Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями

Правила, применяемые при сложении или вычитании рациональных дробей с одинаковыми знаменателями, аналогичны правилам сложения или вычитания обыкновенных дробей.

Сложение рациональных дробей

Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же: $$\frac{\textcolor{blue}{a}}{\textcolor{darkgreen}{c}}+\frac{\textcolor{coral}{b}}{\textcolor{darkgreen}{c}}=\frac{\textcolor{blue}{a}+\textcolor{coral}{b}}{\textcolor{darkgreen}{c}}$$

Произведем сложение дробей:$$\frac{3a-6b}{\textcolor{darkgreen}{13a}}+\frac{2a+9b}{\textcolor{darkgreen}{13a}}=\frac{3a-6b+2a+9b}{\textcolor{darkgreen}{13a}}$$

Приведем подобные: $$\frac{\textcolor{blue}{3a}\textcolor{coral}{-6b}+\textcolor{blue}{2a}+\textcolor{coral}{9b}}{13a}=\frac{\textcolor{blue}{5a}+\textcolor{coral}{3b}}{13a}$$

Пример 1

Произведем сложение дробей:$$\frac{6x}{a-1}+\frac{3x}{1-a}$$

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Выполните действие:$$\\frac{a}{x}+\\frac{3a}{2x}$$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{5a}{2x}$","$\\frac{4a}{3x}$","$\\frac{3a}{3x}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Приведем дроби к общему знаменателю $2x$. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $\\textcolor{blue}{2}$:$$\\frac{a\\cdot \\textcolor{blue}{2}}{x\\cdot \\textcolor{blue}{2}}+\\frac{3a}{2x}=\\frac{2a}{2x}+\\frac{3a}{2x}$$","Сложим полученные дроби:$$\\frac{2a}{\\textcolor{darkgreen}{2x}}+\\frac{3a}{\\textcolor{darkgreen}{2x}}=\\frac{\\textcolor{coral}{2a}+\\textcolor{coral}{3a}}{\\textcolor{darkgreen}{2x}}=\\frac{\\textcolor{coral}{5a}}{2x}$$"]}]}

Вычитание рациональных дробей

Чтобы вычесть рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, надо вычесть их числители, а знаменатель оставить тем же: $$\frac{\textcolor{blue}{a}}{\textcolor{darkgreen}{c}}-\frac{\textcolor{coral}{b}}{\textcolor{darkgreen}{c}}=\frac{\textcolor{blue}{a}-\textcolor{coral}{b}}{\textcolor{darkgreen}{c}}$$

Произведем вычитание дробей:$$\frac{3b+a}{\textcolor{darkgreen}{11b+1}}-\frac{11b+8a}{\textcolor{darkgreen}{11b+1}}=\frac{(3b+a)-(11b+8a)}{\textcolor{darkgreen}{11b+1}}$$ Перед скобками стоит знак минус, поэтому раскроем скобки, поменяв знаки слагаемых на противоположные, и приведем подобные:$$\frac{\textcolor{coral}{3b}+\textcolor{blue}{a}\textcolor{coral}{-11b}\textcolor{blue}{-8a}}{11b+1}=\frac{\textcolor{coral}{-8b}\textcolor{blue}{-7a}}{11b+1}$$

Пример 2

Упростим выражение:$$\frac{6x}{y-5}+\frac{2x}{y-5}-\frac{8x-1}{y-5}$$

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Выполните действие:$$\\frac{2m}{n^2-8}-\\frac{5m}{n^2-8}$$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{-3m}{n^2-8}$","$\\frac{8m}{n^2-8}$","$\\frac{3m}{n^2-8}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["$$\\frac{2m}{\\textcolor{darkgreen}{n^2-8}}-\\frac{5m}{\\textcolor{darkgreen}{n^2-8}}=\\frac{2m-5m}{\\textcolor{darkgreen}{n^2-8}}$$","$$\\frac{\\textcolor{coral}{2m}-\\textcolor{coral}{5m}}{n^2-8}=\\frac{\\textcolor{coral}{-3m}}{n^2-8}$$"]}]}

Часто задаваемые вопросы