Свойства степени с целым показателем

В прошлом уроке мы познакомились со степенями с нулевым и целым отрицательным показателем. В этом уроке мы узнаем свойства степени с целым показателем.

Для степени с целым показателем справедливы все свойства степени с натуральным (целым положительным) показателем.

Свойства степени

Свойство 1

Для $a\neq0$ и любых целых $m$ и $n$:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

Докажем справедливость свойства для случая, когда показатели степени — целые отрицательные числа:

$$a^{-m}\cdot a^{-n}=\frac{1}{a^m}\cdot\frac{1}{a^n}=\frac{1}{a^{m+n}}=a^{-(m+n)}=a^{(-m)+(-n)}.$$

Свойство 2

Для $a\neq0$ и любых целых $m$ и $n$:

$a^m\div a^n=a^{m-n}$

Докажем справедливость свойства для случая, когда показатели степени — целые отрицательные числа:

$$a^{-m}\div a^{-n}=\frac{1}{a^m}\div\frac{1}{a^n}=\frac{1}{a^m}\cdot\frac{a^n}{1}=\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}=a^{(-m)-(-n)}.$$

Свойство 3

Для $a\neq0$ и любых целых $m$ и $n$:

$(a^m)^n=a^{mn}$

Докажем справедливость свойства для случая, когда показатели степени — целые отрицательные числа:

$$(a^{-m})^{-n}=\frac{1}{(a^{-m})^n}=\frac{1}{(\frac{1}{a^m})^n}=\frac{1}{\frac{1}{a^{mn}}}=a^{mn}.$$

Свойство 4

Для $a\neq0$, $b\neq0$ и любого целого $n$:

$(ab)^n=a^nb^n$

Докажем справедливость свойства для случая, когда показатель степени — целое отрицательное число:

$$(ab)^{-n}=\frac{1}{(ab)^n}=\frac{1}{a^{n}b^n}=\frac{1}{a^n}\cdot\frac{1}{b^n}=a^{-n}b^{-n}.$$

Свойство 5

Для $a\neq0$, $b\neq0$ и любого целого $n$:

$(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}$

Докажем справедливость свойства для случая, когда показатель степени — целое отрицательное число:

$$(\frac{a}{b})^{-n}=\frac{1}{(\frac{a}{b})^n}=\frac{1}{\frac{a^n}{b^n}}=\frac{b^n}{a^n}=\frac{a^{-n}}{b^{-n}}.$$

{"questions":[{"content":"Что происходит с показателями степеней при возведении степени в степень?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Показатели складываются","Показатели вычитаются","Показатели умножаются","Показатели остаются неизменными"],"answer":[2]}}}]}

Примеры

Пример

Найдите значение выражения

$$2^4\cdot2^{-3}.$$

Показать решение

Скрыть

Пример

Найдите значение выражения

$$5^{-3}\div5^{-3}.$$

Показать решение

Скрыть

Пример

Вычислите

$$(0,1^{-3})^{-1}.$$

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Вычислите $$(\\frac{1}{5})^2\\div(\\frac{1}{5})^4.$$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["25","1","5","$\\frac{1}{25}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Применим свойство степени с целым показателем $a^m\\div a^n=a^{m-n}$: $$(\\frac{1}{5})^2\\div(\\frac{1}{5})^4=(\\frac{1}{5})^{2-4}=(\\frac{1}{5})^{-2}.$$","Применим свойство степени с целым показателем $(\\frac{a}{b})^n=\\frac{a^n}{b^n}$: $$(\\frac{1}{5})^{-2}=\\frac{1}{(\\frac{1}{5})^2}=5^2=25.$$"]}]}

Часто задаваемы вопросы