мире нет такого количества пшеницы. Чтобы исполнить обещание, нужно было выдать:

$$1 + 2 + 4 + 8 + 16 + \dots + 2^{63}$$

В сумме это составляет $18 \, 446 \, 744 \, 073 \, 709 \, 551 \, 615$ зерен. Чтобы вместить такое количество урожая, понадобился бы амбар шириной $10$ метров, который тянулся бы от Земли до самого Солнца.

Царь не смог расплатиться с мудрецом, потому что не оценил скорость роста геометрической прогрессии. Чтобы мы не попали в такую же ловушку и могли быстро считать подобные огромные суммы, ученые вывели специальную формулу. Ее мы сейчас и разберем.

Сумма первых членов геометрической прогрессии

Вывод формулы суммы первых членов геометрической прогрессии

Запишем и разберем, как математики нашли этот изящный способ быстрого подсчета, не прибегая к долгому сложению.

Представим, что у нас есть геометрическая прогрессия. Нам нужно найти сумму первых $n$ ее членов. Обозначим эту сумму как $S_n$:

$$S_n = b_1 + b_2 + b_3 + \dots + b_{n-1} + b_n$$

Шаг 1. Расписываем сумму через первый член и знаменатель

Вспомним определение прогрессии: каждый следующий член получается умножением предыдущего на $q$. Заменим все члены последовательности, начиная со второго, выразив их через самый первый член $b_1$ и знаменатель $q$:

• $b_2 = b_1 \cdot q$
• $b_3 = b_1 \cdot q^2$
• $b_{n-1} = b_1 \cdot q^{n-2}$
• $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Подставим эти выражения в нашу сумму и получим длинное равенство, которое назовем Уравнением $(1)$:

$$(1) \quad S_n = b_1 + b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^{n-2} + b_1q^{n-1}$$

Шаг 2. Искусственный прием — умножение на $q$

Сейчас перед нами длинный ряд слагаемых, и сложить их напрямую мы не можем. Применим математическую хитрость: умножим обе части Уравнения $(1)$ на знаменатель прогрессии $q$.
Посмотрим, во что превратится каждое слагаемое в правой части:

• $b_1$ превращается в $b_1q$
• $b_1q$ превращается в $b_1q^2$
• …
• $b_1q^{n-1}$ превращается в $b_1q^n$

Запишем получившееся новое равенство. Назовем его Уравнением $(2)$:

$$(2) \quad S_n \cdot q = b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 + \dots + b_1q^{n-1} + b_1q^n$$

Шаг 3. Вычитание уравнений

Теперь у нас есть два уравнения. Внимательно посмотрим на их правые части. Заметим, что внутри них находится огромное количество абсолютно одинаковых слагаемых: $b_1q, b_1q^2, \dots, b_1q^{n-1}$.
Чтобы избавиться от этой длинной повторяющейся цепочки, вычтем из Уравнения $(2)$ Уравнение $(1)$ (левую часть вычитаем из левой, правую — из правой):

$$S_n \cdot q-S_n = (b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^{n-1} + b_1q^n)-(b_1 + b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^{n-1})$$

Когда мы раскроем скобки, перед всеми слагаемыми из выражения во вторых скобках встанет знак «минус». Произойдет массовое взаимное уничтожение (сокращение) одинаковых элементов с противоположными знаками.
Из всей длинной правой части «выживут» только два крайних слагаемых:

1. $b_1q^n$ (из выражения в первых скобках, так как для него не нашлось пары во второй)
2. $-b_1$ (из выражения во вторых скобках, так как для него не было пары в первой)

После сокращения наше уравнение становится очень коротким:

$$S_n \cdot q-S_n = b_1q^n-b_1$$

Шаг 4. Вынесение общего множителя за скобки

Упростим получившееся выражение с помощью разложения на множители:

• В левой части равенства вынесем за скобки общий множитель $S_n$.
• В правой части равенства вынесем за скобки общий множитель $b_1$.

Получаем:

$$S_n(q-1) = b_1(q^n-1)$$

Шаг 5. Финал — выражаем $S_n$

Нам нужно выразить саму сумму $S_n$. Для этого разделим обе части уравнения на выражение в скобках $(q-1)$.

Получаем итоговую формулу суммы первых членов геометрической прогрессии: $$S_n = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$$

Если мы поменяем знаки в числителе и знаменателе (умножим верх и низ дроби на $-1$), то формула примет второй стандартный вид, который часто удобнее использовать, если $q < 1$.

Формула суммы при $q < 1$: $$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$$

Показать решение

Скрыть

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"В геометрической прогрессии $b_1=3$, $q=2$. Найдите сумму первых $8$ членов $S_8$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$384$","$765$","$768$","$1530$"],"answer":[1]}},"step":1,"explanation":"Так как $q=2\\ne1$, используем формулу $S_n=b_1\\cdot\\frac{q^n-1}{q-1}$. Получаем $S_8=3\\cdot\\frac{2^8-1}{2-1}=3\\cdot(256-1)=3\\cdot255=765$.","hints":["Вспомним формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии при $q\\ne1$: $S_n=b_1\\cdot\\frac{q^n-1}{q-1}$.","Подставим данные: $S_8=3\\cdot\\frac{2^8-1}{2-1}$.","Вычислим степень: $2^8=256$, значит $2^8-1=255$.","Делитель $2-1=1$, поэтому $S_8=3\\cdot255=765$."]}]}

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма

Если модуль знаменателя меньше единицы ($|q| < 1$), то с увеличением номера $n$ члены прогрессии стремятся к нулю ($b_n \to 0$). Такая прогрессия называется бесконечно убывающей.

Рассмотрим поведение формулы суммы при $n \to \infty$:

$$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q} = \frac{b_1}{1-q}-\frac{b_1 \cdot q^n}{1-q}$$

Так как $|q| < 1$, при неограниченном росте $n$ выражение $q^n$ стремится к $0$. Следовательно, слагаемое $\frac{b_1 \cdot q^n}{1-q}$ также стремится к $0$.

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $(|q| < 1)$: $$S = \frac{b_1}{1-q}$$

Показать решение

Скрыть

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Дана убывающая геометрическая прогрессия: $b_1=48$, $q=\\frac{1}{4}$. Найдите сумму всех членов прогрессии $S$. [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$64$","$63$","$60$","$\\frac{64}{3}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Для бесконечной геометрической прогрессии сумма существует, если $|q|<1$, и тогда $S=\\frac{b_1}{1-q}$.","Проверьте условие сходимости: $\\left|\\frac{1}{4}\\right|<1$, значит формулу можно применять. Подставьте $b_1=48$, $q=\\frac{1}{4}$ в $S=\\frac{b_1}{1-q}$.","Вычислим: $S=\\frac{48}{1-\\frac{1}{4}}=\\frac{48}{\\frac{3}{4}}=48\\cdot\\frac{4}{3}=64$. Это вариант $64$."]}]}

Заключение

На этом уроке мы совершили важное открытие: геометрическая прогрессия может не просто стремительно расти, но и подчиняться строгим формулам сложения. Теперь в вашем арсенале есть два мощных инструмента:

• Формула суммы конечного числа членов $(S_n)$ — она выручит, когда нужно быстро сложить $5$, $10$ или даже $64$ элемента последовательности, не тратя часы на рутинные вычисления.
• Формула суммы бесконечно убывающей прогрессии $(S)$ — инструмент, который стер грань между бесконечным процессом и конкретным, осязаемым числом.

Главное, о чем стоит помнить на практике, — всегда обращайте внимание на знаменатель $q$. Именно он определяет, какую формулу выбрать и как поведет себя последовательность.

Часто задаваемые вопросы