Алгебра/8 класс/Рациональные дроби/Произведение и частное дробей/

Преобразование рациональных выражений

Содержание

Попрактикуемся в упрощении и преобразовании рациональных выражений, узнаем, что такое среднее гармоническое.

Порядок действий в рациональных выражениях

Рассмотрим выражение:

$$\Big(\frac{2x-5y}{x+y}-\frac{x}{x+y} \Big):(x-5y)$$

В данном выражении можно найти разность дробей, а затем выполнить деление. В результате мы получим рациональную дробь.

Показать решение

Скрыть

Найдем разность дробей в скобках:$$\frac{2x-5y}{x+y}-\frac{x}{x+y}=\frac{\textcolor{darkgreen}{2x}-5y\textcolor{darkgreen}{-x}}{x+y}=\frac{\textcolor{darkgreen}{x}-5y}{x+y}$$

Выполним деление:$$\frac{x-5y}{x+y}:(x-5y)=\frac{\cancel{\textcolor{orange}{x-5y}}}{x+y} \cdot \frac{1}{\cancel{\textcolor{orange}{x-5y}}}=\frac{1}{x+y}$$

Всякое рациональное выражение можно представить в виде рациональной дроби.

Порядок действий

В рациональных выражениях, так же как и в числовых выражениях, соблюдается порядок действий:

Сначала считаются степени.
Затем выполняются действия в скобках.
Далее выполняется умножение и деление.
В конце производится сложение и вычитание.

Пример 1

Представим в виде дроби выражение:$$2+y\overset{\textcolor{coral}{2}}-\frac{y+5}{x^2} \overset{\textcolor{blue}{1}}\cdot \frac{13}{2y+10}$$

$\textcolor{blue}{1)}$ Сначала выполняем умножение:$$\frac{y+5}{x^2} \cdot \frac{13}{2y+10}=\textcolor{darkgreen}{\frac{13}{2x^2}}$$

Показать решение

Скрыть

В знаменателе второй дроби вынесем общий множитель $\textcolor{orange}{2}$ за скобки:$$\frac{y+5}{x^2} \cdot \frac{13}{\textcolor{orange}{2}y+\textcolor{orange}{2}\cdot 5}=\frac{y+5}{x^2} \cdot \frac{13}{\textcolor{orange}{2}(y+5)}$$

Сократим и перемножим дроби:$$\frac{\cancel{\textcolor{purple}{y+5}}}{x^2} \cdot \frac{13}{2(\cancel{\textcolor{purple}{y+5}})}=\frac{1 \cdot 13}{x^2 \cdot 2}=\frac{13}{2x^2}$$

$\textcolor{coral}{2)}$ Теперь можно выполнить вычитание:$$2+y-\textcolor{darkgreen}{\frac{13}{2x^2}}=\frac{2x^2(2+y)-13}{2x^2}$$

Показать решение

Скрыть

Представим многочлен $\textcolor{coral}{2+y}$ в виде дроби: $\textcolor{coral}{\frac{2+y}{1}}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $\textcolor{orange}{2x^2}$ и выполним вычитание: $$\textcolor{coral}{\frac{2+y}{1}}-\frac{13}{2x^2}=\frac{(2+y)\cdot \textcolor{orange}{2x^2}}{1\cdot \textcolor{orange}{2x^2}}-\frac{13}{2x^2}=$$ $$=\frac{2x^2(2+y)-13}{2x^2}$$

Пример 2

Упростим выражение:$$\Big(\frac{3x+1}{3x-1}\overset{\textcolor{blue}{1}}-\frac{3x-1}{3x+1} \Big)\overset{\textcolor{coral}{2}}: \frac{6x}{15x-5}$$

$\textcolor{blue}{1)}$ Выполним действие в скобках:$$\frac{3x+1}{3x-1}-\frac{3x-1}{3x+1}=\frac{12x}{(3x-1)(3x+1)}$$

Показать решение

Скрыть

Приведем дроби к общему знаменателю $(\textcolor{purple}{3x-1})(\textcolor{orange}{3x+1})$:$$\frac{(3x+1) \cdot (\textcolor{orange}{3x+1})}{(3x-1)\cdot (\textcolor{orange}{3x+1})}-\frac{(3x-1)\cdot (\textcolor{purple}{3x-1})}{(3x+1)\cdot (\textcolor{purple}{3x-1})}=$$ $$=\frac{(3x+1)^2-(3x-1)^2}{(3x-1)(3x+1)}$$

В числителе распишем «разность квадратов»:$$(\textcolor{blue}{3x+1})^\textcolor{coral}{2}-(\textcolor{darkgreen}{3x-1})^\textcolor{coral}{2}=((\textcolor{blue}{3x+1})+(\textcolor{darkgreen}{3x-1}))((\textcolor{blue}{3x+1})-(\textcolor{darkgreen}{3x-1}))$$

Раскроем скобки и произведем вычисления:$$(\textcolor{lightblue}{3x}\cancel{+1}+\textcolor{lightblue}{3x}\cancel{-1})(\cancel{3x}+\textcolor{orange}{1}\cancel{-3x}+\textcolor{orange}{1})=\textcolor{lightblue}{6x}\cdot \textcolor{orange}{2}=12x$$

Получаем:$$\frac{12x}{(3x-1)(3x+1)}$$

$\textcolor{coral}{2)}$ Произведем деление:$$\frac{12x}{(3x-1)(3x+1)}:\frac{6x}{15x-5}=\frac{10}{3x+1}$$

Показать решение

Скрыть

Заменим деление умножением, а вторую дробь перевернем. В числителе второй дроби вынесем общий множитель $\textcolor{orange}{5}$ за скобки:$$\frac{\textcolor{purple}{12x}}{(\textcolor{darkgreen}{3x-1})(3x+1)} \cdot \frac{\textcolor{orange}{5}(\textcolor{darkgreen}{3x-1})}{\textcolor{purple}{6x}}$$

Сократим дроби на $\textcolor{darkgreen}{3x-1}$ и на $\textcolor{purple}{6x}$: $$\frac{2}{3x+1} \cdot \frac{5}{1}=\frac{10}{3x+1}$$

{"questions":[{"content":"Упростите выражение:$$\\Big(\\frac{3}{2y}+\\frac{7}{2y}\\Big) \\cdot \\frac{4y^2}{5}$$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$4y$","$1$","$5y^2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Выполним действие в скобках:$$\\frac{3}{\\textcolor{blue}{2y}}+\\frac{7}{\\textcolor{blue}{2y}}=\\frac{10}{\\textcolor{blue}{2y}}$$","Произведем умножение:$$\\frac{{}^{2}\\cancel{\\textcolor{darkgreen}{10}}}{\\cancel{\\textcolor{orange}{2y}}} \\cdot \\frac{{}^{2y}\\cancel{\\textcolor{orange}{4y^2}}}{\\cancel{\\textcolor{darkgreen}{5}}}=4y$$"]}]}

Многоэтажные дроби

Рассмотрим пример:$$\frac{1-\frac{1}{m}}{1+\frac{1}{m}}$$

Способы преобразования многоэтажных дробей

Преобразование многоэтажных дробей можно вести разными способами:

Можно представить в виде рациональных дробей отдельно числитель и знаменатель, а затем разделить первый на второй.
Можно домножить всю дробь на знаменатели дробей, чтобы избавиться от знаменателей, а затем производить преобразования.

1-й способ решения

Скрыть

Представим в виде рациональной дроби числитель:$$\textcolor{blue}{1}-\frac{1}{m}=\frac{\textcolor{blue}{1}}{\textcolor{blue}{1}}-\frac{1}{m}=$$ $$=\frac{1 \cdot \textcolor{darkgreen}{m}}{1 \cdot \textcolor{darkgreen}{m}}-\frac{1}{\textcolor{darkgreen}{m}}=\textcolor{green}{\frac{m-1}{m}}$$

Аналогичным образом поступим со знаменателем:$$\textcolor{purple}{1}+\frac{1}{m}=\frac{\textcolor{purple}{1}}{\textcolor{purple}{1}}+\frac{1}{m}=$$ $$=\frac{1 \cdot \textcolor{orange}{m}}{1 \cdot \textcolor{orange}{m}}+\frac{1}{\textcolor{orange}{m}}=\textcolor{coral}{\frac{m+1}{m}}$$

Получили:$$\frac{\textcolor{green}{\frac{m-1}{m}}}{\textcolor{coral}{\frac{m+1}{m}}}$$

Теперь разделим числитель на знаменатель:$$\frac{m-1}{m}:\frac{\textcolor{blue}{m+1}}{m}=\frac{m-1}{\textcolor{darkgreen}{m}} \cdot \frac{\textcolor{darkgreen}{m}}{\textcolor{blue}{m+1}}=$$ $$=\frac{m-1}{\cancel{\textcolor{orange}{m}}} \cdot \frac{\cancel{\textcolor{orange}{m}}}{m+1}=\frac{m-1}{m+1}$$

2-й способ решения

Скрыть

Домножим числитель и знаменатель дроби на $\textcolor{orange}{m}$, чтобы избавиться от знаменателей:$$\frac{(1-\frac{1}{m})\cdot \textcolor{orange}{m}}{(1+\frac{1}{m})\cdot \textcolor{orange}{m}}=\frac{1\cdot \textcolor{orange}{m}-\frac{1}{\cancel{m}}\cdot \cancel{\textcolor{orange}{m}}}{1\cdot \textcolor{orange}{m}+\frac{1}{\cancel{m}}\cdot \cancel{\textcolor{orange}{m}}}=$$ $$=\frac{m-\textcolor{blue}{\frac{1}{1}}}{m+\textcolor{darkgreen}{\frac{1}{1}}}=\frac{m-\textcolor{blue}{1}}{m+\textcolor{darkgreen}{1}}$$

Пример 3

Упростим выражение:$$\frac{3-\frac{5}{x}}{4+\frac{x}{y}}$$

Домножим числитель и знаменатель дроби на $\textcolor{orange}{xy},$ чтобы избавиться от внутренних дробей: $$\frac{(3-\frac{5}{x})\cdot \textcolor{orange}{xy}}{(4+\frac{x}{y})\cdot \textcolor{orange}{xy}}=\frac{3\textcolor{orange}{xy}-\frac{5}{\cancel{\textcolor{blue}{x}}}\cdot \cancel{\textcolor{blue}{x}}\textcolor{orange}{y}}{4\textcolor{orange}{xy}+\frac{x}{\cancel{\textcolor{darkgreen}{y}}}\cdot \textcolor{orange}{x}\cancel{\textcolor{darkgreen}{y}}}=$$ $$=\frac{3xy-5y}{4xy+x^2}$$

{"questions":[{"content":"Преобразуйте выражение:$$\\frac{x+\\frac{1}{x}}{y^2}$$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{x^2+1}{xy^2}$","$1$","$\\frac{x^2}{y^2}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Домножим числитель и знаменатель дроби на $\\textcolor{orange}{x},$ чтобы избавиться от дроби в числителе.","$$\\frac{(x+\\frac{1}{x})\\cdot \\textcolor{orange}{x}}{y^2\\cdot \\textcolor{orange}{x}}=\\frac{x \\cdot \\textcolor{orange}{x} + \\frac{1}{\\cancel{x}} \\cdot \\cancel{\\textcolor{orange}{x}}}{\\textcolor{orange}{x}y^2}=$$ $$=\\frac{x^2+1}{xy^2}$$"]}]}

Среднее гармоническое

Турист проплыл по течению реки до остановки со скоростью $\textcolor{blue}{v_1} \space км/ч,$ затем он отправился обратно, но плыл уже против течения реки со скоростью $\textcolor{darkgreen}{v_2} \space км/ч.$ Найдите среднюю скорость туриста на всем пути движения.

Пусть расстояние до остановки равно $\textcolor{orange}{s} \space км,$ тогда все расстояние, которое проплыл турист, будет равно $2\textcolor{orange}{s},$ а время движения туриста вперед и назад равно соответственно: $\frac{\textcolor{orange}{s}}{\textcolor{blue}{v_1}}\space ч$ и $\frac{\textcolor{orange}{s}}{\textcolor{darkgreen}{v_2}}\space ч.$

Чтобы найти среднюю скорость, мы должны все расстояние разделить на все время:$$v_{ср}=\frac{2s}{\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}}$$

Сократив дробь на $s,$ мы получим формулу для средней скорости при участках пути одинаковой длины:$$v_{ср}=\frac{2}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}}$$

Показать решение

Скрыть

$$\frac{2\textcolor{orange}{s}}{\frac{\textcolor{orange}{s}}{v_1}+\frac{\textcolor{orange}{s}}{v_2}}=\frac{2\cdot \textcolor{orange}{s}}{\frac{1}{v_1}\cdot \textcolor{orange}{s}+\frac{1}{v_2}\cdot \textcolor{orange}{s}}=$$ $$=\frac{2\cdot \cancel{\textcolor{orange}{s}}}{\cancel{\textcolor{orange}{s}}\cdot (\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2})}=\frac{2}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}}$$

расчет средней скорости

Средняя скорость на равных участках пути вычисляется не по формуле среднего арифметического чисел, а по формуле среднего гармонического ряда положительных чисел.

Среднее гармоническое ряда положительных чисел $a_1, a_2, …, a_n$ вычисляется по формуле:$$a_{ср}=\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{a_n}}$$

{"questions":[{"content":"Лыжник прошел дистанцию $\\textcolor{purple}{три}$ раза. Первый раз со скоростью $\\textcolor{darkgreen}{10} \\space км/ч,$ второй раз со — скоростью $\\textcolor{blue}{12} \\space км/ч,$ а затем — со скоростью $\\textcolor{coral}{6} \\space км/ч.$ Найдите среднюю скорость лыжника на всем пути.[[image-1]][[fill_choice_big-27]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/na-lyzhah-lyzhi-1-2.svg","width":"400"},"fill_choice_big-27":{"type":"fill_choice_big","options":["$8\\frac{4}{7}$","$9\\frac{3}{10}$","$9$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Запишем формулу для вычисления средней скорости для нашего случая: $$v_{ср}=\\frac{\\textcolor{purple}{n}}{\\frac{1}{\\textcolor{darkgreen}{v_1}}+\\frac{1}{\\textcolor{blue}{v_2}}+\\frac{1}{\\textcolor{coral}{v_3}}}$$","Подставим значения в формулу: $$v_{ср}=\\frac{\\textcolor{purple}{3}}{\\frac{1}{\\textcolor{darkgreen}{10}}+\\frac{1}{\\textcolor{blue}{12}}+\\frac{1}{\\textcolor{coral}{6}}}$$ Произведем расчеты в знаменателе:$$\\frac{1}{10}^{(6}+\\frac{1}{12}^{(5}+\\frac{1}{6}^{(10}=\\frac{6+5+10}{60}=\\frac{21}{60}$$","Получим:$$\\frac{3}{\\frac{21}{60}}=3:\\frac{21}{60}=\\cancel{\\textcolor{orange}{3}} \\cdot \\frac{60}{{}^{7}\\cancel{\\textcolor{orange}{21}}}=\\frac{60}{7}=8\\frac{4}{7}$$"]}]}

Часто задаваемые вопросы

Каков порядок действий в рациональных дробях?

В рациональных дробях, как и в любых математических выражениях, сначала производятся действия со степенями, затем выполняются вычисления с скобках, потом производится умножение и деление, в конце — сложение и вычитание.

Почему при умножении числителя и знаменателя дроби на выражение, значение дроби не меняется?

Согласно основному свойству дроби, мы можем умножать числитель и знаменатель дроби на различные числа или выражения, не меняя при этом ее значения.

Чем отличается среднее гармоническое от среднего арифметического?

Среднее арифметическое применяется, когда нужно найти среднее значение ряда чисел, например:$$a_{ср}=\frac{4}{a_1+a_2+a_3+a_4}$$ Среднее гармоническое применяется, когда требуется найти среднее значение ряда обратных чисел:$$a_{ср}=\frac{4}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}}$$

Проверим знания по теме?

Преобразование рациональных выражений. Практика

Пройти тест

Оценить урок

Поделиться уроком →

Что нужно исправить?

Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

Комментарии

Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хотите оставить комментарий?

Войти

Преобразование рациональных выражений

Порядок действий в рациональных выражениях

Пример 1

Пример 2

Многоэтажные дроби

Пример 3

Среднее гармоническое

Часто задаваемые вопросы

Проверим знания по теме?

Оценить урок

Поделиться уроком →

Что можно улучшить?

Войдите, чтобы оценивать уроки

Что нужно исправить?

Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

Отменить ответ

Хотите оставить комментарий?