Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями

Узнаем, как складывать и вычитать рациональные дроби с разными знаменателями. Разберем примеры преобразования рациональных выражений.

Сумма и разность дробей

При сложении или вычитании дробей с разными знаменателями дроби приводятся к общему знаменателю, а затем производится необходимое действие.

Нахождение общего знаменателя

Наименьший общий знаменатель

Наименьший общий знаменатель должен делиться на все знаменатели дробей, для которых он находится.

Найдем наименьший общий знаменатель для дробей:$$\frac{x}{y^2} + \frac{3}{m}$$ Наименьший общий знаменатель должен содержать все буквы знаменателей дробей с теми же степенями, поэтому НОЗ будет: $$\frac{x}{\textcolor{darkgreen}{y^2}} + \frac{3}{\textcolor{orange}{m}}=\frac{}{\textcolor{darkgreen}{y^2}\textcolor{orange}{m}}$$

{"questions":[{"content":"Найдите наименьший общий знаменатель дробей: $$\\frac{a}{2b}\\space и \\space \\frac{4}{3a^2}$$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$6a^2b$","$2ab$","$5ab$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Найдем наименьшее общее кратное чисел $2$ и $3$ — $6.$","Также общий знаменатель должен содержать все буквы знаменателей: $ba^2.$","Получаем наименьший общий знаменатель: $6a^2b.$"]}]}

Пример 1

Сложим дроби:$$\frac{b}{3a}+\frac{2b}{4a^2}$$

Приведем дроби к общему знаменателю $\textcolor{darkgreen}{12a^2}$. Дополнительный множитель для первой дроби будет:$$12a^2:3a=\textcolor{blue}{4a}$$

Для второй дроби:$$12a^2:4a^2=\textcolor{coral}{3}$$ Домножим дроби на дополнительные множители и найдем сумму дробей с одинаковыми знаменателями: $$\frac{b \cdot \textcolor{blue}{4a}}{3a \cdot \textcolor{blue}{4a}}+\frac{2b\cdot \textcolor{coral}{3}}{4a^2\cdot \textcolor{coral}{3}}$$ $$\frac{4ab}{\textcolor{darkgreen}{12a^2}}+\frac{6b}{\textcolor{darkgreen}{12a^2}}=\frac{4ab+6b}{\textcolor{darkgreen}{12a^2}}$$

Пример 2

Найдем разность дробей:$$\frac{3}{a+b}-\frac{5}{b}$$

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель должен делиться на оба знаменателя, поэтому в данном случае общим знаменателем будет являться произведение знаменателей дробей: $$b(a+b)$$Дополнительный множитель для первой дроби будет $\textcolor{blue}{b},$ а для второй дроби — $\textcolor{coral}{(a+b)}.$
Домножим дроби на дополнительные множители и найдем разность дробей с одинаковыми знаменателями: $$\frac{3\textcolor{blue}{b}}{\textcolor{blue}{b}(a+b)}-\frac{5\textcolor{coral}{(a+b)}}{b\textcolor{coral}{(a+b)}}=\frac{3b-(5(a+b))}{b(a+b)}=$$ $$\frac{3b-5(a+b)}{b(a+b)}=\frac{\textcolor{orange}{3b}-5a\textcolor{orange}{-5b}}{b(a+b)}=\frac{-5a\textcolor{orange}{-2b}}{b(a+b)}$$

{"questions":[{"content":"Выполните действие:$$\\frac{6x-5}{9x}+\\frac{5+x}{6x}$$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{15x+5}{18x}$","$\\frac{7}{18}$","$\\frac{7}{15x}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение.","На $6x$ и $9x$ делится $18x$. Найдем дополнительные множители:$$18x:\\textcolor{blue}{9x}=\\textcolor{darkgreen}{2}$$ $$18x:\\textcolor{coral}{6x}=\\textcolor{purple}{3}$$","Домножим дроби на дополнительные множители, чтобы привести к общему знаменателю:$$\\frac{(6x-5)\\cdot \\textcolor{darkgreen}{2}}{\\textcolor{blue}{9x}\\cdot \\textcolor{darkgreen}{2}}+\\frac{(5+x)\\cdot \\textcolor{purple}{3}}{\\textcolor{coral}{6x}\\cdot \\textcolor{purple}{3}}$$ $$\\frac{12x-10}{18x}+\\frac{15+3x}{18x}$$","Выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями:$$\\frac{\\textcolor{orange}{12x}\\textcolor{lightblue}{-10+15}+\\textcolor{orange}{3x}}{18x}=\\frac{\\textcolor{orange}{15x}+\\textcolor{lightblue}{5}}{18x}$$"]}]}

Преобразование выражений

Рассмотрим примеры преобразования выражений с применением правил сложения и вычитания дробей.

Пример 3

Преобразуем разность:$$\frac{18}{x^2+2x}-\frac{3}{x}$$

В знаменателе первой дроби вынесем общий множитель за скобки: $$\frac{18}{x^2+2x}=\frac{18}{x(x+2)}$$ Приведем полученные дроби к общему знаменателю $x(x+2)$: $$\frac{18}{x(x+2)}-\frac{3 \cdot \textcolor{blue}{(x+2)}}{x \cdot \textcolor{blue}{(x+2)}}$$ Выполним вычитание:$$\frac{18}{\textcolor{darkgreen}{x(x+2)}}-\frac{3x+6}{\textcolor{darkgreen}{x(x+2)}}$$ $$\frac{18-(3x+6)}{\textcolor{darkgreen}{x(x+2)}}=\frac{18-3x-6}{x(x+2)}$$ Приведем подобные: $$\frac{\textcolor{orange}{18}-3x\textcolor{orange}{-6}}{x(x+2)}=\frac{\textcolor{orange}{12}-3x}{x(x+2)}$$

Пример 4

Упростим выражение:$$9+y-\frac{8}{2-y}$$

Представим $9+y$ в виде дроби со знаменателем $1$:$$\frac{9+y}{1}-\frac{8}{2-y}$$ Приведем дроби к общему знаменателю $\textcolor{blue}{2-y}$: $$\frac{(9+y)\cdot \textcolor{blue}{(2-y)}}{1 \cdot \textcolor{blue}{(2-y)}}-\frac{8}{\textcolor{blue}{2-y}}$$Раскроем скобки:$$\frac{18-9y+2y-y^2}{2-y}-\frac{8}{2-y}$$ Произведем вычитание: $$\frac{\textcolor{orange}{18}\textcolor{purple}{-9y+2y}-y^2\textcolor{orange}{-8}}{2-y}=\frac{\textcolor{orange}{10}\textcolor{purple}{-7y}-y^2}{2-y}$$

Пример 5

Докажем равенство: $$\frac{21}{x^3-4x}-\frac{5}{x}=\frac{15}{x(x^2-4)}-\frac{14+5x}{x(x^2-4)}$$

Выполним действия в левой части уравнения. В знаменателе первой дроби вынесем общий множитель за скобки:$$\frac{21}{x(x^2-4)}-\frac{5}{x}$$ Приведем дроби к общему знаменателю и вычтем: $$\frac{21}{x(x^2-4)}-\frac{5 \cdot \textcolor{blue}{(x^2-4)}}{x\textcolor{blue}{(x^2-4)}}$$Раскроем скобки:$$\frac{21-(5x^2+20)}{x(x^2-4)}=\frac{\textcolor{orange}{21}-5x^2\textcolor{orange}{-20}}{x(x^2-4)}$$ Приведем подобные: $$\textcolor{darkgreen}{\frac{1-5x^2}{x(x^2-4)}}$$ Найдем разность дробей в правой части уравнения: $$\frac{\textcolor{purple}{15}}{x(x^2-4)}-\frac{\textcolor{purple}{14}+5x^2}{x(x^2-4)}=\textcolor{coral}{\frac{1-5x^2}{x(x^2-4)}}$$ $$\textcolor{darkgreen}{\frac{1-5x^2}{x(x^2-4)}}=\textcolor{coral}{\frac{1-5x^2}{x(x^2-4)}}$$ Равенство доказано.

{"questions":[{"content":"Преобразуйте выражение:$$\\frac{13m+5n}{10n}-\\frac{6n-11m}{15n}$$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{61m+3n}{30n}$","$\\frac{7m-6n}{-5n}$","$\\frac{2m+11n}{30n}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание.","На $10n$ и $15n$ делится $30n$. Найдем дополнительные множители:$$30n:\\textcolor{blue}{10n}=\\textcolor{darkgreen}{3}$$ $$30n:\\textcolor{coral}{15n}=\\textcolor{purple}{2}$$","Домножим дроби на дополнительные множители, чтобы привести к общему знаменателю:$$\\frac{(13m+5n)\\cdot \\textcolor{darkgreen}{3}}{\\textcolor{blue}{10n}\\cdot \\textcolor{darkgreen}{3}}-\\frac{(6n-11m)\\cdot \\textcolor{purple}{2}}{\\textcolor{coral}{15n}\\cdot \\textcolor{purple}{2}}$$ $$\\frac{39m+15n}{30n}-\\frac{12n-22m}{30n}$$","Найдем разность дробей с одинаковыми знаменателями:$$\\frac{(39m+15n)-(12n-22m)}{30n}=$$ $$=\\frac{\\textcolor{orange}{39m}\\textcolor{purple}{+15n-12n}+\\textcolor{orange}{22m}}{30n}=$$ $$=\\frac{\\textcolor{orange}{61m}+\\textcolor{purple}{3n}}{30n}$$"]}]}

Часто задаваемые вопросы