Степень с целым показателем. Итоговый тест

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Решавр записал шесть равенств. Распределите их: какие верны, а в каких ошибка.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Верно","С ошибкой"],"items":[["$(-12)^0=1$","$-12^0=-1$","$12^0-(-12)^0=0$"],["$-12^0=1$","$12^0=0$","$0^0=1$"]]}},"instruction":"Распределите равенства по группам","hints":["Любое число, кроме нуля, в нулевой степени равно $1$: $12^0=1$ и $(-12)^0=1$ — минус в скобках входит в основание.","Минус без скобок стоит вне степени: $-12^0=-(12^0)=-1$, поэтому $-12^0=1$ — ошибка. А $12^0-(-12)^0=1-1=0$ верно.","$0^0$ не имеет смысла: шаг вниз от $0^1=0$ потребовал бы деления на $0$. Ошибки: $-12^0=1$, $12^0=0$, $0^0=1$."],"step":1},{"id":"1","content":"Решавр записал шесть равенств. Распределите их: какие верны, а в каких ошибка.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Верно","С ошибкой"],"items":[["$(-14)^0=1$","$-14^0=-1$","$-(-14)^0=-1$"],["$(-14)^0=-1$","$14^0=14$","$0^0=0$"]]}},"instruction":"Распределите равенства по группам","hints":["Любое число, кроме нуля, в нулевой степени равно $1$: $14^0=1$ и $(-14)^0=1$ — минус в скобках входит в основание.","Минус в скобках входит в основание: $(-14)^0=1$, поэтому $(-14)^0=-1$ — ошибка. Без скобок минус стоит вне степени: $-14^0=-1$ и $-(-14)^0=-1$ верно.","$0^0$ не имеет смысла: шаг вниз от $0^1=0$ потребовал бы деления на $0$. Ошибки: $(-14)^0=-1$, $14^0=14$, $0^0=0$."],"step":1},{"id":"2","content":"Решавр вычислил: $54\\cdot3^{-3}=54\\cdot(-9)=-486$. Чему на самом деле равно значение выражения?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-1458$","$-486$","$-2$","$2$"],"explanations":["Здесь $3^{-3}$ заменили на $-27$. Минус в показателе означает шаги вниз (деление), а не знак числа: $3^{-3}=\\frac1{27}$","Решавр умножил основание на показатель: $3\\cdot(-3)=-9$. Степень $3^{-3}$ — это дробь $\\frac1{27}$","Дробь $\\frac1{27}$ найдена верно, но знак лишний: основание $3$ положительно, и все его степени положительны",""],"answer":[3]}},"hints":["Проверьте $3^{-3}$ лестницей: от $3^0=1$ три шага вниз, каждый шаг — деление на $3$. Может ли получиться отрицательное число?","$3^{-3}=\\frac1{3^3}=\\frac1{27}$, а $-9=3\\cdot(-3)$ — произведение основания на показатель, а не степень.","$54\\cdot\\frac1{27}=54:27=2$. Ответ: $2$."],"step":1},{"id":"2","content":"Решавр вычислил: $48\\cdot4^{-2}=48\\cdot(-8)=-384$. Чему на самом деле равно значение выражения?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$-768$","$-384$","$3$","$-3$"],"explanations":["Здесь $4^{-2}$ заменили на $-16$. Минус в показателе означает шаги вниз (деление), а не знак числа: $4^{-2}=\\frac1{16}$","Решавр умножил основание на показатель: $4\\cdot(-2)=-8$. Степень $4^{-2}$ — это дробь $\\frac1{16}$","","Дробь $\\frac1{16}$ найдена верно, но знак лишний: основание $4$ положительно, и все его степени положительны"],"answer":[2]}},"hints":["Проверьте $4^{-2}$ лестницей: от $4^0=1$ два шага вниз, каждый шаг — деление на $4$. Может ли получиться отрицательное число?","$4^{-2}=\\frac1{4^2}=\\frac1{16}$, а $-8=4\\cdot(-2)$ — произведение основания на показатель, а не степень.","$48\\cdot\\frac1{16}=48:16=3$. Ответ: $3$."],"step":1},{"id":"3","content":"Решавр записал число $0{,}0038$ в стандартном виде: $0{,}0038=38\\cdot10^{-4}$. Что неверно и как правильно?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Множитель $38$ больше $10$; верно $3{,}8\\cdot10^{-3}$","Ошибки нет: $38\\cdot10^{-4}$ равно $0{,}0038$","Показатель должен быть положительным; верно $3{,}8\\cdot10^{3}$","Множитель должен быть меньше $1$; верно $0{,}38\\cdot10^{-2}$"],"explanations":["","Равенство верное, но это не стандартный вид: множитель должен быть не меньше $1$ и меньше $10$, а $38>10$","$3{,}8\\cdot10^{3}=3800$, а не $0{,}0038$: у чисел меньше $1$ показатель отрицательный","Равенство верное, но $0{,}38<1$: в стандартном виде множитель $a$ удовлетворяет $1\\le a<10$"],"answer":[0]}},"hints":["Стандартный вид — $a\\cdot10^n$, где $1\\le a<10$. Проверьте множитель у Решавра: $38$.","Равенство $0{,}0038=38\\cdot10^{-4}$ верное, но $38>10$. Сдвинем запятую в множителе на один знак влево: $38=3{,}8\\cdot10$, этаж стал на один выше: $-4+1=-3$.","Верно: $0{,}0038=3{,}8\\cdot10^{-3}$, порядок числа $-3$."],"step":1},{"id":"3","content":"Решавр записал число $0{,}00029$ в стандартном виде: $0{,}00029=29\\cdot10^{-5}$. Что неверно и как правильно?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Показатель должен быть положительным; верно $2{,}9\\cdot10^{4}$","Ошибки нет: $29\\cdot10^{-5}$ равно $0{,}00029$","Множитель $29$ больше $10$; верно $2{,}9\\cdot10^{-4}$","Множитель должен быть меньше $1$; верно $0{,}29\\cdot10^{-3}$"],"explanations":["$2{,}9\\cdot10^{4}=29\\,000$, а не $0{,}00029$: у чисел меньше $1$ показатель отрицательный","Равенство верное, но это не стандартный вид: множитель должен быть не меньше $1$ и меньше $10$, а $29>10$","","Равенство верное, но $0{,}29<1$: в стандартном виде множитель $a$ удовлетворяет $1\\le a<10$"],"answer":[2]}},"hints":["Стандартный вид — $a\\cdot10^n$, где $1\\le a<10$. Проверьте множитель у Решавра: $29$.","Равенство $0{,}00029=29\\cdot10^{-5}$ верное, но $29>10$. Сдвинем запятую в множителе на один знак влево: $29=2{,}9\\cdot10$, этаж стал на один выше: $-5+1=-4$.","Верно: $0{,}00029=2{,}9\\cdot10^{-4}$, порядок числа $-4$."],"step":1},{"id":"4","content":"Соотнесите число и его порядок.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$0{,}0907$","$90{,}7$","$9070$"],"items":["$-2$","$1$","$3$","$-1$","$4$"]}},"instruction":"Соотнесите число и его порядок","hints":["Порядок — показатель $n$ в стандартном виде $a\\cdot10^n$, $1\\le a<10$. Запишите каждое число в стандартном виде: например, $31{,}6=3{,}16\\cdot10^{1}$, порядок $1$.","$0{,}0907$: запятую сдвигаем вправо на $2$ знака до первой ненулевой цифры — порядок $-2$, а не $-1$ (нулей после запятой $1$, но шагов $2$). $9070$: запятую сдвигаем влево на $3$ знака — порядок $3$, на единицу меньше числа цифр ($4$).","Ответ: $0{,}0907$ — $-2$, $90{,}7$ — $1$, $9070$ — $3$."],"step":1},{"id":"4","content":"Соотнесите число и его порядок.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$0{,}00508$","$50{,}8$","$508\\,000$"],"items":["$-3$","$1$","$5$","$-2$","$6$"]}},"instruction":"Соотнесите число и его порядок","hints":["Порядок — показатель $n$ в стандартном виде $a\\cdot10^n$, $1\\le a<10$. Запишите каждое число в стандартном виде: например, $31{,}6=3{,}16\\cdot10^{1}$, порядок $1$.","$0{,}00508$: запятую сдвигаем вправо на $3$ знака до первой ненулевой цифры — порядок $-3$, а не $-2$ (нулей после запятой $2$, но шагов $3$). $508\\,000$: запятую сдвигаем влево на $5$ знаков — порядок $5$, на единицу меньше числа цифр ($6$).","Ответ: $0{,}00508$ — $-3$, $50{,}8$ — $1$, $508\\,000$ — $5$."],"step":1},{"id":"5","content":"Решавр записал: $x^{-3}\\cdot x^{-7}=x^{21}$. Найдите ошибку и выберите верный результат: $x^{-3}\\cdot x^{-7}=$ [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$x^{21}$","$x^{-10}$","$x^{10}$","$x^{4}$"],"answer":1}},"hints":["На лестнице $x^{-3}$ — три шага вниз от единицы, умножение на $x^{-7}$ — еще семь шагов вниз. Шаги идут подряд, их число складывается.","$(-3)+(-7)=-10$. Решавр перемножил показатели: $(-3)\\cdot(-7)=21$ — так поступают только со степенью степени.","Ответ: $x^{-10}$."],"step":1},{"id":"5","content":"Решавр записал: $c^{-5}\\cdot c^{-3}=c^{15}$. Найдите ошибку и выберите верный результат: $c^{-5}\\cdot c^{-3}=$ [[fill_choice-2]]","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$c^{-2}$","$c^{15}$","$c^{8}$","$c^{-8}$"],"answer":3}},"hints":["На лестнице $c^{-5}$ — пять шагов вниз от единицы, умножение на $c^{-3}$ — еще три шага вниз. Шаги идут подряд, их число складывается.","$(-5)+(-3)=-8$. Решавр перемножил показатели: $(-5)\\cdot(-3)=15$ — так поступают только со степенью степени.","Ответ: $c^{-8}$."],"step":1},{"id":"6","content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{x^{-3}}{x^{-5}}$ при $x=4$. Ответ запишите обыкновенной дробью или целым числом. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"16"}},"hints":["Деление степеней с одним основанием: показатели вычитают, $\\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}$. Из какого показателя вычитаем какой?","$-3-(-5)=-3+5=2$: вычесть отрицательное — значит прибавить.","$x^{2}$ при $x=4$: $16$. Ответ: $16$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{y^{-6}}{y^{-2}}$ при $y=2$. Ответ запишите обыкновенной дробью или целым числом. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["1/16","0,0625","0.0625"]}},"hints":["Деление степеней с одним основанием: показатели вычитают, $\\frac{y^m}{y^n}=y^{m-n}$. Из какого показателя вычитаем какой?","$-6-(-2)=-6+2=-4$: вычесть отрицательное — значит прибавить.","$y^{-4}$ при $y=2$: $\\frac{1}{16}$. Ответ: $\\frac{1}{16}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Соотнесите выражение и результат.[[matcher-3]]","widgets":{"matcher-3":{"type":"matcher","labels":["$\\left(a^{-3}\\right)^{2}$","$\\left(a^{-3}\\right)^{-2}$","$\\left(a^{2}\\right)^{-1}$"],"items":["$a^{-6}$","$a^{6}$","$a^{-2}$","$a^{-1}$","$a^{-5}$"]}},"instruction":"Соотнесите выражение и результат","hints":["Степень степени: показатели перемножают, а не складывают. Например, $\\left(a^{-3}\\right)^{2}$ — это $2$ раза по $3$ шага вниз.","Знак произведения: «минус на плюс» — минус, «минус на минус» — плюс. Первая пара: $(-3)\\cdot2=-6$. Остальные — так же.","Ответ: $\\left(a^{-3}\\right)^{2}=a^{-6}$, $\\left(a^{-3}\\right)^{-2}=a^{6}$, $\\left(a^{2}\\right)^{-1}=a^{-2}$."],"step":1},{"id":"7","content":"Соотнесите выражение и результат.[[matcher-4]]","widgets":{"matcher-4":{"type":"matcher","labels":["$\\left(b^{-4}\\right)^{2}$","$\\left(b^{-4}\\right)^{-2}$","$\\left(b^{5}\\right)^{-1}$"],"items":["$b^{-8}$","$b^{8}$","$b^{-5}$","$b^{-2}$","$b^{-6}$"]}},"instruction":"Соотнесите выражение и результат","hints":["Степень степени: показатели перемножают, а не складывают. Например, $\\left(b^{-4}\\right)^{2}$ — это $2$ раза по $4$ шага вниз.","Знак произведения: «минус на плюс» — минус, «минус на минус» — плюс. Первая пара: $(-4)\\cdot2=-8$. Остальные — так же.","Ответ: $\\left(b^{-4}\\right)^{2}=b^{-8}$, $\\left(b^{-4}\\right)^{-2}=b^{8}$, $\\left(b^{5}\\right)^{-1}=b^{-5}$."],"step":1},{"id":"8","content":"Решавр вычислил: $\\left(3^{-1}+6^{-1}\\right)^{-1}=3+6=9$. Чему на самом деле равно значение выражения?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$9$","$2$","$\\frac{1}{2}$","$\\frac1{9}$"],"explanations":["Это ответ Решавра: показатель $-1$ отнесен к каждому слагаемому. Проверка: в скобке $\\frac1{3}+\\frac1{6}=\\frac{1}{2}$, а $\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{-1}=2\\ne9$","","$\\frac{1}{2}$ — значение суммы в скобке; показатель $-1$ ее еще переворачивает","Это $(3+6)^{-1}$: в скобке стоят не числа $3$ и $6$, а дроби $\\frac1{3}$ и $\\frac1{6}$"],"answer":[1]}},"hints":["Можно ли отнести показатель $-1$ к каждому слагаемому? Так поступают только с множителями: $(mk)^{-1}=m^{-1}k^{-1}$. Для суммы верно лишь определение: $(m+k)^{-1}=\\frac1{m+k}$.","Сначала скобка: $3^{-1}+6^{-1}=\\frac1{3}+\\frac1{6}=\\frac{1}{2}$.","$\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{-1}$ — перевернутая дробь: $2$. Ответ: $2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Решавр вычислил: $\\left(4^{-1}+12^{-1}\\right)^{-1}=4+12=16$. Чему на самом деле равно значение выражения?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$16$","$3$","$\\frac1{16}$","$\\frac{1}{3}$"],"explanations":["Это ответ Решавра: показатель $-1$ отнесен к каждому слагаемому. Проверка: в скобке $\\frac1{4}+\\frac1{12}=\\frac{1}{3}$, а $\\left(\\frac{1}{3}\\right)^{-1}=3\\ne16$","","Это $(4+12)^{-1}$: в скобке стоят не числа $4$ и $12$, а дроби $\\frac1{4}$ и $\\frac1{12}$","$\\frac{1}{3}$ — значение суммы в скобке; показатель $-1$ ее еще переворачивает"],"answer":[1]}},"hints":["Можно ли отнести показатель $-1$ к каждому слагаемому? Так поступают только с множителями: $(mk)^{-1}=m^{-1}k^{-1}$. Для суммы верно лишь определение: $(m+k)^{-1}=\\frac1{m+k}$.","Сначала скобка: $4^{-1}+12^{-1}=\\frac1{4}+\\frac1{12}=\\frac{1}{3}$.","$\\left(\\frac{1}{3}\\right)^{-1}$ — перевернутая дробь: $3$. Ответ: $3$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Клеозавр выписал из справочника: площадь Танзании — около $95\\cdot10^{4}$ км², площадь Киргизии — около $2\\cdot10^{5}$ км². Решавр сравнил: $95\\cdot10^{4}<2\\cdot10^{5}$, потому что показатель $4$ меньше $5$. Что верно?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Решавр прав: $95\\cdot10^{4}=9{,}5\\cdot10^{4}<2\\cdot10^{5}$","Решавр прав: $4<5$","Запись $95\\cdot10^{4}$ не стандартная: $9{,}5\\cdot10^{5}>2\\cdot10^{5}$","$95\\cdot10^{4}$ больше в $95:2$ раз"],"explanations":["Запятую в множителе сдвинули, а этаж не подняли: $95\\cdot10^{4}=9{,}5\\cdot10^{5}$, а не $9{,}5\\cdot10^{4}$ — множитель уменьшили в $10$ раз, значит, показатель растет на $1$","Показатели сравнивают только у чисел в стандартном виде, а у $95\\cdot10^{4}$ множитель $95>10$: это $9{,}5\\cdot10^{5}$","","Множители разделили, а степени $10$ разные — их тоже надо учесть: на самом деле в $4{,}75$ раза"],"answer":[2]}},"hints":["Сравнивать по порядку можно только числа в стандартном виде $a\\cdot10^n$, где $1\\le a<10$. Приведите к нему оба числа.","$95\\cdot10^{4}=9{,}5\\cdot10^{5}$ — этаж на один выше. Теперь порядки равны: $5$ и $5$. Сравните множители.","$9{,}5>2$, значит, $95\\cdot10^{4}>2\\cdot10^{5}$ (проверка: $950\\,000>200\\,000$). Решавр ошибся."],"step":1},{"id":"9","content":"Клеозавр выписал из справочника: длина семиточечной божьей коровки — около $72\\cdot10^{-4}$ м, длина рыжего лесного муравья — около $5\\cdot10^{-3}$ м. Решавр сравнил: $72\\cdot10^{-4}<5\\cdot10^{-3}$, потому что показатель $-4$ меньше $-3$. Что верно?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Решавр прав: $-4<-3$","$72\\cdot10^{-4}$ больше в $72:5$ раз","Запись $72\\cdot10^{-4}$ не стандартная: $7{,}2\\cdot10^{-3}>5\\cdot10^{-3}$","Решавр прав: $72\\cdot10^{-4}=7{,}2\\cdot10^{-4}<5\\cdot10^{-3}$"],"explanations":["Показатели сравнивают только у чисел в стандартном виде, а у $72\\cdot10^{-4}$ множитель $72>10$: это $7{,}2\\cdot10^{-3}$","Множители разделили, а степени $10$ разные — их тоже надо учесть: на самом деле в $1{,}44$ раза","","Запятую в множителе сдвинули, а этаж не подняли: $72\\cdot10^{-4}=7{,}2\\cdot10^{-3}$, а не $7{,}2\\cdot10^{-4}$ — множитель уменьшили в $10$ раз, значит, показатель растет на $1$"],"answer":[2]}},"hints":["Сравнивать по порядку можно только числа в стандартном виде $a\\cdot10^n$, где $1\\le a<10$. Приведите к нему оба числа.","$72\\cdot10^{-4}=7{,}2\\cdot10^{-3}$ — этаж на один выше. Теперь порядки равны: $-3$ и $-3$. Сравните множители.","$7{,}2>5$, значит, $72\\cdot10^{-4}>5\\cdot10^{-3}$ (проверка: $0{,}0072>0{,}005$). Решавр ошибся."],"step":1},{"id":"10","content":"Вычислите $(4a^{-1}b)^{-2}$, если $a=2$ и $b=3$. В ответ впишите обыкновенную дробь. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"1/36"}},"hints":["Показатель $-2$ относится ко всем трем множителям в скобке: $(4a^{-1}b)^{-2}=4^{-2}a^{2}b^{-2}$. Можно и сначала подставить числа в скобку — главное, возвести в степень всю скобку, а не только букву.","Подставляем: $4\\cdot2^{-1}\\cdot3=\\frac{12}{2}=6$.","$6^{-2}=\\frac1{6^2}=\\frac{1}{36}$. Ответ: $\\frac{1}{36}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Вычислите $(6a^{-1}b)^{-2}$, если $a=4$ и $b=2$. В ответ впишите обыкновенную дробь. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"1/9"}},"hints":["Показатель $-2$ относится ко всем трем множителям в скобке: $(6a^{-1}b)^{-2}=6^{-2}a^{2}b^{-2}$. Можно и сначала подставить числа в скобку — главное, возвести в степень всю скобку, а не только букву.","Подставляем: $6\\cdot4^{-1}\\cdot2=\\frac{12}{4}=3$.","$3^{-2}=\\frac1{3^2}=\\frac{1}{9}$. Ответ: $\\frac{1}{9}$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>