8 класс Алгебра Степень с целым показателем Степень с целым показателем и ее свойства

Свойства степени с целым показателем: правила, доказательство, ошибки

Содержание

В уроке «Степень с нулевым и целым отрицательным показателем» вы узнали, что $a^0=1$ и $a^{-n}=\frac1{a^n}$ при $a\ne0$, а в уроке «Стандартный вид числа. Порядок числа» записывали числа через степени $10$ с любым целым показателем. В 7 классе («Умножение и деление степеней. Нулевая степень», «Возведение в степень произведения и степени») вы вывели пять свойств степени, но только для натуральных показателей. В этом уроке проверим, что те же свойства верны для любых целых показателей, докажем это и научимся упрощать выражения вроде $\frac{x^{-4}}{x^{-7}}$ в одну строку — без перехода к дробям.

Начнем с вопроса из физики. Атом водорода имеет размер порядка $10^{-10}$ м, а его ядро — порядка $10^{-15}$ м. Во сколько раз атом больше ядра? Если записать оба числа десятичными дробями, то в них будет девять и четырнадцать нулей после запятой. Свойства степени ответят на вопрос одной строкой.

Шаги по лестнице складываются со знаками

Вычислим произведение $10^{-3}\cdot10^{5}$ двумя способами. По определению $10^{-3}=0{,}001$, $10^{5}=100\,000$, и $0{,}001\cdot100\,000=100=10^{2}$. А теперь сложим показатели, как в 7 классе: $-3+5=2$. Получилось то же самое: $10^{-3}\cdot10^{5}=10^{-3+5}=10^{2}$.

Объясним совпадение с помощью лестницы степеней. На ступени с номером $0$ стоит $a^0=1$. Шаг вверх — умножить на $a$, шаг вниз — разделить на $a$. Номер ступени — это показатель: на ступени $3$ стоит $a^3$, на ступени $-2$ стоит $a^{-2}$. Умножить на $a^{n}$ значит сделать $n$ шагов: вверх, если $n>0$, и вниз, если $n<0$. Поэтому из ступени $m$ мы попадаем на ступень $m+n$.

Умножение степеней — шаги по лестнице: 2 в степени 3 на 2 в степени −5 равно 2 в степени −2; 2 в степени −1 на 2 в степени −3 равно 2 в степени −4 — Умножить на $2^{-5}$ — пять шагов вниз: $2^{3}\cdot2^{-5}=2^{-2}$. Умножить на $2^{-3}$ — три шага вниз: $2^{-1}\cdot2^{-3}=2^{-4}$

Свойство 1

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются (со своими знаками), а основание остается тем же. Для любого $a\ne0$ и любых целых $m$ и $n$:

$$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$$

Пример

1) Найдите значение $5^{8}\cdot5^{-11}$.

Решение. Показатели складываем: $8+(-11)=-3$. Значит, $5^{8}\cdot5^{-11}=5^{-3}=\frac1{5^3}=\frac1{125}$. На лестнице: со ступени $8$ одиннадцать шагов вниз — ступень $-3$.

2) Упростите $y^{-4}\cdot y^{9}\cdot y^{-7}$.

Решение. Множителей три, шаги идут подряд: $-4+9+(-7)=-2$. Получаем $y^{-2}$.

Ответ: $\frac1{125}$; $y^{-2}$.

Ошибка

Решавр упрощает $b^{-2}\cdot b^{-4}$ и пишет $b^{8}$: «минус на минус дает плюс, $(-2)\cdot(-4)=8$». Другая частая ошибка — $b^{2}$, потому что $-2-(-4)=2$.

Проверим числами при $b=2$: $2^{-2}\cdot2^{-4}=\frac14\cdot\frac1{16}=\frac1{64}$. Но $2^{8}=256$, а $2^{2}=4$ — оба ответа неверны. Верно $\frac1{64}=2^{-6}$.

Где ломается рассуждение. При умножении степеней показатели не перемножают и не вычитают, а складывают со знаками: $-2+(-4)=-6$. На лестнице это видно сразу: два шага вниз, потом еще четыре вниз — мы оказываемся ниже, на ступени $-6$, а не поднимаемся вверх.

Ошибка: b в степени −2 на b в степени −4 равно b в степени −6, а не b в степени 8; проверка при b = 2 — Два шага вниз и еще четыре вниз приводят на ступень $-6$, а не на ступень $8$: $b^{-2}\cdot b^{-4}=b^{-6}$

{"questions":[{"content":"Решавр записал: $a^{-3}\\cdot a^{-2}=a^{6}$. Чему равно произведение на самом деле?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$a^{5}$","$a^{-1}$","$a^{-5}$","$a^{6}$"],"explanations":["Знаки показателей потеряны: оба показателя отрицательны","Показатели вычли: $-3-(-2)=-1$; при умножении степеней показатели складывают","","Показатели перемножили, а при умножении степеней их складывают; при $a=2$ получилось бы $64$, а нужно $\\frac1{32}$"],"answer":[2]}},"hints":["Проверка числами при $a=2$: $\\frac18\\cdot\\frac14=\\frac1{32}$.","Показатели складываются со знаками: $-3+(-2)=-5$.","$a^{-3}\\cdot a^{-2}=a^{-5}$; при $a=2$ это $\\frac1{32}$."],"step":1},{"content":"Найдите значение $5^{-6}\\cdot5^{4}$. Ответ запишите обыкновенной дробью. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["1/25","0,04","0.04"]}},"hints":["Со ступени $-6$ сделайте $4$ шага вверх по лестнице основания $5$.","Показатели складываются: $-6+4=-2$.","$5^{-6}\\cdot5^{4}=5^{-2}=\\frac1{25}$. Ответ: $\\frac1{25}$."],"step":1}],"mix":1}

Частное считает шаги между ступенями, а степень степени повторяет прыжок

Разделим $10^{-3}$ на $10^{-7}$: $0{,}001:0{,}000\,0001=10\,000=10^{4}$. Вычтем показатели: $-3-(-7)=4$. Снова совпадение. На лестнице частное $a^{m}:a^{n}$ отвечает на вопрос: сколько шагов нужно сделать от ступени $n$, чтобы попасть на ступень $m$? От ступени $-7$ до ступени $-3$ — четыре шага вверх, поэтому получилась степень $10^{4}$.

Теперь степень степени. Запись $\left(2^{-3}\right)^{2}$ значит $2^{-3}\cdot2^{-3}$: прыжок «три шага вниз» повторяется два раза, всего шесть шагов вниз, то есть $2^{-6}$. Шагов за прыжок $-3$, прыжков $2$ — показатели перемножаются: $(-3)\cdot2=-6$. Если число повторений отрицательное, прыжки идут в обратную сторону: $\left(2^{-1}\right)^{-3}=\frac1{\left(2^{-1}\right)^{3}}=\frac1{2^{-3}}=2^{3}$, и $(-1)\cdot(-3)=3$.

Частное — число шагов между ступенями: 10 в −3 на 10 в −7 равно 10 в 4; степень степени — повторенный прыжок: (2 в −3) в квадрате равно 2 в −6 — Частное — расстояние между ступенями: $10^{-3}:10^{-7}=10^{4}$. Степень степени — прыжок повторяется: $\left(2^{-3}\right)^{2}=2^{-6}$

Свойства 2 и 3

При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитают показатель делителя. При возведении степени в степень показатели перемножают. Для любого $a\ne0$ и любых целых $m$ и $n$:

$$a^{m}:a^{n}=a^{m-n},\qquad \left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}$$

Пример

1) Упростите $\frac{x^{-4}}{x^{-7}}$.

Решение. Дробная черта — это деление: $-4-(-7)=-4+7=3$. Значит, $\frac{x^{-4}}{x^{-7}}=x^{3}$. Проверка при $x=2$: $\frac{1}{16}:\frac{1}{128}=8=2^{3}$.

2) Упростите $\frac{\left(m^{-3}\right)^{2}}{m^{-9}}$.

Решение. Сначала степень степени: $\left(m^{-3}\right)^{2}=m^{-6}$. Затем частное: $-6-(-9)=3$. Получаем $m^{3}$.

3) Во сколько раз атом водорода ($10^{-10}$ м) больше его ядра ($10^{-15}$ м)? (вопрос из начала урока)

Решение. Чтобы узнать, во сколько раз одна величина больше другой, делим: $10^{-10}:10^{-15}=10^{-10-(-15)}=10^{5}$. Атом больше ядра порядка $10^{5}$ раз (по точным данным — около $60\,000$): от ступени $-15$ до ступени $-10$ пять шагов вверх.

Ответ: $x^{3}$; $m^{3}$; $10^{5}$.

{"questions":[{"content":"Для $a\\ne0$: $\\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{k}$, где показатель $k=$ [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$m:n$","$m-n$","$m+n$","$mn$"],"answer":1}},"hints":["При делении степеней с одним основанием показатели вычитают.","$\\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$."],"step":1},{"content":"Соотнесите выражение ($a\\ne0$) и результат.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$a^{2}\\cdot a^{-6}$","$a^{2}:a^{-6}$","$\\left(a^{2}\\right)^{-6}$"],"items":["$a^{-4}$","$a^{8}$","$a^{-12}$","$a^{-8}$","$a^{4}$"]}},"instruction":"Соотнесите выражение и результат","hints":["Произведение — шаги подряд: $2+(-6)$; частное — расстояние между ступенями: $2-(-6)$; степень степени — прыжок повторяется: $2\\cdot(-6)$.","$2+(-6)=-4$, $2-(-6)=8$, $2\\cdot(-6)=-12$.","Ответ: $a^{2}\\cdot a^{-6}=a^{-4}$, $a^{2}:a^{-6}=a^{8}$, $\\left(a^{2}\\right)^{-6}=a^{-12}$."],"step":1},{"content":"Решавр записал: $(a^{-2})^{3}=a^{-5}$. Чему равна степень?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$a^{-6}$","$a^{1}$","$a^{-5}$","$a^{6}$"],"explanations":["","Показатели сложили: $-2+3=1$; степень степени — умножение показателей","Показатели вычли с минусом, $-(2+3)$, или сложили модули; при возведении степени в степень показатели перемножают","Потеряли минус: показатель $-2$ отрицательный"],"answer":[0]}},"hints":["При возведении степени в степень показатели перемножаются.","$(-2)\\cdot3=-6$.","$(a^{-2})^3=a^{-6}$. Проверка при $a=2$: $\\left(\\frac14\\right)^3=\\frac1{64}=2^{-6}$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Показатель достается каждому множителю

Сравним $(2\cdot5)^{-2}$ и $2^{-2}\cdot5^{-2}$. Первое выражение равно $10^{-2}=\frac1{100}$. Второе: $\frac14\cdot\frac1{25}=\frac1{100}$. Значения равны. Здесь удобно представить три лестницы: с основанием $2$, с основанием $5$ и с основанием $10$. Если встать на ступень $-2$ на первых двух и перемножить числа, получится число со ступени $-2$ третьей лестницы.

Почему так. Шаг вниз на лестнице основания $2$ — это деление на $2$, на лестнице основания $5$ — деление на $5$. Два шага вниз на обеих лестницах делят произведение на $2\cdot5=10$ дважды, а два шага вниз по лестнице основания $10$ — это и есть деление на $10$ дважды. Поэтому ступень $-2$ третьей лестницы совпадает с произведением чисел со ступеней $-2$ первых двух.

Степень произведения: ступень −2 на лестницах 2, 5 и 10; (2·5) в степени −2 равно 2 в −2 на 5 в −2 — Ступень $-2$ на лестницах $2$ и $5$ дает ступень $-2$ на лестнице $10$: $(2\cdot5)^{-2}=2^{-2}\cdot5^{-2}$

Свойства 4 и 5

Чтобы возвести в степень произведение, возводят в эту степень каждый множитель. Чтобы возвести в степень дробь, возводят в эту степень числитель и знаменатель. Для $a\ne0$, $b\ne0$ и любого целого $n$:

$$(ab)^{n}=a^{n}b^{n},\qquad \left(\frac ab\right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}$$

Пример

1) Запишите $(2x)^{-3}$ без отрицательных показателей.

Решение. Показатель относится к обоим множителям: $(2x)^{-3}=2^{-3}\cdot x^{-3}=\frac18\cdot\frac1{x^{3}}=\frac1{8x^{3}}$.

2) Запишите $\left(\frac x3\right)^{-2}$ без отрицательных показателей.

Решение. $\left(\frac x3\right)^{-2}=\frac{x^{-2}}{3^{-2}}$. Так как $3^{-2}=\frac19$, а деление на $\frac19$ — умножение на $9$, получаем $\frac{9}{x^{2}}$.

Ответ: $\frac1{8x^{3}}$; $\frac9{x^{2}}$.

Ошибка

Пишут $(5c)^{-2}=5c^{-2}$, то есть возводят в степень только $c$. Проверим числами: при $c=1$ слева $5^{-2}=\frac1{25}$, а справа $5\cdot1=5$. Показатель за скобкой относится ко всему произведению, значит, к каждому множителю: $(5c)^{-2}=\frac1{25c^{2}}$. Запись $5c^{-2}$ без скобок означает другое: $5\cdot\frac1{c^{2}}$.

$c$	$(5c)^{-2}$	$5c^{-2}$	Совпало?
$1$	$\frac1{25}$	$5$	нет
$2$	$\frac1{100}$	$\frac54$	нет

Важно

Свойства 4 и 5 говорят о произведении и частном, но не о сумме. Например, $(1+3)^{-1}=\frac14$, а $1^{-1}+3^{-1}=1+\frac13=\frac43$. Подробнее об этой ловушке — в уроке «Вычисления и преобразования со степенями».

{"questions":[{"content":"Чему равно $(4y)^{-2}$ при $y\\ne0$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\dfrac1{4y^{2}}$","$4y^{-2}$","$\\dfrac1{16y^{2}}$","$-8y^{2}$"],"explanations":["Показатель при $4$ не применен: $4^{-2}=\\frac1{16}$, а не $\\frac14$","Показатель отнесли только к $y$; он относится к обоим множителям","","Показатель умножили на основание: так степень не вычисляется"],"answer":[2]}},"hints":["Степень произведения — произведение степеней: $(4y)^{-2}=4^{-2}\\cdot y^{-2}$.","$4^{-2}=\\frac1{16}$, значит, $(4y)^{-2}=\\frac1{16y^2}$."],"step":1},{"content":"Чему равно $\\left(\\dfrac{b}{3}\\right)^{-3}$ при $b\\ne0$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{3}{b^{3}}$","$\\dfrac{27}{b^{3}}$","$\\dfrac{b^{3}}{27}$","$-\\dfrac{b^{3}}{27}$"],"explanations":["Показатель отнесли только к $b$; степень дроби — степень числителя и знаменателя: $3^{-3}=\\frac1{27}$","","Знак показателя потерян: показатель $-3$ «переворачивает» дробь, получается $\\frac{3^3}{b^3}$","Минус показателя превратили в минус числа; отрицательный показатель — деление, а не смена знака"],"answer":[1]}},"hints":["Степень дроби: показатель относится и к числителю, и к знаменателю: $\\left(\\frac b3\\right)^{-3}=\\frac{b^{-3}}{3^{-3}}$.","$b^{-3}=\\frac1{b^3}$, $3^{-3}=\\frac1{27}$, поэтому $\\frac{b^{-3}}{3^{-3}}=\\frac{27}{b^{3}}$.","Ответ: $\\frac{27}{b^{3}}$."],"step":1}],"mix":1}

Совпадение на двух числах еще не доказательство

Решавр проверил свое правило $b^{-2}\cdot b^{-2}=b^{4}$ (показатели перемножены) при $b=1$ и $b=-1$. Оба раза равенство выполнилось. Значит ли это, что правило верно? Посмотрим на таблицу.

$b$	$b^{-2}\cdot b^{-2}$	$b^{4}$	$b^{-4}$
$1$	$1$	$1$	$1$
$-1$	$1$	$1$	$1$
$2$	$\frac1{16}$	$16$	$\frac1{16}$
$\frac12$	$16$	$\frac1{16}$	$16$

При $b=2$ и $b=\frac12$ правило Решавра ломается, а $b^{-4}$ совпадает с произведением во всех строках. Числа $1$ и $-1$ плохо подходят для проверки: при них многие разные степени равны. Одного числа, при котором равенство неверно, достаточно, чтобы его отвергнуть. Но никакое количество совпадений не доказывает равенство для всех $a$. Нужно доказательство.

Доказательство

Докажем свойство 1 для двух отрицательных показателей. Пусть $m=-p$, $n=-q$, где $p$ и $q$ — натуральные числа, $a\ne0$.

Шаг 1. По определению степени с отрицательным показателем $a^{-p}\cdot a^{-q}=\frac1{a^{p}}\cdot\frac1{a^{q}}$.

Шаг 2. Перемножаем дроби: $\frac1{a^{p}}\cdot\frac1{a^{q}}=\frac1{a^{p}\cdot a^{q}}$.

Шаг 3. Для натуральных показателей свойство уже доказано в 7 классе: $a^{p}\cdot a^{q}=a^{p+q}$, значит, получаем $\frac1{a^{p+q}}$.

Шаг 4. Снова по определению $\frac1{a^{p+q}}=a^{-(p+q)}=a^{(-p)+(-q)}=a^{m+n}$. Что и требовалось доказать.

Доказательство говорит то же, что лестница: отрицательный показатель — это деление, поэтому шаги вниз $p$ и $q$ складываются в $p+q$ шагов вниз. Остальные случаи и свойства доказываются так же — через определение и свойства для натуральных показателей.

Доказательство остальных случаев (повышенный уровень)

Скрыть

Свойство 1, разные знаки. Пусть $m=p$, $n=-q$, $p$ и $q$ натуральные. Тогда $a^{p}\cdot a^{-q}=\frac{a^{p}}{a^{q}}$. Если $p>q$, по свойству для натуральных показателей это $a^{p-q}$. Если $p<q$, сократим на $a^{p}$: $\frac1{a^{q-p}}=a^{-(q-p)}=a^{p-q}$. Если $p=q$, получаем $1=a^{0}$. Во всех случаях результат $a^{p+(-q)}=a^{m+n}$. Случай, когда один из показателей равен $0$, очевиден: $a^{m}\cdot a^{0}=a^{m}\cdot1=a^{m}$.

Свойство 2. Сначала заметим, что $\frac1{a^{n}}=a^{-n}$ для любого целого $n$: при $n=-q$ имеем $\frac1{a^{-q}}=1:\frac1{a^{q}}=a^{q}$. Тогда $a^{m}:a^{n}=a^{m}\cdot\frac1{a^{n}}=a^{m}\cdot a^{-n}=a^{m+(-n)}=a^{m-n}$ по свойству 1.

Свойство 3. Пусть $n=-q$. Тогда $\left(a^{m}\right)^{-q}=\frac1{\left(a^{m}\right)^{q}}$. Степень $\left(a^{m}\right)^{q}$ — произведение $q$ одинаковых множителей $a^{m}$, по свойству 1 она равна $a^{mq}$. Получаем $\frac1{a^{mq}}=a^{-mq}=a^{m\cdot(-q)}$. При натуральном $n$ рассуждение то же без дроби: $n$ множителей $a^{m}$ дают $a^{mn}$.

Свойства 4 и 5. При $n=-q$: $(ab)^{-q}=\frac1{(ab)^{q}}=\frac1{a^{q}b^{q}}=\frac1{a^{q}}\cdot\frac1{b^{q}}=a^{-q}b^{-q}$. Для дроби: $\left(\frac ab\right)^{-q}=\frac1{\left(\frac ab\right)^{q}}=\frac{b^{q}}{a^{q}}=\frac{a^{-q}}{b^{-q}}$, так как $a^{-q}:b^{-q}=\frac1{a^{q}}\cdot b^{q}$.

Проверьте себя в интерактиве: выберите ответ, зафиксируйте прогноз и посмотрите, как верное свойство и ошибка выглядят на лестнице и в числах.

svojstva-celyj-proverka

{"questions":[{"content":"Распределите равенства: какие верны при всех $a\\ne0$, а какие — нет.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Верно при всех допустимых значениях","Верно не всегда"],"items":[["$a^{-5}\\cdot a^{3}=a^{-2}$","$\\left(a^{-1}\\right)^{-4}=a^{4}$","$a^{-2}:a^{-7}=a^{5}$"],["$a^{-4}\\cdot a^{-2}=a^{8}$","$a^{-3}=-a^{3}$","$(2a)^{-1}=2a^{-1}$"]]}},"instruction":"Распределите равенства по группам","hints":["Верное свойство совпадает при любом основании; одного числа, при котором равенство ломается, достаточно, чтобы отвергнуть его.","Проверьте при $a=2$: $2^{-4}\\cdot2^{-2}=\\frac1{64}$, а $2^{8}=256$; $2^{-3}=\\frac18$, а $-2^{3}=-8$; $(2\\cdot2)^{-1}=\\frac14$, а $2\\cdot2^{-1}=1$.","Верны при всех $a\\ne0$: $a^{-5}\\cdot a^{3}=a^{-2}$, $\\left(a^{-1}\\right)^{-4}=a^{4}$, $a^{-2}:a^{-7}=a^{5}$; остальные три — нет."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"При каком условии верно равенство $a^{-2}=a^{2}$ ($a\\ne0$)?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Только при $a=1$","При любом $a\\ne0$","$a=1$ или $a=-1$","Только при $a=-1$"],"explanations":["$a=-1$ тоже подходит: $(-1)^{-2}=1=(-1)^2$","Например, при $a=2$: $\\frac14\\ne4$","","$a=1$ тоже подходит: $1^{-2}=1=1^{2}$"],"answer":[2]}},"hints":["$a^{-2}=\\frac1{a^2}$, равенство $\\frac1{a^2}=a^2$ дает $a^4=1$.","Подходят $a=1$ и $a=-1$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Расставьте шаги доказательства равенства $a^{-p}\\cdot a^{-q}=a^{-(p+q)}$ ($p$ и $q$ натуральные, $a\\ne0$) по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["По определению запишем каждый множитель дробью: $a^{-p}\\cdot a^{-q}=\\frac1{a^{p}}\\cdot\\frac1{a^{q}}$","Затем перемножим дроби: $\\frac1{a^{p}}\\cdot\\frac1{a^{q}}=\\frac1{a^{p}\\cdot a^{q}}$","Так как для натуральных показателей $a^{p}\\cdot a^{q}=a^{p+q}$, получим $\\frac1{a^{p+q}}$","Значит, по определению $\\frac1{a^{p+q}}=a^{-(p+q)}=a^{(-p)+(-q)}$"]}},"instruction":"Расставьте шаги по порядку","hints":["Сначала по определению отрицательной степени каждый множитель записывают дробью.","Затем дроби перемножают, и в знаменателе остается произведение степеней.","Для натуральных показателей свойство известно, поэтому знаменатель равен $a^{p+q}$.","Ответ: определение → произведение дробей → свойство для натуральных → определение."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

При отрицательном основании знак зависит от четности показателя

Построим лестницу для основания $-2$. На ступени $0$ стоит $1$. Шаг вверх — умножить на $-2$, шаг вниз — разделить на $-2$. При каждом шаге знак меняется: $\ldots,\ -\frac18,\ \frac14,\ -\frac12,\ 1,\ -2,\ 4,\ -8,\ \ldots$ Эти числа стоят на ступенях от $-3$ до $3$. На четных ступенях числа положительные, на нечетных — отрицательные, причем и выше нуля, и ниже.

Лестница числа −2 от ступени −3 до 3: чётный показатель даёт плюс, нечётный минус — У основания $-2$ каждый шаг меняет знак: на четных ступенях плюс, на нечетных минус — и при отрицательных показателях тоже

Правило знака

Для $a\ne0$ и целого $n$ степень $(-a)^{n}$ равна $a^{n}$, если $n$ четное, и равна $-a^{n}$, если $n$ нечетное:

$$(-a)^{2k}=a^{2k},\qquad (-a)^{2k+1}=-a^{2k+1}$$

Здесь $k$ — любое целое число.

Почему так: $(-a)^{-n}=\frac1{(-a)^{n}}$, а знак $(-a)^{n}$ при натуральном $n$ определяется четностью — это вы знаете с 7 класса. Дробь с числителем $1$ имеет тот же знак, что и знаменатель. Минус в показателе на знак не влияет: он лишь «переворачивает» число.

Пример

1) Найдите $(-10)^{-3}$.

Решение. Показатель $-3$ нечетный, знак минус остается: $(-10)^{-3}=-\frac1{10^{3}}=-0{,}001$.

2) Сравните $(-2)^{-2}$ и $-2^{-2}$.

Решение. В первой записи в степень возводят $-2$: показатель четный, $(-2)^{-2}=\frac14$. Во второй записи в степень возводят только $2$, а минус стоит перед степенью: $-2^{-2}=-\frac14$.

3) Упростите $(-y)^{-6}$ и $(-c)^{-3}$.

Решение. $-6$ — четное число, $(-y)^{-6}=y^{-6}$; $-3$ — нечетное, $(-c)^{-3}=-c^{-3}$.

Ответ: $-0{,}001$; $\frac14>-\frac14$; $y^{-6}$ и $-c^{-3}$.

{"questions":[{"content":"Решавр записал: $(-3)^{-3}=\\frac1{27}$ — «отрицательный показатель убирает минус». Чему равно $(-3)^{-3}$ на самом деле?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-27$","$27$","$\\frac1{27}$","$-\\frac1{27}$"],"explanations":["Показатель $-3$ означает деление: $\\frac1{(-3)^3}$, а $-27$ — это $(-3)^{3}$","Потеряны оба знака: и показателя (нужна дробь), и основания (степень нечетная)","Это ошибка Решавра: минус в показателе не убирает минус основания; $(-3)^3=-27$, и дробь $\\frac1{-27}$ отрицательна",""],"answer":[3]}},"hints":["По определению $(-3)^{-3}=\\frac1{(-3)^{3}}$: показатель $-3$ — три шага вниз по лестнице, то есть деление, а не смена знака.","Показатель $3$ нечетный: $(-3)^3=-27$.","$(-3)^{-3}=\\frac1{-27}=-\\frac1{27}$. Ответ: $-\\frac1{27}$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Найдите значение $(-2)^{-4}$. Ответ запишите обыкновенной дробью. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["1/16","0,0625","0.0625"]}},"hints":["$(-2)^{-4}=\\frac1{(-2)^4}$.","Показатель $4$ четный: $(-2)^4=16$.","Ответ: $\\frac1{16}$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Пять свойств степени, известные вам с 7 класса, верны для любых целых показателей при основании, не равном нулю. Их можно не заучивать как пять отдельных формул: все они читаются по лестнице степеней.

Если сомневаетесь в ответе, подставьте $a=2$ — не $1$ и не $-1$: при них многие разные степени равны. Эти свойства понадобятся в уроке «Вычисления и преобразования со степенями», в задании №8 ОГЭ и в физике, где величины записывают в стандартном виде, например $3\cdot10^{-5}$.

Часто задаваемые вопросы

Зачем доказывать свойства, если формулы те же, что в 7 классе?

В 7 классе степень была произведением одинаковых множителей, а $a^{-3}$ нельзя записать как «минус три множителя». Это новое определение, и заранее неизвестно, сохранятся ли старые свойства. Доказательство показывает, что определение $a^{-n}=\frac1{a^n}$ выбрано удачно: все пять свойств остаются верными.

Что делать, если основания разные, например $4^{-3}\cdot2^{5}$?

Приведите степени к одному основанию. Так как $4=2^{2}$, по свойству 3 $4^{-3}=\left(2^{2}\right)^{-3}=2^{-6}$. Тогда $2^{-6}\cdot2^{5}=2^{-1}=\frac12$.

Почему в свойствах всегда пишут $a e0$?

Выражения $0^{0}$ и $0^{-n}$ не имеют смысла: $0^{-2}$ означало бы $\frac1{0^{2}}$, а на ноль делить нельзя. У основания $0$ лестница обрывается: с нулевой ступени нельзя шагнуть вниз.

Можно ли сложить степени так же, как перемножить?

Нет, для суммы свойств нет. Например, $2^{-1}+2^{-1}=\frac12+\frac12=1=2^{0}$, а не $2^{-2}$. Складывать показатели можно только при умножении степеней с одинаковым основанием.

Как не перепутать, когда показатели складывать, а когда умножать?

Вспомните лестницу. Умножение степеней — шаги подряд: сначала $m$, потом еще $n$, показатели складываются. Степень степени — один и тот же прыжок повторяется $n$ раз, показатели перемножаются.

Награды за урок