8 класс Алгебра Степень с целым показателем Степень с целым показателем и ее свойства

Степень с нулевым и целым отрицательным показателем

Содержание

В уроке «Умножение и деление степеней. Нулевая степень» мы строили лестницу степеней: на ступени $0$ стоит $1$, каждый шаг вверх — умножение на основание, а номер ступени — показатель. В этом уроке продолжим лестницу вниз, ниже нулевой ступени. Разберем, что такое степень с нулевым и с целым отрицательным показателем, как ее вычислять и почему минус в показателе не делает число отрицательным.

Что стоит ниже нулевой ступени

Многие клетки тела человека имеют размер около $10^{-5}$ м, а бактерия стафилококк — около $10^{-6}$ м. Так в биологии и физике записывают очень малые длины. Что здесь меньше и во сколько раз? Чтобы ответить, нужно понять, что означает минус в показателе. К этому вопросу вернемся в конце урока.

Начнем с лестницы числа $2$. На ступени $0$ стоит $1$, выше — $2$, $4$, $8$: каждый шаг вверх умножает на $2$. Номер ступени — показатель: на ступени $3$ стоит $2^3=8$. Обратный путь — шаг вниз — делит на $2$: $8:2=4$, $4:2=2$, $2:2=1$.

Что мешает шагнуть ниже нулевой ступени? Ничего: делить на $2$ можно и дальше. $1:2=\frac12$, затем $\frac12:2=\frac14$, затем $\frac14:2=\frac18$. Ступени ниже нуля получают номера $-1$, $-2$, $-3$, а числа на них записывают так же, как выше: $2^{-1}$, $2^{-2}$, $2^{-3}$.

Лестница числа 2 от ступени 3 до ступени −3: шаг вниз — деление на 2, числа остаются положительными — Ниже нулевой ступени лестница продолжается: каждый шаг вниз делит на $2$, и числа становятся дробями, но остаются положительными

Лестница степеней

Номер ступени — показатель степени. Шаг вверх — умножение на основание $a$, шаг вниз — деление на $a$. На ступени $0$ стоит $1$, и лестница продолжается в обе стороны.

Посмотрите на нижние ступени: $\frac12$, $\frac14$, $\frac18$. Числа уменьшаются, но ни одно не стало отрицательным. Деление положительного числа на $2$ дает положительное число. Минус в номере ступени говорит только о том, что ступень находится ниже нуля.

{"questions":[{"content":"Найдите значение $2^{-4}$. Ответ запишите обыкновенной дробью. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["1/16","0,0625","0.0625"]}},"hints":["Показатель $-4$ — четыре шага вниз по лестнице от $2^0=1$: каждый раз делим на $2$.","$2^{-4}=\\frac1{2^4}=\\frac1{16}$. Ответ: $\\frac1{16}$."],"step":1},{"content":"На лестнице степеней числа $\\frac12$ на ступени $0$ стоит $1$, на ступени $1$ — число $\\frac12$. Какое число стоит на ступени $-3$? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Шаг вниз — деление на основание: $1:\\frac12=2$. Это ступень $-1$.","Еще два шага вниз: $2:\\frac12=4$, $4:\\frac12=8$. Ответ: $8$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Почему на нулевой ступени всегда стоит единица

На первой ступени любой лестницы стоит само основание: $a^1=a$. Шаг вниз — деление на $a$, и получается $a:a=1$. Для числа $2$ это $2:2=1$, для числа $7$ — $7:7=1$, для числа $-0{,}5$ — $(-0{,}5):(-0{,}5)=1$. Какое бы основание ни взять, после шага вниз с первой ступени на нулевой окажется единица.

Нулевая ступень: у оснований 2, 7 и −0,5 на ней стоит 1, у основания 0 шаг вниз невозможен — Для любого основания $a\ne0$ шаг вниз с первой ступени дает $a:a=1$; у основания $0$ этот шаг сделать нельзя

Определение

Степень с нулевым показателем любого числа $a$, не равного нулю, равна единице:

$$a^0=1,\quad a\ne0$$

Единица на нулевой ступени — не договоренность «потому что так сказали». Это единственное число, при котором правило лестницы «шаг вниз — деление на $a$» не ломается. Тот же ответ мы получали в 7 классе, когда делили степень на саму себя: $a^n:a^n=1$.

Ошибка

Пишут $a^0=0$: «умножили ноль раз — ничего не осталось». Проверка на числах: $5^1=5$, шаг вниз — $5:5=1$, а не $0$. Где сломалось рассуждение: на нулевой ступени остается то, с чего лестница начинается, — единица. Ноль шагов означает «ничего не умножали», а не «получили ноль».

Обратите внимание

У основания $0$ лестница обрывается. На первой ступени стоит $0^1=0$, а шаг вниз потребовал бы деления $0:0$, которое не имеет смысла. Поэтому выражения $0^0$ и $0^{-1}$, $0^{-2}$ и так далее не имеют смысла: они не равны ни $0$, ни $1$.

{"questions":[{"content":"Найдите значение выражения $15^0+4^0$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Любое число, не равное нулю, в нулевой степени равно $1$.","$15^0+4^0=1+1=2$. Ответ: $2$."],"step":1},{"content":"Какое из выражений не имеет смысла?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$5^0$","$(-5)^0$","$0{,}5^0$","$0^0$"],"explanations":["Основание $5$ не равно нулю: $5^0=1$","Отрицательное основание допустимо: $(-5)^0=1$","Основание $0{,}5$ не равно нулю: $0{,}5^0=1$",""],"answer":[3]}},"hints":["Нулевая степень определена для любого основания, кроме нуля: шаг вниз с первой ступени — деление на основание.","У основания $0$ на первой ступени стоит $0$, а шаг вниз потребовал бы деления $0:0$. Значит, $0^0$ не имеет смысла."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Минус в показателе означает шаги вниз

Пройдем несколько шагов вниз по лестнице числа $4$. Каждый шаг делит на $4$, поэтому после $n$ шагов единица разделена на $4$ ровно $n$ раз, то есть на $4^n$.

Запись	Шаги вниз от $1$	Дробь	Десятичная дробь
$4^{-1}$	$1:4$	$\frac14$	$0{,}25$
$4^{-2}$	$1:4:4$	$\frac1{4^2}=\frac1{16}$	$0{,}0625$
$4^{-3}$	$1:4:4:4$	$\frac1{4^3}=\frac1{64}$	$0{,}015625$

Определение

Степень с целым отрицательным показателем $a^{-n}$, где $a\ne0$ и $n$ — натуральное число, — это единица, деленная на $a^n$:

$$a^{-n}=\frac1{a^n},\quad a\ne0$$

Почему это верно для любого основания? Ступень $-n$ находится на $n$ шагов ниже нулевой, на которой стоит $1$. Каждый шаг — деление на $a$. Разделить $n$ раз на $a$ — то же, что разделить один раз на произведение $n$ множителей $a$, то есть на $a^n$. Верно и обратное: дробь $\frac1{a^n}$ можно записать степенью $a^{-n}$.

Ошибка

Пишут $2^{-5}=-10$: основание умножили на показатель. Или $2^{-5}=-32$, $2^{-5}=-\frac1{32}$: решили, что минус в показателе делает число отрицательным.

Проверка лестницей: от $2^0=1$ пять шагов вниз — $\frac12$, $\frac14$, $\frac18$, $\frac1{16}$, $\frac1{32}$. Все ступени положительны: деление положительного числа на $2$ не дает отрицательного. Верно $2^{-5}=\frac1{32}$.

Где сломалось рассуждение: показатель — номер ступени, а не множитель; минус в показателе показывает направление «вниз», а не знак числа.

Ошибка: 2 в степени −5 не равно −10, −32 или −1/32; проверка лестницей дает 1/32 > 0 — Минус в показателе — пять шагов вниз, а не знак числа: $2^{-5}=\frac1{32}$, а не $-10$ и не $-32$

Пример 1

Вычислите $(-5)^{-2}$ и $10^{-5}$. Ответ запишите десятичной дробью.

Решение. По определению $(-5)^{-2}=\frac1{(-5)^2}$. Четная степень отрицательного числа положительна: $(-5)^2=25$. Значит, $(-5)^{-2}=\frac1{25}=0{,}04$.

$10^{-5}=\frac1{10^5}=\frac1{100\,000}=0{,}00001$: каждый шаг вниз по лестнице числа $10$ сдвигает единицу на один знак вправо от запятой, всего пять знаков.

Ответ: $0{,}04$ и $0{,}00001$. Значит, клетка размером $10^{-5}$ м — это $0{,}00001$ м, или $0{,}01$ мм.

В интерактиве выберите основание и двигайте показатель. Лестница показывает ступень, а под ней — значение степенью, дробью и десятичной дробью. Попробуйте получить отрицательное значение при основании $2$.

stepen-celyj-lestnica

{"questions":[{"content":"По определению при $a\\ne0$ верно равенство $a^{-n}=\\dfrac{1}{[[fill_choice-1]]}$.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$-a^{n}$","$n^{a}$","$a^{-n}$","$a^{n}$"],"answer":3}},"hints":["Отрицательный показатель означает шаг вниз — деление на основание.","$a^{-n}=\\frac1{a^n}$. В знаменателе стоит $a^n$."],"step":1},{"content":"Решавр записал: $2^{-3}=-6$. Чему на самом деле равно $2^{-3}$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-6$","$-\\frac18$","$-8$","$\\frac18$"],"explanations":["Показатель — номер ступени, а не множитель: $2\\cdot(-3)=-6$ — произведение, а не степень","Дробь верная, но знак лишний: основание $2$ положительно, и все его степени положительны","Число стало отрицательным из-за минуса в показателе; минус показывает шаги вниз, а не знак числа",""],"answer":[3]}},"hints":["Показатель $-3$ — три шага вниз от $2^0=1$: $1 \\to \\frac12 \\to \\frac14 \\to \\frac18$.","Ни умножать основание на показатель, ни делать число отрицательным не нужно: $2^{-3}=\\frac1{2^3}=\\frac18$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Запишите $10^{-6}$ десятичной дробью. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,000001","0.000001"]}},"hints":["$10^{-6}=\\frac1{10^6}=\\frac1{1\\,000\\,000}$ — один знак после запятой на каждый шаг вниз.","Ответ: $0{,}000001$ (шесть знаков после запятой)."],"step":1}],"mix":1}

Где минус меняет знак, а где нет

Минус в показателе отвечает за направление по лестнице. Знак числа зависит от другого — от основания. Построим лестницу числа $-3$. На первой ступени $-3$, на нулевой $(-3):(-3)=1$. Ниже: $1:(-3)=-\frac13$, затем $-\frac13:(-3)=\frac19$, затем $\frac19:(-3)=-\frac1{27}$.

Лестница числа −3 от ступени 1 до ступени −3: знак меняется на каждом шаге вниз — У основания $-3$ каждый шаг делит на отрицательное число, поэтому знак меняется на каждой ступени: четный показатель — плюс, нечетный — минус

Знак меняется на каждом шаге. На ступенях с четным номером ($0$, $-2$) число положительно, с нечетным ($-1$, $-3$) — отрицательно. Это то же правило четности, что и для натуральных показателей в уроке «Степень с натуральным показателем»: $(-a)^{-n}=\frac1{(-a)^n}$, и знак дроби такой же, как у $(-a)^n$.

Запись	Что в основании	Значение
$(-3)^0$	$-3$ (в скобках)	$1$
$-3^0$	$3$, минус перед степенью	$-(3^0)=-1$
$(-3)^{-2}$	$-3$ (в скобках)	$\frac1{(-3)^2}=\frac19$
$-3^{-2}$	$3$, минус перед степенью	$-\frac1{3^2}=-\frac19$

Ошибка

Пишут $-3^0=1$: «любое число в нулевой степени — единица». Проверка порядком действий: сначала степень, потом знак, $-3^0=-(3^0)=-1$. Где сломалось рассуждение: без скобок минус не входит в основание, степень относится только к $3$. Единице равно $(-3)^0$ — там основание $-3$ в скобках.

Пример 2

Вычислите $-3^0+(-3)^0$ и $(-3)^{-3}$.

Решение. $-3^0=-1$, а $(-3)^0=1$, поэтому $-3^0+(-3)^0=-1+1=0$.

$(-3)^{-3}=\frac1{(-3)^3}$. Показатель $3$ нечетный: $(-3)^3=-27$. Значит, $(-3)^{-3}=\frac1{-27}=-\frac1{27}$.

Ответ: $0$ и $-\frac1{27}$.

{"questions":[{"content":"Чему равно значение выражения $-4^0$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$1$","$-1$","$-4$","$0$"],"explanations":["Минус стоит перед степенью и не входит в основание: $-4^0=-(4^0)=-1$","","Показатель $0$ не означает «оставить число»: $4^0=1$","Нулевой показатель дает $1$, а не $0$"],"answer":[1]}},"hints":["Степень стоит только у $4$, знак минус — вне степени.","$4^0=1$, поэтому $-4^0=-(4^0)=-1$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Какое утверждение о числе $(-4)^{-3}$ верно?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Оно равно $-64$","Оно положительно: $\\frac1{64}$","Оно равно $64$","Оно отрицательно: $-\\frac1{64}$"],"explanations":["Показатель отрицательный, поэтому получится дробь $\\frac1{-64}$, а не $-64$","Знак основания потерян: нечетная степень отрицательного числа отрицательна","$(-4)^{-3}=\\frac1{(-4)^3}=\\frac1{-64}$: единицу делят на $-64$, а $64$ — это $4^3$ без деления и без знака",""],"answer":[3]}},"hints":["По определению $(-4)^{-3}=\\frac1{(-4)^3}$.","В знаменателе нечетная степень отрицательного числа: $(-4)^3=-64$.","Значит, число отрицательное: $-\\frac1{64}$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Решавр записал: $(-2)^{-4}=-\\frac1{16}$, «потому что основание отрицательное». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Отрицательный показатель снимает минус, и верно $16$","Основание умножают на показатель, и верно $8$","Показатель четный, поэтому $(-2)^4=16$ и верно $\\frac1{16}$","Ошибки нет: степень отрицательного числа всегда отрицательна"],"explanations":["Отрицательный показатель дает дробь $\\frac1{(-2)^4}$, а не целое число $16$","$(-2)\\cdot(-4)=8$ — это произведение, а не степень","","Проверка: $(-2)^2=4$ — положительно; при четном показателе знак плюс"],"answer":[2]}},"hints":["По определению $(-2)^{-4}=\\frac1{(-2)^4}$.","Показатель четный: $(-2)^4=16$, минусы сокращаются парами. Значит, $(-2)^{-4}=\\frac1{16}$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Дробь в отрицательной степени переворачивается

Построим лестницу дроби $\frac23$. На первой ступени $\frac23$, на нулевой $1$. Шаг вниз: $1:\frac23=\frac32$. Еще шаг: $\frac32:\frac23=\frac32\cdot\frac32=\frac94$. Ниже нуля стоят степени перевернутой дроби: $\left(\frac23\right)^{-1}=\frac32$, $\left(\frac23\right)^{-2}=\left(\frac32\right)^2=\frac94$.

Лестницы дробей 2/3 и 3/2: спуск по лестнице 2/3 дает те же числа, что подъем по лестнице 3/2 — Спуск по лестнице дроби $\frac23$ — то же, что подъем по лестнице дроби $\frac32$: $\left(\frac23\right)^{-2}=\left(\frac32\right)^2$

Правило

Дробь в степени с отрицательным показателем равна перевернутой дроби в степени с противоположным показателем:

$$\left(\frac ab\right)^{-n}=\left(\frac ba\right)^n,\quad a\ne0,\ b\ne0$$

Почему это верно: по определению $\left(\frac ab\right)^{-n}=1:\left(\frac ab\right)^n=1:\frac{a^n}{b^n}=\frac{b^n}{a^n}=\left(\frac ba\right)^n$. Деление на дробь — умножение на перевернутую дробь.

Пример 3

Вычислите $\left(\frac27\right)^{-2}$ и $\left(1\frac12\right)^{-3}$.

Решение. $\left(\frac27\right)^{-2}=\left(\frac72\right)^2=\frac{49}4=12{,}25$.

Смешанное число сначала запишем неправильной дробью: $1\frac12=\frac32$. Тогда $\left(\frac32\right)^{-3}=\left(\frac23\right)^3=\frac8{27}$.

Ответ: $12{,}25$ и $\frac8{27}$.

{"questions":[{"content":"Найдите значение $\\left(\\frac52\\right)^{-2}$. Ответ запишите обыкновенной дробью или десятичной. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["4/25","0,16","0.16"]}},"hints":["Отрицательный показатель переворачивает дробь: $\\left(\\frac52\\right)^{-2}=\\left(\\frac25\\right)^2$.","$\\left(\\frac25\\right)^2=\\frac4{25}$. Ответ: $\\frac4{25}=0{,}16$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Чем ниже ступень, тем меньше число: основание больше 1

Теперь вернемся к клетке и бактерии. Числа $10^{-5}$ и $10^{-6}$ стоят на соседних ступенях лестницы числа $10$. Ступень $-6$ на одну ниже, а шаг вниз — деление на $10$. Значит, $10^{-6}$ в $10$ раз меньше, чем $10^{-5}$: стафилококк примерно в $10$ раз меньше клетки, и в поперечнике клетки уложится около десяти таких бактерий.

Лестница числа 10 для длин в метрах: клетка 10 в степени −5 м, стафилококк 10 в степени −6 м, разница в 10 раз — Клетка и стафилококк — на соседних ступенях лестницы числа $10$: бактерия на шаг ниже, то есть в $10$ раз меньше

Так же сравнивают любые степени одного основания, большего $1$: чем ниже ступень, тем меньше число. Например, $10^{-3}$ на две ступени выше, чем $10^{-5}$, поэтому больше в $10\cdot10=100$ раз: миллиметр в $100$ раз больше клетки. У основания между $0$ и $1$, например $\frac12$, все наоборот: вниз числа растут.

Интересный факт: микрометр и микрон

Скрыть

Длину $10^{-6}$ м называют микрометром (мкм): приставка «микро» в системе СИ означает множитель $10^{-6}$. Раньше эту длину называли микроном. В 1967 году Генеральная конференция по мерам и весам отменила это название, но в разговоре и в старых книгах оно встречается до сих пор. Клетка размером $10^{-5}$ м — это $10$ мкм, а стафилококк — около $1$ мкм.

{"questions":[{"content":"Какое из чисел больше: $2^{-4}$ или $2^{-6}$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$2^{-6}$","Сравнить нельзя","Они равны","$2^{-4}$"],"explanations":["Большим кажется показатель $-6$ по модулю, но каждый шаг вниз делит на $2$: $2^{-6}=\\frac1{64}$ меньше $\\frac1{16}$","Основания одинаковые, значения вычисляются","Каждый шаг вниз делит на $2$, значения разные",""],"answer":[3]}},"hints":["$2^{-4}=\\frac1{16}$, $2^{-6}=\\frac1{64}$.","Чем больше знаменатель при той же единице в числителе, тем меньше дробь: $\\frac1{16}>\\frac1{64}$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Степени с нулевым и отрицательным показателем — продолжение лестницы степеней вниз. Без них не обойтись, когда речь идет об очень малых величинах: размерах клеток и молекул, массах частиц, долях секунды. В следующем уроке на этой лестнице появятся стандартный вид числа и порядок числа. Чтобы быстро вспомнить правило, представьте лестницу и спросите себя, в какую сторону и на сколько ступеней идти.

Часто задаваемые вопросы

Почему $2^{-3}$ не отрицательное число, ведь в записи есть минус?

Минус стоит в показателе, а показатель — номер ступени. Он говорит, что нужно идти вниз от единицы, то есть делить на $2$. Деление положительных чисел дает положительное число: $2^{-3}=\frac18$. Отрицательной степень может стать только при отрицательном основании и нечетном показателе.

Зачем вообще нужны отрицательные показатели, если можно писать дроби?

Запись $10^{-12}$ короче и нагляднее, чем $0{,}000000000001$: по показателю сразу видно, на сколько ступеней число ниже единицы. Кроме того, со степенями удобно считать: правила умножения и деления степеней, знакомые по 7 классу, остаются верными и для целых показателей — это тема одного из следующих уроков.

Чем отличаются $-5^{-2}$ и $(-5)^{-2}$?

В записи $(-5)^{-2}$ основание — число $-5$: $(-5)^{-2}=\frac1{25}$. В записи $-5^{-2}$ степень относится только к $5$, а минус стоит перед ней: $-5^{-2}=-\frac1{25}$. Сначала вычисляют степень, потом учитывают знак перед ней.

Почему нельзя вычислить $0^{-2}$?

По определению $0^{-2}=\frac1{0^2}=\frac10$, а на ноль делить нельзя. На лестнице это видно так: с первой ступени, где стоит $0$, нельзя шагнуть вниз, потому что пришлось бы делить на $0$.

Как быстро записать $10^{-n}$ десятичной дробью?

После запятой должно быть $n$ знаков, и последний из них — единица: $10^{-9}=0{,}000000001$, девять знаков. Каждый шаг вниз по лестнице числа $10$ сдвигает единицу на один знак вправо от запятой.

Награды за урок