Степень с нулевым и целым отрицательным показателем

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Найдите значение $7^{-2}$. Ответ запишите обыкновенной дробью. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"1/49"}},"hints":["$a^{-n}=\\frac1{a^n}$, значит, $7^{-2}=\\frac1{7^2}$.","$7^2=49$. Ответ: $\\frac1{49}$."],"step":1},{"id":"1","content":"Найдите значение $6^{-2}$. Ответ запишите обыкновенной дробью. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"1/36"}},"hints":["$a^{-n}=\\frac1{a^n}$, значит, $6^{-2}=\\frac1{6^2}$.","$6^2=36$. Ответ: $\\frac1{36}$."],"step":1},{"id":"2","content":"Запишите $10^{-7}$ десятичной дробью. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":["0,0000001","0.0000001"]}},"hints":["$10^{-7}=\\frac1{10^7}$: в знаменателе единица и 7 нулей.","После запятой 7 знаков, единица — на последнем месте. Ответ: $0{,}0000001$."],"step":1},{"id":"2","content":"Запишите $10^{-8}$ десятичной дробью. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":["0,00000001","0.00000001"]}},"hints":["$10^{-8}=\\frac1{10^8}$: в знаменателе единица и 8 нулей.","После запятой 8 знаков, единица — на последнем месте. Ответ: $0{,}00000001$."],"step":1},{"id":"3","content":"Поставьте знак сравнения: $5^{-2}$ [[fill_choice-1]] $5^{-3}$.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$=$","$>$","$<$"],"answer":1}},"hints":["$5^{-2}=\\frac1{25}$, $5^{-3}=\\frac1{125}$.","При одинаковом числителе больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Ответ: $5^{-2}>5^{-3}$."],"step":1},{"id":"3","content":"Поставьте знак сравнения: $3^{-4}$ [[fill_choice-2]] $3^{-3}$.","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$>$","$<$","$=$"],"answer":1}},"hints":["$3^{-4}=\\frac1{81}$, $3^{-3}=\\frac1{27}$.","При одинаковом числителе больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Ответ: $3^{-4}<3^{-3}$."],"step":1},{"id":"4","content":"Найдите значение $\\left(\\frac{3}{4}\\right)^{-2}$. Ответ запишите обыкновенной дробью. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"16/9"}},"hints":["Отрицательный показатель переворачивает дробь: $\\left(\\frac34\\right)^{-2}=\\left(\\frac43\\right)^2$.","$\\left(\\frac43\\right)^2=\\frac{16}{9}$. Ответ: $\\frac{16}{9}$."],"step":1},{"id":"4","content":"Найдите значение $\\left(\\frac{3}{5}\\right)^{-2}$. Ответ запишите обыкновенной дробью. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"25/9"}},"hints":["Отрицательный показатель переворачивает дробь: $\\left(\\frac35\\right)^{-2}=\\left(\\frac53\\right)^2$.","$\\left(\\frac53\\right)^2=\\frac{25}{9}$. Ответ: $\\frac{25}{9}$."],"step":1},{"id":"5","content":"Соотнесите степень и ее значение.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$2^{-3}$","$(-2)^{-3}$","$(-2)^{-2}$"],"items":["$\\frac{1}{8}$","$-\\frac{1}{8}$","$\\frac{1}{4}$","$-8$","$-6$"]}},"instruction":"Соотнесите степень и ее значение","hints":["Сначала дробь: $a^{-n}=\\frac1{a^n}$; минус в показателе не делает число отрицательным.","Знак дает основание: минус в скобках остается при нечетном показателе; минус без скобок стоит вне степени.","Ответ: $2^{-3}=\\frac{1}{8}$, $(-2)^{-3}=-\\frac{1}{8}$, $(-2)^{-2}=\\frac{1}{4}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Соотнесите степень и ее значение.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$4^{-2}$","$-4^{-2}$","$(-4)^{-1}$"],"items":["$\\frac{1}{16}$","$-\\frac{1}{16}$","$-\\frac{1}{4}$","$-8$","$-16$"]}},"instruction":"Соотнесите степень и ее значение","hints":["Сначала дробь: $a^{-n}=\\frac1{a^n}$; минус в показателе не делает число отрицательным.","Знак дает основание: минус в скобках остается при нечетном показателе; минус без скобок стоит вне степени.","Ответ: $4^{-2}=\\frac{1}{16}$, $-4^{-2}=-\\frac{1}{16}$, $(-4)^{-1}=-\\frac{1}{4}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Найдите значение выражения $-8^0+(-2)^0-(-3)^{-1}$. Ответ запишите обыкновенной дробью. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"1/3"}},"hints":["Минус перед степенью без скобок остается вне степени: $-a^0=-1$; в скобках $(-a)^0=1$.","$-8^0=-1$, $(-2)^0=1$, $(-3)^{-1}=\\frac1{-3}=-\\frac13$.","$-1+1-\\left(-\\frac13\\right)=\\frac13$. Ответ: $\\frac13$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Найдите значение выражения $-9^0-(-4)^0+(-2)^{-1}$. Ответ запишите обыкновенной дробью. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":["-5/2","-2,5","-2.5"]}},"hints":["Минус перед степенью без скобок остается вне степени: $-a^0=-1$; в скобках $(-a)^0=1$.","$-9^0=-1$, $(-4)^0=1$, $(-2)^{-1}=\\frac1{-2}=-\\frac12$.","$-1-1+\\left(-\\frac12\\right)=-\\frac52$. Ответ: $-\\frac52$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Решавр записал: $5^{-2}=-10$. В чем ошибка и каково верное значение?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Забыли перевернуть дробь; верно $25$","Минус в показателе — минус у числа; верно $-\\frac1{25}$","Основание умножили на показатель; верно $\\frac1{25}$","Ошибки нет: $5^{-2}=-10$"],"explanations":["Это значение $5^2$, а не $5^{-2}$","Минус в показателе не делает число отрицательным: все степени $5$ положительны","","Проверка лестницей: ступени вниз $1,\\ \\frac1{5},\\ldots$ положительны"],"answer":[2]}},"hints":["Проверьте лестницей: от $5^0=1$ два шага вниз, каждый — деление на $5$. Какой знак у результата?","$5^{-2}=\\frac1{5^2}=\\frac1{25}$, а $-10=5\\cdot(-2)$ — произведение, а не степень."],"step":1},{"id":"7","content":"Решавр записал: $4^{-3}=-12$. В чем ошибка и каково верное значение?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Минус в показателе — минус у числа; верно $-\\frac1{64}$","Забыли перевернуть дробь; верно $64$","Ошибки нет: $4^{-3}=-12$","Основание умножили на показатель; верно $\\frac1{64}$"],"explanations":["Минус в показателе не делает число отрицательным: все степени $4$ положительны","Это значение $4^3$, а не $4^{-3}$","Проверка лестницей: ступени вниз $1,\\ \\frac1{4},\\ldots$ положительны",""],"answer":[3]}},"hints":["Проверьте лестницей: от $4^0=1$ три шага вниз, каждый — деление на $4$. Какой знак у результата?","$4^{-3}=\\frac1{4^3}=\\frac1{64}$, а $-12=4\\cdot(-3)$ — произведение, а не степень."],"step":1},{"id":"8","content":"Решавр записал: $-6^0+2\\cdot(-6)^0=3$. В чем ошибка и каков верный ответ?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Обе степени равны $-1$; верно $-3$","Обе степени равны $0$; верно $0$","$-6^0$ равно $-1$, а не $1$; верно $1$","Ошибки нет: ответ $3$"],"explanations":["В скобках минус входит в основание, и $(-a)^0=1$; $-1$ дает только $-a^0$","Нулевая степень числа, не равного нулю, — это $1$, а не $0$","","Минус без скобок стоит вне степени: $-a^0=-1$, а не $1$"],"answer":[2]}},"hints":["Минус перед степенью без скобок не входит в основание: сначала степень, потом минус.","$-6^0=-(6^0)=-1$, $(-6)^0=1$, поэтому $-1+2\\cdot1=1$. Ответ: $1$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Решавр записал: $-7^0+3\\cdot(-7)^0=4$. В чем ошибка и каков верный ответ?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: ответ $4$","$-7^0$ равно $-1$, а не $1$; верно $2$","Обе степени равны $-1$; верно $-4$","Обе степени равны $0$; верно $0$"],"explanations":["Минус без скобок стоит вне степени: $-a^0=-1$, а не $1$","","В скобках минус входит в основание, и $(-a)^0=1$; $-1$ дает только $-a^0$","Нулевая степень числа, не равного нулю, — это $1$, а не $0$"],"answer":[1]}},"hints":["Минус перед степенью без скобок не входит в основание: сначала степень, потом минус.","$-7^0=-(7^0)=-1$, $(-7)^0=1$, поэтому $-1+3\\cdot1=2$. Ответ: $2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Какое выражение равно $\\dfrac{1}{a^{5}}$ при $a\\ne0$?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$5a^{-1}$","$a^{5}$","$a^{-5}$","$-a^{5}$"],"explanations":["Это $\\frac5a$: показатель $-1$ относится к $a$, а не к $a^5$","Дробь $\\frac1{a^5}$ не равна самому $a^5$","","Минус перед степенью — не то же самое, что отрицательный показатель"],"answer":[2]}},"hints":["По определению $a^{-n}=\\frac1{a^n}$.","Здесь $n=5$: $\\frac1{a^5}=a^{-5}$."],"step":1},{"id":"9","content":"Какое выражение равно $\\dfrac{4}{b^{2}}$ при $b\\ne0$?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$(4b)^{-2}$","$-4b^{2}$","$4b^{2}$","$4b^{-2}$"],"explanations":["Показатель относится к $4b$ целиком: $(4b)^{-2}=\\frac1{16b^2}$","Минус перед степенью — не отрицательный показатель","Дробь $\\frac4{b^2}$ не равна $4b^2$",""],"answer":[3]}},"hints":["$\\frac1{b^2}=b^{-2}$, а коэффициент $4$ остается множителем.","$\\frac4{b^2}=4\\cdot\\frac1{b^2}=4b^{-2}$."],"step":1},{"id":"10","content":"При каком $n$ верно равенство $2^{n}=\\frac1{64}$? [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"-6"}},"hints":["$64=2^{6}$.","$\\frac1{64}=\\frac1{2^{6}}=2^{-6}$. Ответ: $-6$."],"step":1},{"id":"10","content":"При каком $n$ верно равенство $4^{n}=\\frac1{256}$? [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"-4"}},"hints":["$256=4^{4}$.","$\\frac1{256}=\\frac1{4^{4}}=4^{-4}$. Ответ: $-4$."],"step":1}]}</textarea></pre></div>