Деление рациональных дробей

Познакомимся с правилами деления рациональных дробей на дроби и многочлены.

Деление дробей

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй: $$\frac{\textcolor{coral}{a}}{\textcolor{blue}{b}}:\frac{\textcolor{darkgreen}{c}}{\textcolor{orange}{d}}=\frac{\textcolor{coral}{a}}{\textcolor{blue}{b}} \cdot \frac{\textcolor{orange}{d}}{\textcolor{darkgreen}{c}}$$

Пример 1

Разделим дробь $\frac{6x}{7}$ на дробь $\frac{9x^2}{17y}$.

Заменим деление умножением, а вторую дробь перевернем:$$\frac{6x}{7}:\frac{\textcolor{blue}{9x^2}}{\textcolor{darkgreen}{17y}}=\frac{6x}{7}\cdot \frac{\textcolor{darkgreen}{17y}}{\textcolor{blue}{9x^2}}$$

Произведем умножение дробей: $$\frac{6x}{7}\cdot \frac{17y}{9x^2}=\frac{6x \cdot 17y}{7 \cdot 9x^2}$$

Сократим дробь:$$\frac{{}^{2}\cancel{\textcolor{orange}{6x}} \cdot 17y}{7 \cdot {}^{3x}\cancel{\textcolor{orange}{9x^2}}}=\frac{34y}{21x}$$

Пример 2

Вычислим:$$\frac{a-1}{2t}:\frac{a-1}{b^3}$$

Согласно правилу деления дробей вторую дробь перевернем, а деление заменим умножением:$$\frac{a-1}{2t}:\frac{\textcolor{blue}{a-1}}{\textcolor{darkgreen}{b^3}}=\frac{a-1}{2t} \cdot \frac{\textcolor{darkgreen}{b^3}}{\textcolor{blue}{a-1}}$$

Сократим и перемножим дроби:$$\frac{\cancel{\textcolor{purple}{a-1}}}{2t} \cdot \frac{b^3}{\cancel{\textcolor{purple}{a-1}}}=\frac{b^3}{2t}$$

{"questions":[{"content":"Выполните деление:$$\\frac{n^4}{m}:\\frac{3n}{5}$$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{5{n}^{3}}{3m}$","$\\frac{3{n}^{5}}{5m}$","$\\frac{3n}{m}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Заменим деление умножением, а вторую дробь перевернем:$$\\frac{n^4}{m}:\\frac{\\textcolor{blue}{3n}}{\\textcolor{darkgreen}{5}}=\\frac{n^4}{m} \\cdot \\frac{\\textcolor{darkgreen}{5}}{\\textcolor{blue}{3n}}$$","Сократим полученную дробь:$$\\frac{\\textcolor{orange}{n}^{{}^{3}\\cancel{4}} \\cdot 5}{m \\cdot 3\\cancel{\\textcolor{orange}{n}}}=\\frac{5{n}^{3}}{3m}$$"]}]}

Деление на многочлен

При делении дроби на многочлен данный многочлен записывают в виде дроби, а затем производят деление:$$\frac{\textcolor{blue}{a}}{\textcolor{darkgreen}{b}}:(\textcolor{orange}{x+y})=\frac{\textcolor{blue}{a}}{\textcolor{darkgreen}{b}}:\frac{\textcolor{orange}{x+y}}{1}$$

Пример 3

Разделим дробь $\frac{x}{4y}$ на многочлен $x+5$.

Представим многочлен в виде дроби:$$\frac{x}{4y}:(\textcolor{purple}{x+5})=\frac{x}{4y}:\frac{\textcolor{purple}{x+5}}{1}$$

Выполним деление, заменив вторую дробь на обратную, а деление — на умножение:$$\frac{x}{4y}:\frac{\textcolor{blue}{x+5}}{\textcolor{darkgreen}{1}}=\frac{x}{4y} \cdot \frac{\textcolor{darkgreen}{1}}{\textcolor{blue}{x+5}}$$

Найдем произведение полученных дробей:$$\frac{x \cdot 1}{4y \cdot(x+5)} =\frac{x}{4xy+20y}$$

Пример 4

Представим выражение в виде дроби и сократим:$$(4a^2-25):(2a+5)$$

Запишем выражение в виде дроби:$$(4a^2-25):(2a+5)=\frac{4a^2-25}{2a+5}$$

Разложим числитель по формуле «разность квадратов»:$$\frac{\textcolor{blue}{4a^2}-\textcolor{darkgreen}{25}}{2a+5}=\frac{(\textcolor{blue}{2a}-\textcolor{darkgreen}{5})(\textcolor{blue}{2a}+\textcolor{darkgreen}{5})}{2a+5} $$

Сократим дробь:$$\frac{(2a-5)\cancel{(\textcolor{orange}{2a+5})}}{\cancel{\textcolor{orange}{2a+5}}}=2a-5$$

{"questions":[{"content":"Выполните действие:$$\\frac{3}{m}:(8-n)$$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{3}{8m-mn}$","$\\frac{24-3n}{m}$","$\\frac{24}{-mn}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Запишем делитель в виде дроби:$$\\frac{3}{m}:(\\textcolor{orange}{8-n})=\\frac{3}{m}:\\frac{\\textcolor{orange}{8-n}}{1}$$","Выполним деление, перевернув вторую дробь, а деление заменив умножением:$$\\frac{3}{m}:\\frac{\\textcolor{blue}{8-n}}{\\textcolor{darkgreen}{1}}=\\frac{3}{m} \\cdot \\frac{\\textcolor{darkgreen}{1}}{\\textcolor{blue}{8-n}}$$ $$\\frac{3 \\cdot 1}{\\textcolor{purple}{m} \\cdot (8-n)}=\\frac{3}{8\\textcolor{purple}{m}-\\textcolor{purple}{m}n}$$"]}]}

Часто задаваемые вопросы