8 класс Алгебра Степень с целым показателем Степень с целым показателем и ее свойства

Вычисления и преобразования со степенями

Содержание

В уроках «Степень с нулевым и целым отрицательным показателем», «Стандартный вид числа. Порядок числа» и «Свойства степени с целым показателем» вы узнали, что такое степень с целым показателем, как записывать числа в стандартном виде и какие свойства есть у степеней. В этом уроке соберем все вместе: научимся находить значения выражений со степенями, упрощать выражения с буквами, разберем две частые ловушки, научимся умножать и делить числа в стандартном виде и решим задачи с реальными величинами. Такие задания встречаются в ОГЭ и ВПР.

Начнем с вопроса из истории космонавтики. В августе 1989 года космический аппарат «Вояджер-2» пролетел возле Нептуна — самой далекой планеты Солнечной системы. Снимки, которые он передавал по радио, шли до Земли около четырех часов. Радиоволны распространяются со скоростью света — около $300\,000$ км в секунду. Почему же так долго? Ответим на этот вопрос в последнем разделе.

Вычисление — путь по одной лестнице

Найдем значение $\frac{25^{-1}}{5^{-3}}$ двумя способами. Первый — по определению: $25^{-1}=\frac1{25}$, $5^{-3}=\frac1{125}$, и $\frac1{25}:\frac1{125}=\frac{125}{25}=5$. Второй — заметить, что $25=5^{2}$. Тогда $25^{-1}=\left(5^{2}\right)^{-1}=5^{-2}$, и оба числа стоят на одной лестнице степеней основания $5$: на ступенях $-2$ и $-3$. Частное — это путь от ступени $-3$ до ступени $-2$: один шаг вверх, то есть умножение на $5$; частное равно $5^{1}=5$. Ответ тот же, а дробей не понадобилось.

Напомним, как устроена лестница. На ступени $0$ стоит $1$, шаг вверх — умножить на основание, шаг вниз — разделить на основание, номер ступени — показатель. Вычислить выражение со степенями одного основания — значит пройти путь по ступеням: умножение на $a^{n}$ — это $n$ шагов (вниз, если $n<0$), деление на $a^{n}$ — те же шаги в обратную сторону. Только в конце пути мы смотрим, какое число стоит на ступени.

План вычисления

Запишите все степени с одним основанием, то есть поставьте их на одну лестницу: $4=2^{2}$, $0{,}5=2^{-1}$, $9=3^{2}$, $27=3^{3}$.
Найдите номер итоговой ступени: при умножении показатели складывают, при делении вычитают, при возведении степени в степень перемножают.
В конце переведите степень в число.

Если основания нельзя привести к одному (например, $2$ и $3$), каждую степень вычисляют по определению, а затем действуют в обычном порядке: действия в скобках, степени, умножение и деление, сложение и вычитание.

Пример

1) Найдите значение выражения $\frac{9^{-2}\cdot27}{3^{-5}}$.

Решение. Все числа — степени тройки: $9^{-2}=\left(3^{2}\right)^{-2}=3^{-4}$, $27=3^{3}$. Путь по лестнице: старт на ступени $-4$; умножение на $3^{3}$ — три шага вверх, ступень $-1$; деление на $3^{-5}$ — пять шагов в обратную сторону, то есть вверх: $-1-(-5)=4$. Получаем $3^{4}=81$.

Проверка дробями: $\frac1{81}\cdot27=\frac13$, $\frac13:\frac1{243}=\frac{243}{3}=81$.

2) Найдите значение выражения $3^{-2}\cdot6-2^{-1}$.

Решение. Основания $3$ и $2$ к одному не приводятся, а между слагаемыми стоит минус, поэтому считаем числами по порядку действий. Сначала степени: $3^{-2}=\frac19$, $2^{-1}=\frac12$. Затем умножение: $\frac19\cdot6=\frac23$. Затем вычитание: $\frac23-\frac12=\frac46-\frac36=\frac16$.

Ответ: $81$; $\frac16$.

Вычисление дроби 9 в степени −2 на 27 на 3 в степени −5 как путь по лестнице степеней числа 3: старт на ступени −4, шаг вверх на 3 и на 5 ступеней, финиш на ступени 4, значение 81 — Путь по лестнице основания $3$: со ступени $-4$ три шага вверх и еще пять шагов вверх — ступень $4$, то есть $\frac{9^{-2}\cdot27}{3^{-5}}=3^{4}=81$

{"questions":[{"content":"[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$8^{-3}$","$\\left(\\frac12\\right)^{-4}$","$16^{2}$","$0{,}25^{3}$"],"items":["$2^{-9}$","$2^{4}$","$2^{8}$","$2^{-6}$","$2^{-4}$","$2^{6}$"]}},"instruction":"Соотнесите степень и ту же степень с основанием 2","hints":["Запишите основание степенью двойки: $8=2^{3}$, $\\frac12=2^{-1}$, $16=2^{4}$, $0{,}25=\\frac14=2^{-2}$.","Затем перемножьте показатели (степень степени): $3\\cdot(-3)=-9$, $(-1)\\cdot(-4)=4$, $4\\cdot2=8$, $(-2)\\cdot3=-6$.","Ответ: $8^{-3}=2^{-9}$, $\\left(\\frac12\\right)^{-4}=2^{4}$, $16^{2}=2^{8}$, $0{,}25^{3}=2^{-6}$. Степени $2^{-4}$ и $2^{6}$ лишние."],"step":1},{"content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{2^{-5}\\cdot8^{2}}{4^{-1}}$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Приведем к основанию $2$: $8^2=2^6$, $4^{-1}=2^{-2}$.","Показатели: $-5+6=1$, затем $1-(-2)=3$.","$2^3=8$. Ответ: $8$."],"step":1},{"content":"Найдите значение выражения $2^{-1}+4^{-1}$. Ответ запишите обыкновенной дробью. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["3/4","0,75","0.75"]}},"hints":["$2^{-1}=\\frac12$, $4^{-1}=\\frac14$.","$\\frac12+\\frac14=\\frac34$. Ответ: $\\frac34$."],"step":1}],"mix":1}

У каждой буквы своя лестница

В выражениях с буквами действуют те же свойства, только в ответе получается не число, а выражение. Обычно ответ просят записать без отрицательных показателей. Лестница подсказывает, как это сделать: шаг вниз — это деление, поэтому $b^{-1}=\frac1b$, и множитель с отрицательным показателем переходит в знаменатель с противоположным показателем.

Удобно считать, что у каждой буквы и у числового множителя своя лестница. Шаги буквы $a$ складываются только с шагами буквы $a$, шаги буквы $b$ — только с шагами $b$, а число вычисляется отдельно.

Порядок преобразования

Если есть скобка в степени, возведите в эту степень каждый множитель скобки, включая число: $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$, $\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}$.
Соберите степени одной буквы: при умножении показатели сложите, при делении вычтите.
Множители с отрицательным показателем перенесите в знаменатель (а из знаменателя — в числитель) с противоположным показателем: $a^{-n}=\frac1{a^{n}}$.

Три шага преобразования: показатель скобки −1 достается каждому множителю, получается 3 в степени −1 на a в квадрате на b в степени −1, отрицательные показатели уходят в знаменатель, ответ a в квадрате на 3b — Показатель $-1$ достается каждому множителю, затем отрицательные показатели уходят в знаменатель: $\left(3a^{-2}b\right)^{-1}=\frac{a^{2}}{3b}$

Пример

1) Запишите $\left(3a^{-2}b\right)^{-1}$ без отрицательных показателей ($a\ne0$, $b\ne0$).

Решение. Шаг 1: показатель $-1$ получает каждый множитель: $3^{-1}\cdot\left(a^{-2}\right)^{-1}\cdot b^{-1}=3^{-1}a^{2}b^{-1}$, так как $(-2)\cdot(-1)=2$. Шаг 2: одинаковых букв нет. Шаг 3: $3^{-1}$ и $b^{-1}$ уходят в знаменатель: $\frac{a^{2}}{3b}$.

Проверка при $a=2$, $b=1$: в скобке $3\cdot\frac14\cdot1=\frac34$, и $\left(\frac34\right)^{-1}=\frac43$; по ответу $\frac{2^{2}}{3\cdot1}=\frac43$. Совпало.

2) Упростите $\frac{x^{-3}y^{2}}{x^{2}y^{-1}}$ ($x\ne0$, $y\ne0$).

Решение. Шаг 2 для каждой буквы отдельно: для $x$ показатель $-3-2=-5$, для $y$ показатель $2-(-1)=3$. Получаем $x^{-5}y^{3}$. Шаг 3: $\frac{y^{3}}{x^{5}}$.

Ответ: $\frac{a^{2}}{3b}$; $\frac{y^{3}}{x^{5}}$.

{"questions":[{"content":"Упростите выражение $\\left(2a^{-1}b\\right)^{-2}$ так, чтобы в ответе не было отрицательных показателей ($a\\ne0$, $b\\ne0$).[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{a^{2}b^{2}}{4}$","$\\dfrac{4b^{2}}{a^{2}}$","$\\dfrac{a^{2}}{2b^{2}}$","$\\dfrac{a^{2}}{4b^{2}}$"],"explanations":["Множитель $b$ оказался в числителе, а $b^{-2}=\\frac1{b^2}$ должно стоять в знаменателе","Минус в показателе потерян: получилось $\\left(\\frac{2b}a\\right)^{2}$, а нужно $\\left(\\frac{2b}a\\right)^{-2}=\\frac{a^{2}}{4b^{2}}$","Двойка не возведена в степень: $2^{-2}=\\frac14$, а не $\\frac12$",""],"answer":[3]}},"hints":["Показатель $-2$ применяем к каждому множителю: $2^{-2}\\cdot a^{2}\\cdot b^{-2}$.","$2^{-2}=\\frac14$, $b^{-2}=\\frac1{b^2}$.","Итог: $\\frac{a^2}{4b^2}$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{x^{-4}y^{3}}{x^{-6}y^{5}}$ при $x=3$, $y=6$. Ответ запишите обыкновенной дробью. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["1/4","0,25","0.25"]}},"hints":["Сначала упростим: каждая буква — своя лестница. Для $x$: $-4-(-6)=2$; для $y$: $3-5=-2$.","Получаем $x^{2}y^{-2}=\\frac{x^{2}}{y^{2}}$.","При $x=3$, $y=6$: $\\frac{9}{36}=\\frac14$. Ответ: $\\frac14$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Свойства степени не работают для суммы

Свойство $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$ так удобно, что его хочется применить и к сумме. Проверим на числах $a=2$ и $b=3$. Для произведения: $(2\cdot3)^{-1}=6^{-1}=\frac16$ и $2^{-1}\cdot3^{-1}=\frac12\cdot\frac13=\frac16$ — совпало. Для суммы: $(2+3)^{-1}=5^{-1}=\frac15$, а $2^{-1}+3^{-1}=\frac12+\frac13=\frac56$ — не совпало, и разница большая.

Произведение раскладывается по лестницам: (2·3) в степени −1 равно 2 в степени −1 на 3 в степени −1, то есть одна шестая; сумма не раскладывается: (2+3) в степени −1 равно одной пятой, а не пяти шестым — Шаг вниз по лестнице $6$ — то же, что деление на $2$ и на $3$, поэтому $(2\cdot3)^{-1}=2^{-1}\cdot3^{-1}$. Для суммы такого правила нет: $(2+3)^{-1}=\frac15$, а $2^{-1}+3^{-1}=\frac56$

Ошибка

Решавр упрощает $(a+b)^{-1}$ и пишет $a^{-1}+b^{-1}$: «показатель достается каждому слагаемому, как каждому множителю».

Проверим числами при $a=2$, $b=3$: слева $(2+3)^{-1}=\frac15$, справа $\frac12+\frac13=\frac56$. Числа разные — равенство неверно.

Где ломается рассуждение. Шаг вниз по лестнице основания $6$ — это деление на $6$, а разделить на $6$ — то же, что разделить на $2$, а потом на $3$. Поэтому степень произведения раскладывается в произведение степеней. Шаг вниз по лестнице основания $5$ — это деление на $5$, и его нельзя заменить делением на $2$ и на $3$ со сложением результатов. Для суммы верно только определение: $(a+b)^{-1}=\frac1{a+b}$.

Почему равенство Решавра неверно при любых a и b (повышенный уровень)

Скрыть

Пусть $a\ne0$, $b\ne0$, $a+b\ne0$, и предположим, что $\frac1{a+b}=\frac1a+\frac1b$. Правая часть равна $\frac{a+b}{ab}$. Из равенства дробей $\frac1{a+b}=\frac{a+b}{ab}$ получаем $ab=(a+b)^{2}$, то есть $a^{2}+ab+b^{2}=0$.

Но $a^{2}+ab+b^{2}=\left(a+\frac b2\right)^{2}+\frac{3b^{2}}4$. Первое слагаемое не меньше нуля, второе больше нуля, так как $b\ne0$. Значит, сумма больше нуля и не может быть равна нулю. Противоречие: равенство $(a+b)^{-1}=a^{-1}+b^{-1}$ не выполняется ни при каких допустимых $a$ и $b$.

Вторая ловушка связана со скобками. Показатель за скобкой относится ко всему произведению, а показатель без скобок — только к букве, у которой он стоит. Сравним две записи при $a=2$.

Запись	Что возводится в степень $-2$	Значение при $a=2$
$(3a)^{-2}$	и число $3$, и буква $a$	$6^{-2}=\frac1{36}$
$3a^{-2}$	только буква $a$	$3\cdot\frac14=\frac34$

В интерактиве меняйте числа $a$ и $b$ и сравнивайте обе части каждого равенства. Найдите, при каких значениях $a$ и $b$ правая часть суммы ближе всего к левой. Во сколько раз она больше в лучшем случае?

vychisleniya-summa-ne-stupen

{"questions":[{"content":"Решавр записал: $(a+b)^{-1}=a^{-1}+b^{-1}$. Как показать, что это неверно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Равенство верно, его можно проверить на $a=b$","При $a=1$, $b=1$ слева $\\frac12$, справа $2$","Отрицательная степень не бывает у суммы","При $a=1$, $b=1$ обе части равны $2$"],"explanations":["На $a=b$ тоже не выполняется: $\\frac1{2a}\\ne\\frac2a$","","Бывает: $(a+b)^{-1}=\\frac1{a+b}$","Слева $(1+1)^{-1}=\\frac12$, а не $2$"],"answer":[1]}},"hints":["Проверим числами: $a=1$, $b=1$.","Левая часть: $(1+1)^{-1}=\\frac12$. Правая: $1^{-1}+1^{-1}=1+1=2$.","$\\frac12\\ne2$, значит, равенство неверно: свойство степени относится к произведению, не к сумме."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Распределите равенства по группам ($x\\ne0$, $y\\ne0$, $x\\ne y$, $x\\ne-y$).[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Верно при всех допустимых значениях","Неверно"],"items":[["$(xy)^{-3}=x^{-3}y^{-3}$","$\\left(\\frac xy\\right)^{-1}=\\frac yx$","$(4x)^{-1}=\\frac1{4x}$"],["$(x+y)^{-3}=x^{-3}+y^{-3}$","$(x-y)^{-1}=x^{-1}-y^{-1}$","$4x^{-1}=\\frac1{4x}$"]]}},"instruction":"Распределите равенства по группам","hints":["Свойства степени говорят о произведении и частном. Для суммы и разности таких свойств нет — проверьте числами, например $x=2$, $y=1$.","$(x+y)^{-3}$: слева $\\frac1{27}$, справа $\\frac18+1$; $(x-y)^{-1}$: слева $1$, справа $\\frac12-1$; $4x^{-1}=\\frac4x$, а не $\\frac1{4x}$: при $x=2$ это $2$ и $\\frac18$.","Ответ: верны $(xy)^{-3}=x^{-3}y^{-3}$, $\\left(\\frac xy\\right)^{-1}=\\frac yx$, $(4x)^{-1}=\\frac1{4x}$; остальные три неверны."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Решавр упростил выражение $\\left(2x^{-3}\\right)^{-2}$ так: $\\left(2x^{-3}\\right)^{-2}=2\\cdot\\left(x^{-3}\\right)^{-2}=2x^{6}$. Где ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["В первом переходе: число $2$ тоже возводится в степень $-2$","Во втором переходе: показатели надо сложить, будет $2x^{-5}$","Во втором переходе: знак показателя сохраняется, будет $2x^{-6}$","Ошибки нет: оба перехода верны"],"explanations":["","Это степень степени: показатели перемножают, $(-3)\\cdot(-2)=6$; второй переход верен","$(-3)\\cdot(-2)=6$ — плюс; проверка при $x=2$: $\\left(2^{-3}\\right)^{-2}=64=2^{6}$","При $x=1$ слева $(2\\cdot1)^{-2}=\\frac14$, а справа $2\\cdot1^{6}=2$"],"answer":[0]}},"hints":["Проверим числами при $x=1$: слева $(2\\cdot1)^{-2}=\\frac14$, справа $2\\cdot1=2$ — ошибка есть.","Показатель за скобкой относится к каждому множителю, в том числе к числу $2$: $2^{-2}\\cdot\\left(x^{-3}\\right)^{-2}$.","Ошибка в первом переходе: $2^{-2}=\\frac14$, верный ответ $\\frac{x^{6}}{4}$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Числа в стандартном виде перемножают по этажам

В уроке «Стандартный вид числа. Порядок числа» число в стандартном виде $a\cdot10^{n}$, где $1\le a<10$, мы представляли так: $n$ — номер этажа, $a$ — место на этаже. Этажи — это ступени лестницы основания $10$, поэтому при умножении номера этажей складываются, а при делении вычитаются. Множители $a$ и $b$ перемножают (или делят) отдельно — переставлять множители можно.

Есть одна тонкость: произведение множителей может оказаться $10$ или больше, а частное — меньше $1$. Тогда число еще не в стандартном виде, и его нужно вернуть на свой этаж.

Умножение и деление в стандартном виде

$$(a\cdot10^{m})\cdot(b\cdot10^{n})=ab\cdot10^{m+n},\qquad \frac{a\cdot10^{m}}{b\cdot10^{n}}=\frac ab\cdot10^{m-n}$$

Если новый множитель не меньше $10$, разделите его на $10$ и прибавьте $1$ к показателю (этаж выше). Если он меньше $1$, умножьте его на $10$ и вычтите $1$ из показателя (этаж ниже).

Шкала этажей: 2,5·10 в степени −3 на 6·10 в степени 8; этажи −3 и 8 складываются в этаж 5, множитель 15 не на своем этаже и переносится на этаж 6, итог 1,5·10 в степени 6 — Этажи складываются: $-3+8=5$; множитель $15$ не помещается на этаже $5$, поэтому число поднимается на этаж $6$: $15\cdot10^{5}=1{,}5\cdot10^{6}$

Пример

1) Найдите $(2{,}5\cdot10^{-3})\cdot(6\cdot10^{8})$ и запишите в стандартном виде.

Решение. Множители: $2{,}5\cdot6=15$. Этажи: $-3+8=5$. Получаем $15\cdot10^{5}$ — это не стандартный вид, так как $15\ge10$. Так как $15=1{,}5\cdot10$, получаем $1{,}5\cdot10^{6}$.

2) Найдите $(1{,}2\cdot10^{-4}):(4\cdot10^{3})$ и запишите в стандартном виде.

Решение. Множители: $1{,}2:4=0{,}3$. Этажи: $-4-3=-7$. Получаем $0{,}3\cdot10^{-7}$, но $0{,}3<1$. Так как $0{,}3=3\cdot10^{-1}$, получаем $3\cdot10^{-8}$.

Ответ: $1{,}5\cdot10^{6}$; $3\cdot10^{-8}$.

Важно

Сравнивать числа по показателю можно, только если оба записаны в стандартном виде. Например, у $0{,}5\cdot10^{5}$ показатель больше, чем у $8\cdot10^{4}$, но $0{,}5\cdot10^{5}=5\cdot10^{4}$, и это меньше, чем $8\cdot10^{4}$. Сначала верните оба числа на свои этажи, потом сравнивайте: больше то число, у которого этаж выше, а на одном этаже — то, у которого больше множитель.

{"questions":[{"content":"$(4\\cdot10^{6})\\cdot(5\\cdot10^{-9})=20\\cdot10^{-3}=$ [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$2\\cdot10^{-4}$","$2\\cdot10^{-3}$","$0{,}2\\cdot10^{-2}$","$2\\cdot10^{-2}$"],"answer":3}},"hints":["Множитель $20$ не меньше $10$ — запись еще не стандартная.","$20=2\\cdot10^{1}$, поэтому $20\\cdot10^{-3}=2\\cdot10^{1+(-3)}=2\\cdot10^{-2}$."],"step":1},{"content":"Найдите значение $\\dfrac{8\\cdot10^{5}}{4\\cdot10^{2}}$. Ответ запишите в обычном виде. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"2000"}},"hints":["Делим множители: $8:4=2$; показатели вычитаем: $5-2=3$.","$2\\cdot10^3=2000$. Ответ: $2000$."],"step":1},{"content":"Какое из чисел больше: $0{,}3\\cdot10^{-2}$ или $7\\cdot10^{-3}$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Сравнить нельзя","Они равны","$0{,}3\\cdot10^{-2}$","$7\\cdot10^{-3}$"],"explanations":["Можно: приведите запись к стандартному виду и сравните","Значения $0{,}003$ и $0{,}007$ разные","Сравнили показатели нестандартной записи: $0{,}3\\cdot10^{-2}=3\\cdot10^{-3}<7\\cdot10^{-3}$",""],"answer":[3]}},"hints":["Запись $0{,}3\\cdot10^{-2}$ не стандартная: $0{,}3\\cdot10^{-2}=3\\cdot10^{-3}$.","Порядки теперь одинаковы, $-3$; множитель $7$ больше $3$, поэтому $7\\cdot10^{-3}$ больше."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Задачи с реальными величинами решаются за пару шагов

Вернемся к вопросу из начала урока. Расстояние от Земли до Нептуна — около $4{,}5\cdot10^{9}$ км, то есть четыре с половиной миллиарда километров. Скорость света — около $3\cdot10^{5}$ км/с. Время находим, как в любой задаче на движение: расстояние делим на скорость. Числа уже в стандартном виде, поэтому деление сводится к переходу с этажа $9$ на этаж $9-5=4$.

Сигнал от Нептуна: расстояние 4,5·10 в степени 9 км делим на скорость 3·10 в степени 5 км/с, этажи вычитаются 9−5=4, 4,5:3=1,5, время 1,5·10 в степени 4 секунд, около 4 часов — Расстояние на этаже $9$, скорость на этаже $5$: время на этаже $9-5=4$, то есть $1{,}5\cdot10^{4}$ с — около четырех часов

Пример

1) Сколько времени идет радиосигнал от Нептуна до Земли, если расстояние равно $4{,}5\cdot10^{9}$ км, а скорость сигнала — $3\cdot10^{5}$ км/с?

Решение. $t=\frac{4{,}5\cdot10^{9}}{3\cdot10^{5}}=1{,}5\cdot10^{9-5}=1{,}5\cdot10^{4}$ с, то есть $15\,000$ с. В часе $3600$ с, и $15\,000:3600\approx4{,}2$ ч — около $4$ ч $10$ мин; с учетом округления это как раз около четырех часов. Именно поэтому снимки «Вояджера-2» шли до Земли около четырех часов: расстояние настолько велико, что даже свету нужно несколько часов.

2) Масса Солнца — около $2\cdot10^{30}$ кг, масса Земли — около $6\cdot10^{24}$ кг. Во сколько раз Солнце тяжелее Земли?

Решение. «Во сколько раз» — это деление: $\frac{2\cdot10^{30}}{6\cdot10^{24}}=\frac13\cdot10^{6}$. Множитель $\frac13\approx0{,}33$ меньше $1$, поэтому спускаемся на этаж ниже: $0{,}33\cdot10^{6}=3{,}3\cdot10^{5}$.

Ответ: около $1{,}5\cdot10^{4}$ с (около $4$ ч); примерно в $3{,}3\cdot10^{5}$ раз, то есть примерно в $330$ тысяч раз.

В таких задачах сначала запишите величины в стандартном виде и в одних единицах (километры или метры, секунды или часы), затем умножайте или делите по этажам, а ответ верните в стандартный вид. Если нужно, переведите его в привычные единицы, как мы перевели секунды в часы.

{"questions":[{"content":"Во сколько раз число $6\\cdot10^{7}$ больше числа $3\\cdot10^{4}$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"2000"}},"hints":["Делим: $\\frac{6\\cdot10^7}{3\\cdot10^4}=2\\cdot10^{3}$.","$2\\cdot10^3=2000$. Ответ: $2000$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Свет проходит примерно $3\\cdot10^{5}$ км за секунду. За сколько секунд свет пройдет $1{,}5\\cdot10^{8}$ км? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"500"}},"hints":["Время равно расстоянию, деленному на скорость: $\\frac{1{,}5\\cdot10^{8}}{3\\cdot10^{5}}$.","$1{,}5:3=0{,}5$, $10^{8-5}=10^3$; $0{,}5\\cdot10^3=500$. Ответ: $500$ с."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Вычисления со степенями нужны везде, где числа очень большие или очень маленькие: в физике, химии, астрономии, информатике. Все приемы урока — это пути по лестнице степеней.

Если сомневаетесь в преобразовании, подставьте вместо букв числа, например $2$ и $3$, и сравните обе части. Это быстро ловит обе ловушки урока.

Часто задаваемые вопросы

Зачем приводить степени к одному основанию, если можно сразу посчитать дробями?

Можно и дробями, ответ получится тот же. Но дроби вроде $\frac1{243}$ и $\frac1{729}$ легко перепутать, а с показателями работать проще: складывать и вычитать небольшие целые числа. Удобно решить через показатели, а проверить дробями.

Как понять, что основания можно привести к одному?

Запомните ряды степеней: $2$, $4$, $8$, $16$, $32$ — степени двойки; $3$, $9$, $27$, $81$ — степени тройки; $5$, $25$, $125$ — степени пятерки. Дроби тоже подходят: $0{,}5=2^{-1}$, $0{,}25=2^{-2}$, $\frac19=3^{-2}$, $0{,}01=10^{-2}$.

Можно ли упростить сумму $a^{-1}+b^{-1}$?

Можно, но не по свойствам степени, а как сумму дробей: $\frac1a+\frac1b=\frac{a+b}{ab}$. Проверка при $a=2$, $b=3$: $\frac12+\frac13=\frac56$ и $\frac{2+3}{2\cdot3}=\frac56$.

Почему ответ просят записать без отрицательных показателей?

Так принято: ответ в виде дроби с натуральными показателями легче сравнить с ответом в учебнике или в ключе. Запись $a^{2}b^{-1}$ тоже верна, если задание не требует другого вида. Перевести ее просто: $b^{-1}=\frac1b$, значит, $a^{2}b^{-1}=\frac{a^{2}}b$.

В учебнике физики скорость света — $3\cdot10^{8}$ м/с, а в уроке — $3\cdot10^{5}$ км/с. Где ошибка?

Ошибки нет, различаются единицы. В километре $1000=10^{3}$ метров, поэтому $3\cdot10^{5}$ км/с $=3\cdot10^{5}\cdot10^{3}$ м/с $=3\cdot10^{8}$ м/с. Перед вычислениями всегда приводите величины к одним единицам.

Награды за урок