Степень с целым показателем и ее свойства

Пройдите тест, чтобы проверить, насколько хорошо вы освоили степень с целым показателем и ее свойства. Вы потренируетесь вычислять степени с отрицательным показателем и применять свойства степени с целым показателем при преобразовании выражений.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"content":"Какое из следующих выражений не имеет смысла?[[choice-1]][[image-1937]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$0^0$","$2^0$","$-5^{-3}$","$(\\frac{1}{3})^{-1}$"],"explanations":["Выражению не приписывают никакого значения.","","",""],"answer":[0]},"image-1937":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/03/dinozavr-01.svg","width":"300"}},"id":"0"},{"content":"Чему равно $a^{-n}$, если $a\\neq0$?[[choice-14]][[image-2023]]","widgets":{"choice-14":{"type":"choice","options":["$\\frac{1}{a^n}$","$a^n$","$-a^n$","$1$"],"answer":[0]},"image-2023":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/v-ochkah-s-knigoi-kniga-tetrad-pishet-01-1.svg","width":"300"}},"id":"0"},{"content":"Замените степень с целым отрицательным показателем дробью $$(ab)^{-3}.$$[[choice-36]][[image-2096]]","widgets":{"choice-36":{"type":"choice","options":["$\\frac{1}{(ab)^3}$","$1$","$-(ab)^3$","$\\frac{1}{ab^3}$"],"answer":[0]},"image-2096":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/karandash-dva-dinozavra-01.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["Воспользуемся определением $a^{-n}=\\frac{1}{a^n}$.","$$(ab)^{-3}=\\frac{1}{(ab)^3}.$$"],"id":"1"},{"content":"Замените дробь степенью с отрицательным показателем $$\\frac{1}{7}.$$[[choice-78]][[image-2192]]","widgets":{"choice-78":{"type":"choice","options":["$7^{-1}$","$-7^1$","$70^{-1}$","$0,7^{-1}$"],"answer":[0]},"image-2192":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/dobryi-1-2.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Воспользуемся определением $a^{-n}=\\frac{1}{a^n}$.","$\\frac{1}{7}=7^{-1}$."],"id":"1"},{"content":"Вычислите $$12-(\\frac{1}{6})^{-1}.$$[[choice-144]][[image-2273]]","widgets":{"choice-144":{"type":"choice","options":["$6$","$2$","$11$","$47$"],"answer":[0]},"image-2273":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/obrazavr_piraty.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["Воспользуемся определением $a^{-n}=\\frac{1}{a^n}$.","$12-(\\frac{1}{6})^{-1}=12-\\frac{1}{\\frac{1}{6}}=12-6=6$."],"id":"2"},{"content":"Вычислите $$1,3^0-1,3^{-1}.$$[[choice-207]][[image-2358]]","widgets":{"choice-207":{"type":"choice","options":["$\\frac{3}{13}$","$\\frac{10}{13}$","$1,3$","$\\frac{3}{10}$"],"answer":[0]},"image-2358":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/obrazavr_bumerang.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["По определению $a^0=1$: $$1-1,3^{-1}.$$","Воспользуемся определением $a^{-n}=\\frac{1}{a^n}$: $$1-\\frac{1}{1,3}.$$","Преобразуем $1,3$ в обыкновенную дробь и упростим выражение: $$1-\\frac{1}{1\\frac{3}{10}}=1-\\frac{1}{\\frac{13}{10}}=1-\\frac{10}{13}=\\frac{13}{13}-\\frac{10}{13}=\\frac{3}{13}.$$"],"id":"2"},{"content":"Представьте в виде дроби выражение $$a^{-2}+b^{-2}.$$[[choice-295]][[image-2447]]","widgets":{"choice-295":{"type":"choice","options":["$\\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}$","$\\frac{1}{ab}$","$\\frac{1}{a^2b^2}$","$\\frac{1}{(a+b)^2}$"],"answer":[0]},"image-2447":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/10/sport-01.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["Воспользуемся определением $a^{-n}=\\frac{1}{a^n}$: $$a^{-2}+b^{-2}=\\frac{1}{a^2}+\\frac{1}{b^2}.$$","Найдем общий знаменатель: $a^2b^2$.","Приведем дроби к общему знаменателю: $$\\frac{1}{a^2}+\\frac{1}{b^2}=\\frac{b^2}{a^2b^2}+\\frac{a^2}{a^2b^2}=\\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}.$$"],"id":"3"},{"content":"Представьте в виде дроби выражение $$(a+b^{-1})(a^{-1}-b).$$[[choice-391]][[image-2563]]","widgets":{"choice-391":{"type":"choice","options":["$\\frac{1-a^2b^2}{ab}$","$\\frac{1}{ab}$","$\\frac{1-ab}{a^2b^2}$","$1$"],"answer":[0]},"image-2563":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/06/page-1.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["Раскроем скобки: $$(a+b^{-1})(a^{-1}-b)=a\\cdot a^{-1}-ab+b^{-1}a^{-1}-b^{-1}\\cdot b.$$","Упростим выражение: $$\\frac{a}{a}-ab+\\frac{1}{ab}-\\frac{b}{b}=\\cancel{1}-ab+\\frac{1}{ab}\\cancel{-1}=-ab+\\frac{1}{ab}.$$","Найдем общий знаменатель: $ab$.","Приведем дроби к общему знаменателю: $$-\\frac{ab\\cdot ab}{ab}+\\frac{1}{ab}=\\frac{-a^2b^2+1}{ab}=\\frac{1-a^2b^2}{ab}.$$"],"id":"3"},{"content":"Какой знак будет у показателя степени в выражении $(a^m)^n$ при $m>0$ и $n<0$?[[choice-477]][[image-2660]]","widgets":{"choice-477":{"type":"choice","options":["Положительный","Отрицательный","Если $m>n$, то положительный","Нельзя определить"],"answer":[1]},"image-2660":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/04/sportsmeny-otdyhayut.svg","width":"350"}},"id":"4"},{"content":"Когда при делении степеней с одинаковыми основаниями получается степень с показателем $0$?[[choice-617]][[image-2761]]","widgets":{"choice-617":{"type":"choice","options":["Показатели степеней равны","Показатели степеней равны по модулю, но противоположны по знаку","Основание меньше нуля","Основание равно нулю"],"answer":[0]},"image-2761":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/04/muzykalnyj-magazin-gitara-skripka-1-1.svg","width":"300"}},"id":"4"},{"content":"Найдите значение выражения $$10^8\\cdot10^{-5}\\cdot10^{-6}.$$[[choice-743]][[image-2866]]","widgets":{"choice-743":{"type":"choice","options":["$0,001$","$0,0001$","$10^{-4}$","$0,01$"],"answer":[0]},"image-2866":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/na-velike-velosiped-01-2-3.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Применим свойство степени с целым показателем $a^m\\cdot a^n=a^{m+n}$.","$10^8\\cdot10^{-5}\\cdot10^{-6}=10^{8+(-5)+(-6)}=10^{-3}=0,001$."],"id":"5"},{"content":"Вычислите $$4^{-8}\\div4^{-9}.$$[[choice-872]][[image-2975]]","widgets":{"choice-872":{"type":"choice","options":["$4$","$8$","$16$","$64$"],"answer":[0]},"image-2975":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/kuznecz-pech-pechka-ogon-1.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["Применим свойство степени с целым показателем $a^m\\div a^n=a^{m-n}$.","$4^{-8}\\div4^{-9}=4^{-8-(-9)}=4^1=4$."],"id":"5"},{"content":"Представьте выражение в виде степени с основанием $2$ и найдите его значение $$32\\cdot(2^{-4})^2.$$[[choice-1069]][[image-3088]]","widgets":{"choice-1069":{"type":"choice","options":["$\\frac{1}{8}$","$1$","$4$","$\\frac{1}{4}$"],"answer":[0]},"image-3088":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/11/igrayut-v-snezhki-snezhki-sneg-zima-1.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["Преобразуем выражение: $$32\\cdot(2^{-4})^2=2^5\\cdot(2^{-4})^2.$$","Применим свойство степени с целым показателем $(a^m)^n=a^{mn}$: $$2^5\\cdot(2^{-4})^2=2^5\\cdot2^{-4\\cdot2}=2^5\\cdot2^{-8}.$$","Применим свойство степени с целым показателем $a^m\\cdot a^n=a^{m+n}$: $$2^5\\cdot2^{-8}=2^{5+(-8)}=2^{-3}=\\frac{1}{2^3}=\\frac{1}{8}.$$"],"id":"6"},{"content":"Представьте выражение в виде степени с основанием $3$ и найдите его значение $$9^{-2}\\div3^{-6}.$$[[choice-1183]][[image-3205]]","widgets":{"choice-1183":{"type":"choice","options":["$9$","$3$","$3^{-2}$","$\\frac{1}{3}$"],"answer":[0]},"image-3205":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/11/italiya-3.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["Преобразуем выражение: $$9^{-2}\\div3^{-6}=(3^2)^{-2}\\div3^{-6}.$$","Применим свойство степени с целым показателем $(a^m)^n=a^{mn}$: $$(3^2)^{-2}\\div3^{-6}=3^{-4}\\div3^{-6}.$$","Применим свойство степени с целым показателем $a^m\\div a^n=a^{m-n}$: $$3^{-4}\\div3^{-6}=3^{-4-(-6)}=3^2=9.$$"],"id":"6"},{"content":"Преобразуйте выражение $$\\frac{26x^{17}}{y-8}\\cdot\\frac{y}{13x^{25}}.$$[[choice-1539]][[image-3326]]","widgets":{"choice-1539":{"type":"choice","options":["$\\frac{2y}{x^8(y-8)}$","$\\frac{2y}{y-8}$","$\\frac{y}{16}$","$\\frac{2y}{x^8}$"],"answer":[0]},"image-3326":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/personazh-igraet-s-sobakoj.svg","width":"348"}},"step":1,"hints":["Представим $26x^{17}$ как $(2\\cdot13x^{17})$ и $13x^{25}$ как $(13x^{17}x^8).$","Запишем выражение: $$\\frac{2\\cdot\\cancel{13x^{17}}}{y-8}\\cdot\\frac{y}{\\cancel{13x^{17}}x^8}=\\frac{2y}{x^8(y-8)}.$$"],"id":"7"},{"content":"Упростите выражение $$(\\frac{c^{-4}}{10a^5b^2})^{-2}\\cdot(5a^3bc^2)^{-2}.$$[[choice-1747]][[image-3482]]","widgets":{"choice-1747":{"type":"choice","options":["$4a^4b^2c^4$","$2a^2b$","$4a^4b^2c^2$","$4a^2b^4c^2$"],"answer":[0]},"image-3482":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/ozero-palatka-elki-les.svg","width":"350"}},"step":1,"hints":["Разложим знаменатель дроби и второй множитель, чтобы выполнить сокращение: $$\\frac{(c^{-4})^{-2}}{(2\\cdot5a^2a^3b\\cdot b)^{-2}}\\cdot(c^2)^{-2}\\cdot(5a^3b)^{-2}=\\frac{(c^{-4})^{-2}}{(2a^2b)^{-2}\\cancel{(5a^3b)^{-2}}}\\cdot(c^2)^{-2}\\cancel{(5a^3b)^{-2}}=\\frac{c^8c^{-4}}{(2a^2b)^{-2}}.$$","Преобразуем выражение: $$\\frac{c^8c^{-4}}{(2a^2b)^{-2}}=c^4(2a^2b)^2=4a^4b^2c^4.$$"],"id":"7"}],"mix":1}</textarea></pre></div>