Свойства степени с целым показателем

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Соотнесите выражение ($x\\ne0$) и результат.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$x^{3}\\cdot x^{-5}$","$x^{3}:x^{-5}$","$\\left(x^{3}\\right)^{-5}$"],"items":["$x^{-2}$","$x^{8}$","$x^{-15}$","$x^{-8}$","$x^{2}$"]}},"instruction":"Соотнесите выражение и результат","hints":["Произведение — показатели складываем, частное — вычитаем, степень степени — перемножаем.","$3+(-5)=-2$, $3-(-5)=8$, $3\\cdot(-5)=-15$."],"step":1},{"id":"1","content":"Соотнесите выражение ($y\\ne0$) и результат.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$y^{-4}\\cdot y^{6}$","$y^{-4}:y^{6}$","$\\left(y^{-4}\\right)^{6}$"],"items":["$y^{2}$","$y^{-10}$","$y^{-24}$","$y^{10}$","$y^{-2}$"]}},"instruction":"Соотнесите выражение и результат","hints":["Произведение — показатели складываем, частное — вычитаем, степень степени — перемножаем.","$-4+6=2$, $-4-6=-10$, $-4\\cdot6=-24$."],"step":1},{"id":"2","content":"Найдите значение $6^{-2}:6^{-4}$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"36"}},"hints":["Показатели вычитаем: $-2-(-4)=2$.","$6^{2}=36$."],"step":1},{"id":"2","content":"Найдите значение $2^{-1}:2^{-6}$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"32"}},"hints":["Показатели вычитаем: $-1-(-6)=5$.","$2^{5}=32$."],"step":1},{"id":"3","content":"Найдите значение $\\left(2^{-2}\\right)^{-3}$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"64"}},"hints":["Показатели перемножаем: $(-2)\\cdot(-3)=6$.","$2^{6}=64$."],"step":1},{"id":"3","content":"Найдите значение $\\left(5^{-1}\\right)^{-2}$. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"25"}},"hints":["Показатели перемножаем: $(-1)\\cdot(-2)=2$.","$5^{2}=25$."],"step":1},{"id":"4","content":"Запишите произведение степенью: $2^{-5}\\cdot5^{-5}=$ [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$10^{-5}$","$10^{25}$","$10^{-10}$","$7^{-5}$"],"answer":0}},"hints":["Показатели одинаковые — основания перемножаем, показатель оставляем: $a^n\\cdot b^n=(ab)^n$.","$2\\cdot5=10$, значит, $2^{-5}\\cdot5^{-5}=10^{-5}$."],"step":1},{"id":"4","content":"Запишите произведение степенью: $4^{-3}\\cdot25^{-3}=$ [[fill_choice-2]]","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$100^{-3}$","$100^{9}$","$100^{-6}$","$29^{-3}$"],"answer":0}},"hints":["Показатели одинаковые — основания перемножаем, показатель оставляем: $a^n\\cdot b^n=(ab)^n$.","$4\\cdot25=100$, значит, $4^{-3}\\cdot25^{-3}=100^{-3}$."],"step":1},{"id":"5","content":"Решавр записал: $a^{-4}\\cdot a^{-3}=a^{12}$. Чему равно произведение?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$a^{12}$","$a^{-1}$","$a^{-7}$","$a^{7}$"],"explanations":["Показатели перемножили вместо сложения","Показатели вычли; произведение степеней — это сумма показателей","","Минус у итога потерян: оба показателя отрицательные"],"answer":[2]}},"hints":["Показатели при умножении складываются со знаками: $-4+(-3)=-7$.","$a^{-4}\\cdot a^{-3}=a^{-7}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Решавр записал: $b^{-6}\\cdot b^{-1}=b^{6}$. Чему равно произведение?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$b^{-7}$","$b^{7}$","$b^{6}$","$b^{-5}$"],"explanations":["","Минус у итога потерян: оба показателя отрицательные","Показатели перемножили вместо сложения","Показатели вычли; произведение степеней — это сумма показателей"],"answer":[0]}},"hints":["Показатели при умножении складываются со знаками: $-6+(-1)=-7$.","$b^{-6}\\cdot b^{-1}=b^{-7}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Упростите выражение $\\left(a^{-2}\\right)^{3}\\cdot a^{4}$.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$a^{-2}$","$a^{-24}$","$a^{5}$","$a^{2}$"],"explanations":["","Все показатели перемножены; произведение степеней — сумма","Показатели сложены, а степень степени — умножение","Знак итога потерян"],"answer":[0]}},"hints":["Сначала степень степени: показатели перемножаем.","$(-2)\\cdot3=-6$, затем $-6+4=-2$.","Ответ: $a^{-2}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Упростите выражение $\\left(b^{3}\\right)^{-2}\\cdot b^{9}$.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$b^{-54}$","$b^{-3}$","$b^{10}$","$b^{3}$"],"explanations":["Все показатели перемножены; произведение степеней — сумма","Знак итога потерян","Показатели сложены, а степень степени — умножение",""],"answer":[3]}},"hints":["Сначала степень степени: показатели перемножаем.","$3\\cdot(-2)=-6$, затем $-6+9=3$.","Ответ: $b^{3}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Решавр записал: $(3a)^{-2}=3a^{-2}$. В чем ошибка и как верно?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Показатель отнесен только к $a$; верно $\\dfrac1{9a^{2}}$","Дробь перевернута только у $3a^{2}$; верно $\\dfrac1{3a^{2}}$","Минус потерян; верно $-9a^{2}$","Ошибки нет: $(3a)^{-2}=3a^{-2}$"],"explanations":["","Показатель $-2$ действует и на $3$: $3^{-2}=\\frac1{9}$, а не $\\frac1{3}$","Отрицательный показатель дает дробь, а не отрицательное число","Проверка при $a=1$: слева $\\frac1{9}$, справа $3$"],"answer":[0]}},"hints":["Показатель относится к каждому множителю: $(3a)^{-2}=3^{-2}\\cdot a^{-2}$.","$3^{-2}=\\frac1{9}$, значит, $(3a)^{-2}=\\frac1{9a^2}$.","Проверка при $a=1$: $3^{-2}=\\frac1{9}$, а у Решавра получилось $3$."],"step":1},{"id":"7","content":"Решавр записал: $(7y)^{-2}=7y^{-2}$. В чем ошибка и как верно?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Минус потерян; верно $-49y^{2}$","Показатель отнесен только к $y$; верно $\\dfrac1{49y^{2}}$","Дробь перевернута только у $7y^{2}$; верно $\\dfrac1{7y^{2}}$","Ошибки нет: $(7y)^{-2}=7y^{-2}$"],"explanations":["Отрицательный показатель дает дробь, а не отрицательное число","","Показатель $-2$ действует и на $7$: $7^{-2}=\\frac1{49}$, а не $\\frac1{7}$","Проверка при $y=1$: слева $\\frac1{49}$, справа $7$"],"answer":[1]}},"hints":["Показатель относится к каждому множителю: $(7y)^{-2}=7^{-2}\\cdot y^{-2}$.","$7^{-2}=\\frac1{49}$, значит, $(7y)^{-2}=\\frac1{49y^2}$.","Проверка при $y=1$: $7^{-2}=\\frac1{49}$, а у Решавра получилось $7$."],"step":1},{"id":"8","content":"Найдите значение $4^{-2}\\cdot5^{-2}\\cdot10^{2}$. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":["1/4","0,25","0.25"]}},"hints":["$4^{-2}\\cdot5^{-2}=(4\\cdot5)^{-2}=20^{-2}$.","$20^{-2}\\cdot10^{2}=\\frac{100}{400}$.","Ответ: $\\frac14$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Найдите значение $2^{-2}\\cdot15^{-2}\\cdot6^{2}$. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":["1/25","0,04","0.04"]}},"hints":["$2^{-2}\\cdot15^{-2}=(2\\cdot15)^{-2}=30^{-2}$.","$30^{-2}\\cdot6^{2}=\\frac{36}{900}$.","Ответ: $\\frac1{25}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Чему равно $(-a)^{-4}$ при $a\\ne0$?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$a^{-4}$","$-a^{4}$","$a^{4}$","$-a^{-4}$"],"explanations":["","Потеряны и знак показателя, и четность","Знак показателя потерян: показатель отрицательный, получается дробь","Знак основания учтен неверно: показатель четный, минус исчезает, результат положительный"],"answer":[0]}},"hints":["Показатель $-4$ — четный: знак минус исчезает.","Ответ: $a^{-4}$."],"step":1},{"id":"9","content":"Чему равно $(-b)^{-5}$ при $b\\ne0$?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$-b^{-5}$","$b^{-5}$","$b^{5}$","$-b^{5}$"],"explanations":["","Знак основания учтен неверно: показатель нечетный, минус остается","Потеряны и знак показателя (нужна дробь), и минус основания (степень нечетная)","Знак показателя потерян: отрицательный показатель дает дробь"],"answer":[0]}},"hints":["Показатель $-5$ — нечетный: знак минус остается.","Ответ: $-b^{-5}$."],"step":1},{"id":"10","content":"При каком $n$ верно равенство $4^{n}\\cdot2^{-3}=2^{5}$? [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Приведем к основанию $2$: $4=2^{2}$.","$4^{n}=2^{2n}$, значит, $2n+(-3)=5$.","$2n=8$, $n=4$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"При каком $n$ верно равенство $8^{n}\\cdot2^{-4}=2^{5}$? [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Приведем к основанию $2$: $8=2^{3}$.","$8^{n}=2^{3n}$, значит, $3n+(-4)=5$.","$3n=9$, $n=3$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>