Умножение рациональных дробей. Практика

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"content":"Выполните умножение:$$\\frac{6x}{7a} \\cdot \\frac{8}{9}$$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{16x}{21a}$","$\\frac{48x}{16a}$","$\\frac{14x}{a}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["При произведении дробей числитель умножается на числитель, а знаменатель — на знаменатель.","$$\\frac{6x}{7a} \\cdot \\frac{8}{9}=\\frac{6x \\cdot 8}{7a \\cdot 9}$$","Сократим множители числителя и знаменателя на $3$:$$\\frac{{}^{2}\\cancel{6}x \\cdot 8}{7a \\cdot {}^{3}\\cancel{9}}=\\frac{16x}{21a}$$"],"id":"0"},{"content":"Выполните умножение:$$\\frac{y^3}{11} \\cdot \\frac{11}{y^2}$$[[fill_choice_big-19]]","widgets":{"fill_choice_big-19":{"type":"fill_choice_big","options":["$y$","$\\frac{1}{y^2}$","$1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["При произведении дробей числитель умножается на числитель, а знаменатель — на знаменатель.","$$\\frac{y^3}{11} \\cdot \\frac{11}{y^2}=\\frac{y^3 \\cdot 11}{11 \\cdot y^2} $$","Сократим множители числителя и знаменателя на $\\textcolor{blue}{11}$ и $\\textcolor{coral}{y^2}$:$$\\frac{{}^{\\textcolor{darkgreen}{y}}\\cancel{\\textcolor{coral}{y^3}} \\cdot {}^{1}\\cancel{\\textcolor{blue}{11}}}{{}^{1}\\cancel{\\textcolor{blue}{11}} \\cdot {}^{1}\\cancel{\\textcolor{coral}{y^2}}}=\\textcolor{darkgreen}{y}$$"],"id":"0"},{"content":"Выполните умножение:$$\\frac{15}{a^2} \\cdot \\frac{a}{10}$$[[fill_choice_big-54]]","widgets":{"fill_choice_big-54":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{3}{2a}$","$\\frac{3a}{2}$","$\\frac{5}{a}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["При произведении дробей числитель умножается на числитель, а знаменатель — на знаменатель.","$$\\frac{15}{a^2} \\cdot \\frac{a}{10}=\\frac{15 \\cdot a}{a^2 \\cdot 10}$$","Сократим множители числителя и знаменателя на $\\textcolor{blue}{a}$ и $\\textcolor{coral}{5}$:$$\\frac{{}^{3}\\cancel{\\textcolor{coral}{15}} \\cdot {}^{1}\\cancel{\\textcolor{blue}{a}}}{{}^{a}\\cancel{\\textcolor{blue}{a^2}} \\cdot {}^{2}\\cancel{\\textcolor{coral}{10}}}=\\frac{3}{2a}$$"],"id":"0"},{"content":"Преобразуйте выражение:$$\\frac{5}{x} \\cdot (x^2-8x)$$[[fill_choice_big-132]]","widgets":{"fill_choice_big-132":{"type":"fill_choice_big","options":["$5x-40$","$\\frac{5x^2-40x}{x^2}$","$\\frac{x^2-8x}{5}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Представим второй множитель в виде дроби со знаменателем $1$:$$\\frac{5}{x} \\cdot \\frac{(x^2-8x)}{1}$$","В числителе второй дроби вынесем $x$ за скобки:$$\\frac{5}{x} \\cdot \\frac{x(x-8)}{1}$$","Выполним произведение дробей:$$\\frac{5}{x} \\cdot \\frac{x(x-8)}{1}=\\frac{5 \\cdot x(x-8)}{x \\cdot 1} $$","Сократим дробь на $x$:$$\\frac{5 \\cdot {}^{1}\\cancel{x}(x-8)}{{}^{1}\\cancel{x} \\cdot 1}=\\frac{5 \\cdot (x-8)}{1}$$","Произведем вычисления:$$5 \\cdot (x-8)=5x-40$$"],"id":"1"},{"content":"Преобразуйте выражение:$$\\frac{y-4}{y^2-16} \\cdot (y+4)$$[[fill_choice_big-221]]","widgets":{"fill_choice_big-221":{"type":"fill_choice_big","options":["$1$","$y-4$","$\\frac{y+4}{y-4}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Представим второй множитель в виде дроби со знаменателем $1$:$$\\frac{y-4}{y^2-16} \\cdot \\frac{(y+4)}{1}$$","Знаменатель первой дроби разложим по формуле сокращенного умножения «разность квадратов»:$$\\frac{y-4}{y^2-16}=\\frac{y-4}{(y-4)(y+4)}$$","Сократим первую дробь на $\\textcolor{blue}{(y-4)}$:$$\\frac{{}^{1}\\cancel{\\textcolor{blue}{y-4}}}{{}^{1}\\cancel{(\\textcolor{blue}{y-4})}(y+4)}=\\frac{1}{y+4}$$","Найдем произведение дробей:$$\\frac{1}{y+4} \\cdot \\textcolor{orange}{(y+4)} = \\frac{1\\cdot \\textcolor{orange}{(y+4)}}{y+4}$$ $$\\frac{1\\cdot {}^{1}\\cancel{(\\textcolor{darkgreen}{y+4})}}{{}^{1}\\cancel{\\textcolor{darkgreen}{y+4}}}=1$$"],"id":"1"},{"content":"Преобразуйте выражение:$$\\frac{a}{b} \\cdot (17-a)$$[[fill_choice_big-323]]","widgets":{"fill_choice_big-323":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{17a-a^2}{b}$","$1$","$17a-b$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Представим второй множитель в виде дроби со знаменателем $1$:$$\\frac{a}{b} \\cdot \\frac{(17-a)}{1}$$","Найдем произведение двух дробей:$$\\frac{a}{b}  \\cdot \\frac{(17-a)}{1}=\\frac{a \\cdot (17-a)}{b \\cdot 1}$$","Раскроем скобки:$$\\frac{17a-a^2}{b}$$"],"id":"1"},{"content":"Возведите в степень:$$\\Big(\\frac{c^2}{2a}\\Big)^3$$[[fill_choice_big-494]]","widgets":{"fill_choice_big-494":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{c^6}{8a^3}$","$\\frac{c^6}{2a}$","$\\frac{3c^2}{6a}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["При возведении дроби в степень в данную степень возводятся отдельно числитель и знаменатель данной дроби.","$$\\Big(\\frac{c^2}{2a}\\Big)^{\\textcolor{orange}{3}}=\\frac{(c^2)^{\\textcolor{orange}{3}}}{(2a)^{\\textcolor{orange}{3}}}$$","При возведении степени в степень степени перемножаются, а при возведении произведения в степень в данную степень возводится каждый множитель:$$\\frac{(c^{\\textcolor{purple}{2}})^{\\textcolor{coral}{3}}}{(2a)^{\\textcolor{darkgreen}{3}}}=\\frac{c^{\\textcolor{purple}{2} \\cdot \\textcolor{coral}{3}}}{2^{\\textcolor{darkgreen}{3}} \\cdot a^{\\textcolor{darkgreen}{3}}}=\\frac{c^6}{8a^3}$$"],"id":"2"},{"content":"Возведите в степень:$$\\Big(\\frac{3m}{n^6}\\Big)^4$$[[fill_choice_big-673]]","widgets":{"fill_choice_big-673":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{81m^4}{n^{24}}$","$\\frac{12m^4}{n^{10}}$","$\\frac{3m^4}{n^{24}}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["При возведении дроби в степень в данную степень возводятся отдельно числитель и знаменатель данной дроби.","$$\\Big(\\frac{3m}{n^6}\\Big)^{\\textcolor{orange}{4}}=\\frac{(3m)^{\\textcolor{orange}{4}}}{(n^6)^{\\textcolor{orange}{4}}}$$","При возведении степени в степень степени перемножаются, а при возведении произведения в степень в данную степень возводится каждый множитель:$$\\frac{(3m)^{\\textcolor{darkgreen}{4}}}{(n^\\textcolor{purple}{6})^\\textcolor{coral}{4}}=\\frac{3^{\\textcolor{darkgreen}{4}}\\cdot m^{\\textcolor{darkgreen}{4}}}{n^{\\textcolor{purple}{6}\\cdot \\textcolor{coral}{4}}}=\\frac{81m^4}{n^{24}}$$"],"id":"2"},{"content":"Возведите в степень:$$\\Big(\\frac{x}{8y^3}\\Big)^2$$[[fill_choice_big-774]]","widgets":{"fill_choice_big-774":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{x^2}{64y^6}$","$\\frac{x^2}{8y^6}$","$\\frac{x^2}{8y^3}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["При возведении дроби в степень в данную степень возводятся отдельно числитель и знаменатель данной дроби.","$$\\Big(\\frac{x}{8y^3}\\Big)^\\textcolor{orange}{2}=\\frac{x^\\textcolor{orange}{2}}{(8y^3)^\\textcolor{orange}{2}}$$","При возведении степени в степень степени перемножаются, а при возведении произведения в степень в данную степень возводится каждый множитель.","$$\\frac{x^2}{(8y^\\textcolor{blue}{3})^\\textcolor{darkgreen}{2}}=\\frac{x^2}{8^\\textcolor{darkgreen}{2} \\cdot y^{\\textcolor{blue}{3} \\cdot \\textcolor{darkgreen}{2}}}=\\frac{x^2}{64y^6}$$"],"id":"2"},{"content":"Представьте в виде дроби:$$\\Big(-\\frac{n^2m^3}{2b}\\Big)^2$$[[fill_choice_big-1492]]","widgets":{"fill_choice_big-1492":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{n^4m^6}{4b^2}$","$-\\frac{2n^2m^3}{2b^2}$","$-\\frac{n^4m^6}{2b^2}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["При возведении числа в четную степень знак минуса убирается:$$\\Big(-\\frac{n^2m^3}{2b}\\Big)^2=\\cancel{-}\\frac{n^2m^3}{2b}\\cdot \\Big(\\cancel{-}\\frac{n^2m^3}{2b}\\Big)$$","При возведении дроби в степень в данную степень возводятся отдельно числитель и знаменатель данной дроби:$$\\Big(-\\frac{n^2m^3}{2b}\\Big)^\\textcolor{orange}{2}=\\frac{(n^2m^3)^\\textcolor{orange}{2}}{(2b)^\\textcolor{orange}{2}}$$","При возведении произведения в степень в эту степень возводится каждый множитель, а при возведении степени в степень степени перемножаются:$$\\frac{(n^\\textcolor{darkgreen}{2}m^\\textcolor{blue}{3})^\\textcolor{coral}{2}}{(2b)^\\textcolor{purple}{2}}=\\frac{n^{\\textcolor{darkgreen}{2}\\cdot \\textcolor{coral}{2}}m^{\\textcolor{blue}{3} \\cdot \\textcolor{coral}{2}}}{2^\\textcolor{purple}{2}\\cdot b^\\textcolor{purple}{2}}=\\frac{n^4m^6}{4b^2}$$"],"id":"3"},{"content":"Представьте в виде дроби:$$\\Big(-\\frac{11}{x^2}\\Big)^2$$[[fill_choice_big-1286]]","widgets":{"fill_choice_big-1286":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{121}{x^4}$","$-\\frac{121}{x^2}$","$\\frac{22}{x^2}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["При возведении числа в четную степень знак минуса убирается:$$\\Big(-\\frac{11}{x^2}\\Big)^2=\\cancel{-}\\frac{11}{x^2} \\cdot \\Big(\\cancel{-}\\frac{11}{x^2}\\Big)$$","При возведении дроби в степень в данную степень возводятся отдельно числитель и знаменатель данной дроби:$$\\Big(-\\frac{11}{x^2}\\Big)^\\textcolor{orange}{2}=\\frac{11^\\textcolor{orange}{2}}{(x^2)^\\textcolor{orange}{2}}$$","При возведении степени в степень степени перемножаются:$$\\frac{\\textcolor{purple}{11^2}}{(x^\\textcolor{darkgreen}{2})^\\textcolor{blue}{2}}=\\frac{\\textcolor{purple}{121}}{x^{\\textcolor{darkgreen}{2}\\cdot \\textcolor{blue}{2}}}=\\frac{121}{x^4}$$"],"id":"3"},{"content":"Представьте в виде дроби:$$\\Big(-\\frac{2xy}{7c}\\Big)^3$$[[fill_choice_big-969]]","widgets":{"fill_choice_big-969":{"type":"fill_choice_big","options":["$-\\frac{8x^3y^3}{343c^3}$","$\\frac{8x^3y^3}{343c^3}$","$\\frac{2x^3y^3}{7c^3}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["При возведении числа в нечетную степень знак минуса сохраняется:$$-\\frac{2xy}{7c} \\cdot \\Big(-\\frac{2xy}{7c}\\Big) \\cdot \\Big(-\\frac{2xy}{7c}\\Big)$$","При возведении дроби в степень в данную степень возводятся отдельно числитель и знаменатель дроби:$$\\Big(-\\frac{2xy}{7c}\\Big)^\\textcolor{orange}{3}=-\\frac{(2xy)^\\textcolor{orange}{3}}{(7c)^\\textcolor{orange}{3}}$$","При возведении произведения в степень в эту степень возводится каждый множитель:$$-\\frac{(2xy)^\\textcolor{darkgreen}{3}}{(7c)^\\textcolor{purple}{3}}=-\\frac{2^\\textcolor{darkgreen}{3}\\cdot x^\\textcolor{darkgreen}{3} \\cdot y^\\textcolor{darkgreen}{3}}{7^\\textcolor{purple}{3} \\cdot c^\\textcolor{purple}{3}}=-\\frac{8x^3y^3}{343c^3}$$"],"id":"3"}]}</textarea></pre></div>