<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"content":"Представьте в виде дроби:$$\\Big( \\frac{m}{3n}+\\frac{5}{3n}\\Big)\\cdot \\frac{3n}{8}$$[[fill_choice_big-56]]","widgets":{"fill_choice_big-56":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{m+5}{8}$","$1$","$\\frac{3n}{5+m}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Выполним действие в скобках:$$ \\frac{m}{\\textcolor{darkgreen}{3n}}+\\frac{5}{\\textcolor{darkgreen}{3n}}=\\frac{m+5}{\\textcolor{darkgreen}{3n}}$$","Произведем умножение:$$\\frac{m+5}{\\cancel{\\textcolor{orange}{3n}}} \\cdot \\frac{\\cancel{\\textcolor{orange}{3n}}}{8}=\\frac{m+5}{8}$$"],"id":"0"},{"content":"Представьте в виде дроби:$$\\Big( \\frac{20}{x-6}-\\frac{k}{x-6}\\Big)\\cdot \\frac{k}{20-k}$$[[fill_choice_big-258]]","widgets":{"fill_choice_big-258":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{k}{x-6}$","$\\frac{x-6}{20-k}$","$x-6$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Выполним действие в скобках:$$\\frac{20}{\\textcolor{darkgreen}{x-6}}-\\frac{k}{\\textcolor{darkgreen}{x-6}}=\\frac{20-k}{\\textcolor{darkgreen}{x-6}}$$","Умножим полученное число на оставшуюся дробь:$$\\frac{\\cancel{\\textcolor{orange}{20-k}}}{x-6} \\cdot \\frac{k}{\\cancel{\\textcolor{orange}{20-k}}}=\\frac{k}{x-6}$$"],"id":"0"},{"content":"Представьте в виде дроби:$$\\Big( \\frac{y}{18}+\\frac{y}{9}\\Big): 3y$$[[fill_choice_big-191]]","widgets":{"fill_choice_big-191":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{1}{18}$","$\\frac{y}{18}$","$\\frac{9}{2y}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Сложим дроби в скобках, для этого приведем их к общему знаменателю:$$ \\frac{y}{18}^{(1}+\\frac{y}{9}^{(\\textcolor{blue}{2}}=\\frac{y}{18}+\\frac{\\textcolor{blue}{2}y}{\\textcolor{blue}{2}\\cdot 9}=\\frac{3y}{18}$$","Выполним деление:$$\\frac{3y}{18}:3y=\\frac{\\cancel{\\textcolor{orange}{3y}}}{18}\\cdot \\frac{1}{\\cancel{\\textcolor{orange}{3y}}}=\\frac{1}{18}$$"],"id":"0"},{"content":"Упростите выражение:$$\\frac{\\frac{1}{x}-\\frac{1}{y}}{\\frac{1}{2x}}$$[[fill_choice_big-567]]","widgets":{"fill_choice_big-567":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{2y-2x}{y}$","$1$","$x-y$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Домножим числитель и знаменатель на общий знаменатель внутренних дробей $\\textcolor{orange}{2xy},$ чтобы избавиться от них:$$\\frac{(\\frac{1}{x}-\\frac{1}{y}) \\cdot \\textcolor{orange}{2xy}}{\\frac{1}{2x}\\cdot \\textcolor{orange}{2xy}}$$","$$\\frac{\\frac{1}{\\cancel{\\textcolor{blue}{x}}}\\cdot 2\\cancel{\\textcolor{blue}{x}}y-\\frac{1}{\\cancel{\\textcolor{green}{y}}}\\cdot 2x\\cancel{\\textcolor{green}{y}}}{\\frac{1}{\\cancel{\\textcolor{coral}{2x}}}\\cdot \\cancel{\\textcolor{coral}{2x}}y}=\\frac{2y-2x}{y}$$"],"id":"1"},{"content":"Упростите выражение:$$\\frac{\\frac{x}{y}}{6+\\frac{1}{x}}$$[[fill_choice_big-798]]","widgets":{"fill_choice_big-798":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{x^2}{6xy+y}$","$\\frac{x}{6+y}$","$\\frac{6+x}{xy}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Домножим числитель и знаменатель на общий знаменатель внутренних дробей $\\textcolor{orange}{xy},$ чтобы избавиться от них:$$\\frac{\\frac{x}{y} \\cdot \\textcolor{orange}{xy}}{(6+\\frac{1}{x})\\cdot \\textcolor{orange}{xy}}$$","$$\\frac{\\frac{x}{\\cancel{\\textcolor{blue}{y}}}\\cdot x\\cancel{\\textcolor{blue}{y}}}{6\\cdot xy+\\frac{1}{\\cancel{\\textcolor{darkgreen}{x}}}\\cdot \\cancel{\\textcolor{darkgreen}{x}}y}=\\frac{x^2}{6xy+y}$$"],"id":"1"},{"content":"Упростите выражение:$$\\frac{1}{\\frac{1}{n+1}+n}$$[[fill_choice_big-945]]","widgets":{"fill_choice_big-945":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{n+1}{1+n^2+n}$","$\\frac{n}{1+n-n^2}$","$\\frac{1}{n^2+1}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Домножим числитель и знаменатель на знаменатель внутренней дроби $\\textcolor{orange}{n+1},$ чтобы избавиться от нее:$$\\frac{1\\cdot (\\textcolor{orange}{n+1})}{(\\frac{1}{n+1}+n)\\cdot (\\textcolor{orange}{n+1})}$$","$$\\frac{n+1}{\\frac{1}{\\cancel{\\textcolor{blue}{n+1}}}\\cdot (\\cancel{\\textcolor{blue}{n+1}})+n\\cdot (n+1)}=\\frac{n+1}{1+n^2+n}$$"],"id":"1"},{"content":"Найдите значение выражения:$$ (a^2+2a+1)\\cdot \\frac{1}{a+1}\\space при \\space a=4.$$[[fill_choice_big-1709]]","widgets":{"fill_choice_big-1709":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$1$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Прежде чем подставлять значение переменной $\\textcolor{purple}{a},$ упростим выражение. Первый множитель свернем по формуле сокращенного умножения «квадрат суммы»:$$\\textcolor{blue}{a}^\\textcolor{coral}{2}+2\\textcolor{blue}{a}\\cdot \\textcolor{darkgreen}{1}+\\textcolor{darkgreen}{1}^\\textcolor{coral}{2}=(\\textcolor{blue}{a}+\\textcolor{darkgreen}{1})^\\textcolor{coral}{2}$$","Произведем умножение:$$(\\textcolor{orange}{a+1})^{\\cancel{2}} \\cdot \\frac{1}{\\cancel{\\textcolor{orange}{a+1}}}=\\textcolor{purple}{a}+1$$","В полученную дробь подставим значение переменной и произведем вычисления:$$\\textcolor{purple}{4}+1=5$$"],"id":"2"},{"content":"Найдите значение выражения:$$ \\frac{x^2-16}{8+x}:(x-4)\\space при \\space x=2.$$[[fill_choice_big-2336]]","widgets":{"fill_choice_big-2336":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.6$","$2$","$1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Прежде чем подставлять значение переменной $\\textcolor{purple}{x},$ упростим выражение. Числитель первой дроби распишем по формуле сокращенного умножения «разность квадратов»:$$\\textcolor{blue}{x}^\\textcolor{coral}{2}-\\textcolor{darkgreen}{4}^\\textcolor{coral}{2}=(\\textcolor{blue}{x}-\\textcolor{darkgreen}{4})(\\textcolor{blue}{x}+\\textcolor{darkgreen}{4})$$","Произведем деление:$$ \\frac{(x-4)(x+4)}{8+x}:(x-4)=$$ $$=\\frac{(\\cancel{\\textcolor{orange}{x-4}})(x+4)}{8+x} \\cdot \\frac{1}{\\cancel{\\textcolor{orange}{x-4}}}=\\frac{\\textcolor{purple}{x}+4}{8+\\textcolor{purple}{x}}$$","В полученную дробь подставим значение переменной и произведем вычисления:$$\\frac{\\textcolor{purple}{2}+4}{8+\\textcolor{purple}{2}}=\\frac{6}{10}=0.6$$"],"id":"2"},{"content":"Найдите значение выражения:$$ \\frac{10-2m}{3} \\cdot \\frac{m^2}{5-m} \\space при \\space m=6.$$[[fill_choice_big-1322]]","widgets":{"fill_choice_big-1322":{"type":"fill_choice_big","options":["$24$","$1$","$\\frac{1}{6}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Прежде чем подставлять значение переменной $\\textcolor{purple}{m},$ упростим выражение. В числителе первой дроби вынесем общий множитель за скобки:$$ \\frac{10-2m}{3}= \\frac{2(5-m)}{3}$$","Выполним умножение дробей:$$\\frac{2(\\cancel{\\textcolor{orange}{5-m}})}{3} \\cdot \\frac{m^2}{\\cancel{\\textcolor{orange}{5-m}}} = \\frac{2\\textcolor{purple}{m}^2}{3} $$","В полученную дробь подставим значение переменной и произведем вычисления:$$\\frac{2\\cdot \\textcolor{purple}{6}^2}{3}=\\frac{72}{3}=24$$"],"id":"2"},{"content":"Грузовик доставил посылку из пункта $A$ в пункт $B$ со скоростью $\\textcolor{blue}{60} \\space км/ч.$ Обратно он ехал налегке со скоростью $\\textcolor{darkgreen}{80} \\space км/ч.$ Найдите среднюю скоростью грузовика на всем пути следования.[[image-1]][[fill_choice_big-1085]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/gruzoperevozki-dostavka-gazel-01-1.svg","width":"400"},"fill_choice_big-1085":{"type":"fill_choice_big","options":["$68\\frac{4}{7}$","$70$","$71\\frac{3}{10}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Пусть расстояние от пункта $A$ до пункта $B$ равно $\\textcolor{coral}{s},$ тогда весь путь, пройденный грузовиком, будет равен $2\\textcolor{coral}{s}.$<br />Время движения вперед будет равно: $\\frac{\\textcolor{coral}{s}}{\\textcolor{blue}{60}},$ а время движения назад — $\\frac{\\textcolor{coral}{s}}{\\textcolor{darkgreen}{80}}.$","Чтобы найти среднюю скорость, нужно разделить все расстояние на все время движения:$$v_{ср}=\\frac{2s}{\\frac{s}{60}+\\frac{s}{80}}=\\frac{2\\cancel{\\textcolor{orange}{s}}}{\\cancel{\\textcolor{orange}{s}}(\\frac{1}{60}+\\frac{1}{80})}$$","Производим вычисления:$$\\frac{2}{\\frac{1}{60}^{(4}+\\frac{1}{80}^{(3}}=\\frac{2}{\\frac{\\textcolor{blue}{7}}{\\textcolor{green}{240}}}=2 \\cdot \\frac{\\textcolor{green}{240}}{\\textcolor{blue}{7}}=\\frac{480}{7}=68\\frac{4}{7}$$"],"id":"3"},{"content":"Мастер выполняет заказ на изготовление детали за $\\textcolor{blue}{2}$ часа, а его ученик — за $\\textcolor{darkgreen}{6}$ часов. За сколько часов изготовят $\\textcolor{purple}{две}$ детали мастер и ученик, работая совместно?[[image-6]][[fill_choice_big-333]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/obrazavr_konveer-01.svg","width":"400"},"fill_choice_big-333":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$4$","$4\\frac{2}{3}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Скорость работы мастера — $1$ деталь за $\\textcolor{blue}{2}$ часа, или $\\frac{1}{\\textcolor{blue}{2}}$ деталь в час.<br />Тогда скорость работы ученика — $\\frac{1}{\\textcolor{darkgreen}{6}}$ деталь в час.","Общая скорость работы мастера и ученика вместе: $$\\frac{1}{2}^{(3}+\\frac{1}{6}^{(1} = \\frac{3+1}{6}=\\frac{{}^{2}\\cancel{\\textcolor{orange}{4}}}{{}^{3}\\cancel{\\textcolor{orange}{6}}}=\\frac{2}{3}$$","Чтобы узнать количество затраченного времени, разделим всю работу на общую скорость работы мастера и ученика:$$\\frac{\\textcolor{purple}{2}}{\\frac{2}{3}}=\\cancel{2}\\cdot \\frac{3}{\\cancel{2}}=3 \\space часа$$"],"id":"3"},{"content":"Турист преодолел $\\textcolor{purple}{три}$ одинаковых участка пути. Первый участок он шел со скоростью $\\textcolor{blue}{2} \\space км/ч,$ второй — со скоростью $\\textcolor{green}{5} \\space км/ч,$ а третий участок он проехал на автомобиле со скоростью $\\textcolor{coral}{60} \\space км/ч.$ Найдите среднюю скорость туриста на всем пути движения.[[image-15]][[fill_choice_big-196]]","widgets":{"image-15":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/11/turist-ryukzak-shlyapa-tsvetokelki-les.svg","width":"400"},"fill_choice_big-196":{"type":"fill_choice_big","options":["$4\\frac{8}{43}$","$33.5$","$30\\frac{2}{3}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Запишем формулу для нахождения среднего гармонического:$$a_{ср}=\\frac{n}{\\frac{1}{a_1}+\\frac{1}{a_2}+\\frac{1}{a_3}}$$","Подставим значения скоростей на участках пути:$$v_{ср}=\\frac{\\textcolor{purple}{3}}{\\frac{1}{\\textcolor{blue}{2}}+\\frac{1}{\\textcolor{green}{5}}+\\frac{1}{\\textcolor{coral}{60}}}$$","Выполним действия в знаменателе:$$\\frac{1}{2}^{(30}+\\frac{1}{5}^{(12}+\\frac{1}{60}^{(1}=\\frac{30+12+1}{60}=\\frac{43}{60}$$","Подставим значение знаменателя в исходное уравнение и найдем среднюю скорость:$$v_{ср}=\\frac{3}{\\frac{\\textcolor{blue}{43}}{\\textcolor{darkgreen}{60}}}=3\\cdot \\frac{\\textcolor{darkgreen}{60}}{\\textcolor{blue}{43}}=\\frac{180}{43}=4\\frac{8}{43}$$"],"id":"3"}]}</textarea></pre></div>
