Степень с целым отрицательным показателем

В этом уроке мы познакомимся со степенями с нулевым и целым отрицательным показателем.

Степень с нулевым показателем

На первый взгляд, $a^0$ выглядит как обычная степень. Мы знаем, что степень — это произведение числа, умноженного само на себя несколько раз. Но нельзя сказать, что число умножается само на себя ноль раз.

Чтобы понять, почему $a^0=1$, если $a\neq0$, вспомним правило деления степеней с одинаковым основанием: $$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}.$$

Если $n=m$, то: $$a^{n-m}=a^0.$$

Также при $n=m$ мы можем сказать, что $$\frac{a^n}{a^m}=1.$$

Значит, чтобы правило работало, примем по определению:

$a^0=1$, если $a\neq0$.

{"questions":[{"content":"Какое из следующих равенств верно при $a\\neq0$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$a^0=0$","$\\frac{a^3}{a^3}=0$","$\\frac{a^5}{a^5}=a^0$","$a^0=a$"],"answer":[2]}}}]}

Степень с отрицательным показателем

Сайты загружаются за сотые доли секунды, вспышка на телефоне срабатывает за одну миллиардную долю секунды, а аромат кофе можно почувствовать даже тогда, когда концентрация вещества в воздухе составляет всего одну миллионную грамма на литр.

Все эти значения можно записать с помощью обыкновенных или десятичных дробей. Например, вспышка срабатывает за $\frac{1}{1000000000}$ секунды, а аромат кофе можно почувствовать, когда концентрация вещества в воздухе составляет всего $0,000001$ грамма на литр. Но такие числа неудобно использовать в вычислениях и они сложны в записи.

Примем по определению:

Если $a\neq0$ и $n$ — целое положительное число, то $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}.$$

Тогда мы можем сказать, что вспышка на телефоне срабатывает за $10^{-9}$ секунды, а концентрация вещества в воздухе составляет $10^{-6}$ грамма на литр.

Выражения $0^{-n}$ при целом положительном $n$ и $0^0$ не имеют смысла — им не приписывают никакого значения.

Пример

Замените дробь $\frac{1}{6^7}$ степенью с отрицательным показателем.

Показать решение

Скрыть

Пример

Вычислите $(-\frac{2}{3})^{-3}$.

Показать решение

Скрыть

Пример

Представьте числа

$$\frac{1}{81},\;\frac{1}{27},\;\frac{1}{9},\;\frac{1}{3},\;1,\;3,\;9,\;27,\;81$$

в виде степеней с основанием $3$.

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Представьте числа $$100;\\;10;\\;1;\\;0,1;\\;0,001;\\;0,0001$$ в виде степеней с основанием $10$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$10^2;\\;10^1;\\;10^0;\\;10^{-1};\\;10^{-3};\\;10^{-4}$","$10^2;\\;10^1;\\;10^0;\\;10^{-1};\\;10^{-2};\\;10^{-3}$","$10^2;\\;10^1;\\;10^{-1};\\;10^{-2};\\;10^{-3};\\;10^{-4}$"],"answer":[0]}}}]}

Часто задаваемые вопросы