Умножение рациональных дробей. Возведение дроби в степень

Разберем, как производится умножение рациональных дробей, а также научимся возводить дроби в степень.

Умножение дробей

Как и в случае с обыкновенными дробями, при умножении рациональных дробей числитель умножается на числитель, а знаменатель — на знаменатель: $$\frac{\textcolor{blue}{a}}{\textcolor{coral}{b}}\cdot \frac{\textcolor{darkgreen}{c}}{\textcolor{purple}{d}} = \frac{\textcolor{blue}{a}\textcolor{darkgreen}{c}}{\textcolor{coral}{b}\textcolor{purple}{d}}$$

Пример 1

Умножим дроби:$$\frac{x^2}{3y}\cdot \frac{6y^2}{x}$$

Воспользуемся правилом умножения дробей:$$\frac{x^2}{3y}\cdot \frac{6y^2}{x}=\frac{{}^{\textcolor{coral}{x}}\cancel{\textcolor{darkgreen}{x^2}}\cdot {}^{\textcolor{coral}{2y}}\cancel{\textcolor{blue}{6y^2}}}{{}^{1}\cancel{\textcolor{blue}{3y}} \cdot {}^{1}\cancel{\textcolor{darkgreen}{x}}}=\textcolor{coral}{2xy}$$

Пример 2

Перемножим дроби: $$\frac{x+5}{x-3} \cdot \frac{x-5}{x}$$

Перемножим числители и знаменатели данных дробей:$$\frac{x+5}{x-3} \cdot \frac{x-5}{x}=\frac{(x+5)(x-5)}{(x-3)x}$$

Раскроем скобки в числителе и знаменателе. Заметим, что числитель можно свернуть по формуле «разность квадратов»:$$\frac{(x+5)(x-5)}{(x-3)x}=\frac{x^2-25}{x^2-3x}$$

Пример 3

Представим второй множитель в виде дроби:$$m^2-n^2=\frac{m^2-n^2}{1}$$ Заметим, что многочлен можно разложить на множители по формуле разности квадратов:$$\frac{m^2-n^2}{1}=\frac{(m-n)(m+n)}{1}$$ Перемножим полученные дроби: $$\frac{\textcolor{darkgreen}{m+n}}{{}^{1}\cancel{\textcolor{blue}{m-n}}} \cdot\frac{{}^{1}\cancel{(\textcolor{blue}{m-n})}(\textcolor{orange}{m+n})}{1} $$ $$\frac{(\textcolor{darkgreen}{m+n})(\textcolor{orange}{m+n})}{1}=(m+n)^2$$

{"questions":[{"content":"Перемножьте дроби: $$\\frac{a^2}{b} \\cdot \\frac{c}{2a}=$$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{ac}{2b}$","$\\frac{a^2c}{2b}$","$\\frac{c}{b}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["При произведении дробей числитель умножается на числитель, а знаменатель — на знаменатель.","$$\\frac{\\textcolor{blue}{a}^{{}^{1}\\cancel{2}} \\cdot c }{b \\cdot 2{}^{1}\\cancel{\\textcolor{blue}{a}}} =\\frac{ac}{2b}$$"]}]}

Возведение в степень

При возведении дроби в степень в эту степень возводится отдельно числитель и знаменатель данной дроби:$$\Big(\frac{\textcolor{blue}{a}}{\textcolor{darkgreen}{b}}\Big)^{\textcolor{coral}{n}}=\frac{\textcolor{blue}{a}^{\textcolor{coral}{n}}}{\textcolor{darkgreen}{b}^{\textcolor{coral}{n}}}$$

Пример 4

Возведем дробь $\frac{3t}{a^5}$ в третью степень.

$$\Big(\frac{3t}{a^5}\Big)^{\textcolor{coral}{3}}=\frac{(3t)^{\textcolor{coral}{3}}}{(a^5)^{\textcolor{coral}{3}}}$$ При возведении произведения в степень в данную степень возводится каждый множитель:$$(3t)^3=3^{3}t^3=\textcolor{blue}{27t^3}$$ При возведении степени в степень эти степени перемножаются: $$(a^5)^3=a^{5\cdot 3}=\textcolor{darkgreen}{a^{15}}$$ $$\frac{(3t)^3}{(a^5)^3}=\frac{\textcolor{blue}{27t^3}}{\textcolor{darkgreen}{a^{15}}}$$

{"questions":[{"content":"Возведите дробь в степень:$$\\Big(\\frac{x^7}{2y}\\Big)^4=$$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{x^{28}}{16y^4}$","$\\frac{x^{11}}{2y^4}$","$\\frac{x^{7}}{16y}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["При возведении дроби в степень в данную степень возводится числитель и знаменатель.","$$\\Big(\\frac{x^7}{2y}\\Big)^{\\textcolor{coral}{4}}=\\frac{(x^{\\textcolor{darkgreen}{7}})^{\\textcolor{coral}{4}}}{(2y)^{\\textcolor{coral}{4}}}=$$ $$=\\frac{x^{{\\textcolor{darkgreen}{7}} \\cdot {\\textcolor{coral}{4}}}}{\\textcolor{blue}{2^4}y^4}=\\frac{x^{28}}{\\textcolor{blue}{16}y^4}$$"]}]}

Часто задаваемые вопросы