Вычисления и преобразования со степенями

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{2^{-4}\\cdot32}{4^{-2}}$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"32"}},"hints":["Приведем к основанию $2$: $32=2^5$, $4^{-2}=2^{-4}$.","Показатели: $-4+5=1$, $1-(-4)=5$.","$2^5=32$. Ответ: $32$."],"step":1},{"id":"1","content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{4^{-1}\\cdot8^{2}}{2^{-3}}$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"128"}},"hints":["Приведем к основанию $2$: $4^{-1}=2^{-2}$, $8^2=2^6$.","Показатели: $-2+6=4$, $4-(-3)=7$.","$2^7=128$. Ответ: $128$."],"step":1},{"id":"2","content":"Найдите значение выражения $7^{0}+2^{-4}+4^{-2}$. Ответ запишите обыкновенной дробью. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":["9/8","1,125","1.125"]}},"hints":["Нулевая степень любого числа, кроме нуля, равна $1$; $a^{-n}=\\frac1{a^{n}}$.","$7^{0}=1$, $2^{-4}=\\frac1{16}$, $4^{-2}=\\frac1{4^{2}}=\\frac1{16}$.","Складываем: $\\frac{9}{8}$. Ответ: $\\frac{9}{8}$."],"step":1},{"id":"2","content":"Найдите значение выражения $7^{0}+2^{-3}+8^{-1}$. Ответ запишите обыкновенной дробью. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":["5/4","1,25","1.25"]}},"hints":["Нулевая степень любого числа, кроме нуля, равна $1$; $a^{-n}=\\frac1{a^{n}}$.","$7^{0}=1$, $2^{-3}=\\frac1{2^{3}}=\\frac18$, $8^{-1}=\\frac18$.","Складываем: $\\frac{5}{4}$. Ответ: $\\frac{5}{4}$."],"step":1},{"id":"3","content":"Запишите выражение без отрицательных показателей ($a\\ne0$, $b\\ne0$): $\\left(5a^{-2}b^{3}\\right)^{-1}=$ [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$\\dfrac{5b^{3}}{a^{2}}$","$\\dfrac{a^{2}}{5b^{3}}$","$\\dfrac{5a^{2}}{b^{3}}$","$\\dfrac{a^{2}b^{3}}{5}$"],"answer":1}},"hints":["Показатель $-1$ достается каждому множителю, и числу $5$ тоже: $\\left(5a^{-2}b^{3}\\right)^{-1}=5^{-1}a^{2}b^{-3}$.","Множители с отрицательным показателем уходят в знаменатель: $5^{-1}=\\frac1{5}$. Ответ: $\\dfrac{a^{2}}{5b^{3}}$."],"step":1},{"id":"3","content":"Запишите выражение без отрицательных показателей ($x\\ne0$, $y\\ne0$): $\\left(2x^{3}y^{-4}\\right)^{-1}=$ [[fill_choice-2]]","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$\\dfrac{y^{4}}{2x^{3}}$","$\\dfrac{2y^{4}}{x^{3}}$","$\\dfrac{2x^{3}}{y^{4}}$","$\\dfrac{1}{2x^{3}y^{4}}$"],"answer":0}},"hints":["Показатель $-1$ достается каждому множителю, и числу $2$ тоже: $\\left(2x^{3}y^{-4}\\right)^{-1}=2^{-1}x^{-3}y^{4}$.","Множители с отрицательным показателем уходят в знаменатель: $2^{-1}=\\frac1{2}$. Ответ: $\\dfrac{y^{4}}{2x^{3}}$."],"step":1},{"id":"4","content":"Чему равно $(4a)^{-2}$ при $a\\ne0$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\dfrac1{16a^{2}}$","$16a^{2}$","$\\dfrac1{4a^{2}}$","$\\dfrac{4}{a^{2}}$"],"explanations":["","Минус в показателе потерян: $4^{-2}=\\frac1{16}$, а не $16$","Коэффициент возведен в степень неверно: $4^{-2}=\\frac1{16}$, а не $\\frac1{4}$","Показатель отнесен только к $a$, а $4$ остался в числителе"],"answer":[0]}},"hints":["Показатель относится к обоим множителям: $(4a)^{-2}=4^{-2}\\cdot a^{-2}$.","$4^{-2}=\\frac1{16}$, $a^{-2}=\\frac1{a^2}$. Ответ: $\\frac1{16a^2}$."],"step":1},{"id":"4","content":"Чему равно $(5b)^{-2}$ при $b\\ne0$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$25b^{2}$","$\\dfrac1{5b^{2}}$","$\\dfrac{5}{b^{2}}$","$\\dfrac1{25b^{2}}$"],"explanations":["Минус в показателе потерян: $5^{-2}=\\frac1{25}$, а не $25$","Коэффициент возведен в степень неверно: $5^{-2}=\\frac1{25}$, а не $\\frac1{5}$","Показатель отнесен только к $b$, а $5$ остался в числителе",""],"answer":[3]}},"hints":["Показатель относится к обоим множителям: $(5b)^{-2}=5^{-2}\\cdot b^{-2}$.","$5^{-2}=\\frac1{25}$, $b^{-2}=\\frac1{b^2}$. Ответ: $\\frac1{25b^2}$."],"step":1},{"id":"5","content":"Соотнесите выражение и его значение в стандартном виде.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$(2\\cdot10^{3})\\cdot(4\\cdot10^{-5})$","$(8\\cdot10^{3}):(2\\cdot10^{-5})$","$(6\\cdot10^{-4}):(2\\cdot10^{-1})$"],"items":["$8\\cdot10^{-2}$","$4\\cdot10^{8}$","$3\\cdot10^{-3}$","$8\\cdot10^{-15}$","$4\\cdot10^{-2}$","$3\\cdot10^{-5}$"]}},"instruction":"Соотнесите выражение и результат","hints":["При умножении множители перемножают, показатели складывают; при делении множители делят, показатели вычитают.","$2\\cdot4=8$, $3+(-5)=-2$; $8:2=4$, $3-(-5)=8$; $6:2=3$, $-4-(-1)=-3$.","Ошибки-ловушки: $8\\cdot10^{-15}$ — показатели перемножили, $4\\cdot10^{-2}$ — при делении сложили, $3\\cdot10^{-5}$ — при делении сложили."],"step":1},{"id":"5","content":"Соотнесите выражение и его значение в стандартном виде.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$(3\\cdot10^{-2})\\cdot(3\\cdot10^{6})$","$(6\\cdot10^{5}):(3\\cdot10^{-2})$","$(8\\cdot10^{-3}):(4\\cdot10^{-7})$"],"items":["$9\\cdot10^{4}$","$2\\cdot10^{7}$","$2\\cdot10^{4}$","$9\\cdot10^{-12}$","$2\\cdot10^{3}$","$2\\cdot10^{-10}$"]}},"instruction":"Соотнесите выражение и результат","hints":["При умножении множители перемножают, показатели складывают; при делении множители делят, показатели вычитают.","$3\\cdot3=9$, $-2+(6)=4$; $6:3=2$, $5-(-2)=7$; $8:4=2$, $-3-(-7)=4$.","Ошибки-ловушки: $9\\cdot10^{-12}$ — показатели перемножили, $2\\cdot10^{3}$ и $2\\cdot10^{-10}$ — при делении сложили."],"step":1},{"id":"6","content":"Даны числа $A=9\\cdot10^{-2}$ и $B=3\\cdot10^{-5}$. Найдите частное $A:B$ и запишите его целым числом. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"3000"}},"hints":["$A:B=\\frac{9}{3}\\cdot10^{-2-(-5)}=3\\cdot10^{3}$.","$3\\cdot10^{3}=3000$. Ответ: $3000$."],"step":1},{"id":"6","content":"Даны числа $A=45\\cdot10^{2}$ и $B=9\\cdot10^{-1}$. Найдите частное $A:B$ и запишите его целым числом. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"5000"}},"hints":["$A:B=\\frac{45}{9}\\cdot10^{2-(-1)}=5\\cdot10^{3}$.","$5\\cdot10^{3}=5000$. Ответ: $5000$."],"step":1},{"id":"7","content":"Решавр вычислил $(2+6)^{-1}$ так: $(2+6)^{-1}=2^{-1}+6^{-1}=\\frac1{2}+\\frac1{6}=\\frac{2}{3}$. Найдите ошибку.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Во втором переходе: $2^{-1}=-2$ и $6^{-1}=-6$","Ошибки нет, ответ $\\frac{2}{3}$ верен","В последнем переходе: дроби сложены неверно","В первом переходе: показатель отнесен к каждому слагаемому"],"explanations":["Второй переход верен: $2^{-1}=\\frac1{2}$, отрицательный показатель дает дробь, а не отрицательное число","Сначала считают сумму в скобках: $2+6=8$, и $8^{-1}=\\frac1{8}\\ne\\frac{2}{3}$","Дроби сложены верно: $\\frac1{2}+\\frac1{6}=\\frac{2}{3}$; ошибка сделана раньше",""],"answer":[3]}},"hints":["Проверим порядок действий: сначала выполняется действие в скобках, $(2+6)^{-1}=8^{-1}$.","$8^{-1}=\\frac1{8}$, а у Решавра получилось $\\frac{2}{3}$ — ответы разные.","Ошибка в первом переходе: показатель степени нельзя отнести к каждому слагаемому. Верный ответ $\\frac1{8}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Решавр вычислил $(3+5)^{-2}$ так: $(3+5)^{-2}=3^{-2}+5^{-2}=\\frac1{9}+\\frac1{25}=\\frac{34}{225}$. Найдите ошибку.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["В первом переходе: показатель отнесен к каждому слагаемому","Во втором переходе: $3^{-2}=-9$ и $5^{-2}=-25$","Ошибки нет, ответ $\\frac{34}{225}$ верен","В последнем переходе: дроби сложены неверно"],"explanations":["","Второй переход верен: $3^{-2}=\\frac1{9}$, отрицательный показатель дает дробь, а не отрицательное число","Сначала считают сумму в скобках: $3+5=8$, и $8^{-2}=\\frac1{64}\\ne\\frac{34}{225}$","Дроби сложены верно: $\\frac1{9}+\\frac1{25}=\\frac{34}{225}$; ошибка сделана раньше"],"answer":[0]}},"hints":["Проверим порядок действий: сначала выполняется действие в скобках, $(3+5)^{-2}=8^{-2}$.","$8^{-2}=\\frac1{64}$, а у Решавра получилось $\\frac{34}{225}$ — ответы разные.","Ошибка в первом переходе: показатель степени нельзя отнести к каждому слагаемому. Верный ответ $\\frac1{64}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Вычислите произведение $(8\\cdot10^{3})(5\\cdot10^{-7})$ и запишите результат десятичной дробью. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":["0,004","0.004"]}},"hints":["Множители: $8\\cdot5=40$; степени: $10^{3}\\cdot10^{-7}=10^{-4}$.","$40\\cdot10^{-4}=4\\cdot10^{-3}=0{,}004$. Ответ: $0{,}004$."],"step":1},{"id":"8","content":"Вычислите произведение $(6\\cdot10^{-2})(5\\cdot10^{-3})$ и запишите результат десятичной дробью. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":["0,0003","0.0003"]}},"hints":["Множители: $6\\cdot5=30$; степени: $10^{-2}\\cdot10^{-3}=10^{-5}$.","$30\\cdot10^{-5}=3\\cdot10^{-4}=0{,}0003$. Ответ: $0{,}0003$."],"step":1},{"id":"9","content":"Какое из чисел наибольшее?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$7\\cdot10^{-4}$","$0{,}8\\cdot10^{-2}$","$5\\cdot10^{-3}$","$9\\cdot10^{-5}$"],"explanations":["Порядок $-4$ меньше порядка $-3$, который у чисел $5\\cdot10^{-3}$ и $0{,}8\\cdot10^{-2}=8\\cdot10^{-3}$","","Запись $0{,}8\\cdot10^{-2}$ не стандартная: она равна $8\\cdot10^{-3}$, а $8\\cdot10^{-3}>5\\cdot10^{-3}$","Множитель самый большой, но порядок $-5$ самый малый: $9\\cdot10^{-5}=0{,}00009$"],"answer":[1]}},"hints":["Приведем нестандартную запись к стандартной: $0{,}8\\cdot10^{-2}=8\\cdot10^{-3}$.","Наибольший порядок $-3$ — у $8\\cdot10^{-3}$ и $5\\cdot10^{-3}$; множитель $8$ больше $5$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Какое из чисел наибольшее?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$2\\cdot10^{5}$","$90\\cdot10^{3}$","$6\\cdot10^{4}$","$25\\cdot10^{4}$"],"explanations":["Запись $25\\cdot10^{4}$ не стандартная: она равна $2{,}5\\cdot10^{5}$, а $2{,}5\\cdot10^{5}>2\\cdot10^{5}$","Равно $9\\cdot10^{4}$: порядок $4$ меньше $5$","Порядок $4$ меньше порядка $5$, который у чисел $2\\cdot10^{5}$ и $25\\cdot10^{4}=2{,}5\\cdot10^{5}$",""],"answer":[3]}},"hints":["Приведем нестандартные записи к стандартным: $25\\cdot10^{4}=2{,}5\\cdot10^{5}$, $90\\cdot10^{3}=9\\cdot10^{4}$.","Наибольший порядок $5$ — у $2{,}5\\cdot10^{5}$ и $2\\cdot10^{5}$; множитель $2{,}5$ больше $2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Автомобиль движется со скоростью $2\\cdot10^{1}$ м/с в течение $3\\cdot10^{4}$ с. Какое расстояние он проедет? Ответ дайте в километрах. [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"600"}},"hints":["Расстояние: $2\\cdot10^{1}\\cdot3\\cdot10^{4}=6\\cdot10^{5}$ м.","В километре $10^3$ м: $6\\cdot10^{5}:10^{3}=6\\cdot10^{2}=600$. Ответ: $600$ км."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Масса одной бактерии равна $2\\cdot10^{-12}$ г. Какова общая масса $5\\cdot10^{6}$ таких бактерий? Ответ дайте в миллиграммах, запишите десятичной дробью. [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":["0,01","0.01"]}},"hints":["Масса: $2\\cdot10^{-12}\\cdot5\\cdot10^{6}=10\\cdot10^{-6}=10^{-5}=0{,}00001$ г.","В грамме $1000$ мг: $0{,}00001\\cdot10^{3}=0{,}01$. Ответ: $0{,}01$ мг."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>