Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Практика

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"content":"Представьте в виде дроби:$$\\frac{7m}{2n}+\\frac{3m}{4n}$$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{17m}{4n}$","$\\frac{10m}{4n}$","$\\frac{10m}{6n}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение.","На $2n$ и $4n$ делится $4n$. Найдем дополнительные множители:$$4n:\\textcolor{blue}{2n}=\\textcolor{darkgreen}{2}$$ $$4n:\\textcolor{coral}{4n}=\\textcolor{purple}{1}$$","Домножим дроби на дополнительные множители, чтобы привести их к общему знаменателю:$$\\frac{7m \\cdot \\textcolor{darkgreen}{2}}{\\textcolor{blue}{2n} \\cdot \\textcolor{darkgreen}{2}}+\\frac{3m \\cdot \\textcolor{purple}{1}}{\\textcolor{coral}{4n} \\cdot \\textcolor{purple}{1}}$$ $$\\frac{14m }{\\textcolor{orange}{4n}}+\\frac{3m}{\\textcolor{orange}{4n}}$$","Выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями:$$\\frac{\\textcolor{green}{14m+3m} }{\\textcolor{orange}{4n}}=\\frac{\\textcolor{green}{17m}}{4n}$$"],"id":"0"},{"content":"Представьте в виде дроби:$$\\frac{x^2}{y}+\\frac{2x^2}{2z}$$[[fill_choice_big-40]]","widgets":{"fill_choice_big-40":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{x^2z+x^2y}{yz}$","$\\frac{3x^2}{2yz}$","$\\frac{x^2}{2yz}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение.","На $y$ и $2z$ делится $2yz$. Найдем дополнительные множители:$$2yz:\\textcolor{blue}{y}=\\textcolor{darkgreen}{2z}$$ $$2yz:\\textcolor{coral}{2z}=\\textcolor{purple}{y}$$","Домножим дроби на дополнительные множители, чтобы привести их к общему знаменателю:$$\\frac{x^2 \\cdot \\textcolor{darkgreen}{2z}}{\\textcolor{blue}{y} \\cdot \\textcolor{darkgreen}{2z}}+\\frac{2x^2 \\cdot \\textcolor{purple}{y}}{\\textcolor{coral}{2z} \\cdot \\textcolor{purple}{y}}$$ $$\\frac{2x^2z}{\\textcolor{orange}{2yz}}+\\frac{2x^2y}{\\textcolor{orange}{2yz}}$$","Выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями:$$\\frac{2x^2z+2x^2y}{\\textcolor{orange}{2yz}}=\\frac{\\cancel{2}(x^2z+x^2y)}{\\cancel{2}yz}=\\frac{x^2z+x^2y}{yz}$$"],"id":"0"},{"content":"Представьте в виде дроби:$$\\frac{21}{12a}+\\frac{5}{4b}$$[[fill_choice_big-55]]","widgets":{"fill_choice_big-55":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{7b+5a}{4ab}$","$\\frac{26}{12ab}$","$\\frac{26ab}{16ab}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение.","На $12a$ и $4b$ делится $12ab$. Найдем дополнительные множители:$$12ab:\\textcolor{blue}{12a}=\\textcolor{darkgreen}{b}$$ $$12ab:\\textcolor{coral}{4b}=\\textcolor{purple}{3a}$$","Домножим дроби на дополнительные множители, чтобы привести их к общему знаменателю:$$\\frac{21 \\cdot \\textcolor{darkgreen}{b}}{\\textcolor{blue}{12a} \\cdot \\textcolor{darkgreen}{b}}+\\frac{5 \\cdot \\textcolor{purple}{3a}}{\\textcolor{coral}{4b} \\cdot \\textcolor{purple}{3a}}$$ $$\\frac{21b}{\\textcolor{orange}{12ab}}+\\frac{15a}{\\textcolor{orange}{12ab}}$$","Выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями:$$\\frac{21b+15a}{\\textcolor{orange}{12ab}}=\\frac{{}^{1}\\cancel{3}(7b+5a)}{{}^{4}\\cancel{12}ab}=\\frac{7b+5a}{4ab}$$"],"id":"0"},{"content":"Выполните действие:$$\\frac{12}{x^3}-\\frac{12}{x}$$[[fill_choice_big-184]]","widgets":{"fill_choice_big-184":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{12-12x^2}{x^3}$","$0$","$\\frac{12}{x^2}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание.","На $x^3$ и $x$ делится $x^3$. Найдем дополнительные множители:$$x^3:\\textcolor{blue}{x^3}=\\textcolor{darkgreen}{1}$$ $$x^3:\\textcolor{coral}{x}=\\textcolor{purple}{x^2}$$","Домножим дроби на дополнительные множители, чтобы привести их к общему знаменателю:$$\\frac{12 \\cdot \\textcolor{darkgreen}{1} }{\\textcolor{blue}{x^3} \\cdot \\textcolor{darkgreen}{1} }-\\frac{12 \\cdot \\textcolor{purple}{x^2}}{\\textcolor{coral}{x} \\cdot \\textcolor{purple}{x^2}}$$ $$\\frac{12}{x^3}-\\frac{12x^2}{x^3}$$","Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:$$\\frac{12-12x^2}{x^3}$$"],"id":"1"},{"content":"Выполните действие:$$\\frac{x^2}{8y}-\\frac{1-x}{6y^2}$$[[fill_choice_big-249]]","widgets":{"fill_choice_big-249":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{3x^2y-8+8x}{24y^2}$","$\\frac{x^2y-x-1}{24y^2}$","$\\frac{3x^2-1-x}{24y^2}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание.","На $8y$ и $6y^2$ делится $24y^2$. Найдем дополнительные множители:$$24y^2:\\textcolor{blue}{8y}=\\textcolor{darkgreen}{3y}$$ $$24y^2:\\textcolor{coral}{6y^2}=\\textcolor{purple}{8}$$","Домножим дроби на дополнительные множители, чтобы привести их к общему знаменателю:$$\\frac{x^2 \\cdot \\textcolor{darkgreen}{3y}}{\\textcolor{blue}{8y} \\cdot \\textcolor{darkgreen}{3y}}-\\frac{(1-x) \\cdot \\textcolor{purple}{8}}{\\textcolor{coral}{6y^2} \\cdot \\textcolor{purple}{8}}$$ $$\\frac{3x^2y}{24y^2}-\\frac{8-8x}{24y^2}$$","Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:$$\\frac{3x^2y-(8-8x)}{24y^2}=\\frac{3x^2y-8+8x}{24y^2}$$"],"id":"1"},{"content":"Выполните действие:$$\\frac{x}{a^2b}-\\frac{y+2}{ab^2}$$[[fill_choice_big-16]]","widgets":{"fill_choice_big-16":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{bx-ay-2a}{a^2b^2}$","$\\frac{x-y-a}{a^2b^2}$","$\\frac{2x-2y}{a^2b^2}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание.","На $a^2b$ и $ab^2$ делится $a^2b^2$. Найдем дополнительные множители:$$a^2b^2:\\textcolor{blue}{a^2b}=\\textcolor{darkgreen}{b}$$ $$a^2b^2:\\textcolor{coral}{ab^2}=\\textcolor{purple}{a}$$","Домножим дроби на дополнительные множители, чтобы привести их к общему знаменателю:$$\\frac{x \\cdot \\textcolor{darkgreen}{b} }{\\textcolor{blue}{a^2b} \\cdot \\textcolor{darkgreen}{b}}-\\frac{(y+2)\\cdot \\textcolor{purple}{a}}{\\textcolor{coral}{ab^2}\\cdot \\textcolor{purple}{a}}$$ $$\\frac{bx}{a^2b^2}-\\frac{ay+2a}{a^2b^2}$$","Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:$$\\frac{bx-(ay+2a)}{a^2b^2}=\\frac{bx-ay-2a}{a^2b^2}$$"],"id":"1"},{"content":"Преобразуйте в дробь выражение:$$\\frac{x}{x+3}-\\frac{2x}{10}$$[[fill_choice_big-215]]","widgets":{"fill_choice_big-215":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{2x-x^2}{5(x+3)}$","$\\frac{-x}{10(x+3)}$","$\\frac{3x}{5(x+3)}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание.","На оба знаменателя делится произведение данных знаменателей:$$10(x+3)$$Поэтому для первой дроби дополнительный множитель будет $\\textcolor{blue}{10},$ а для второй — $\\textcolor{coral}{x+3}.$","$$\\frac{x \\cdot \\textcolor{blue}{10}}{(x+3)\\cdot\\textcolor{blue}{10}}-\\frac{2x\\cdot(\\textcolor{coral}{x+3})}{10\\cdot(\\textcolor{coral}{x+3})}$$ $$\\frac{10x}{10(x+3)}-\\frac{2x^2+6x}{10(x+3)}$$","$$\\frac{\\textcolor{darkgreen}{10x}-2x^2\\textcolor{darkgreen}{-6x}}{10(x+3)}=\\frac{\\textcolor{darkgreen}{4x}-2x^2}{10(x+3)}$$ $$\\frac{{}^{1}\\cancel{2}(2x-x^2)}{{}^{5}\\cancel{10}(x+3)}=\\frac{2x-x^2}{5(x+3)}$$"],"id":"2"},{"content":"Преобразуйте в дробь выражение:$$\\frac{2}{y+x}-\\frac{c}{y-x}$$[[fill_choice_big-395]]","widgets":{"fill_choice_big-395":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{2y-2x-cx-cy}{y^2-x^2}$","$\\frac{2-c}{y^2-x^2}$","$\\frac{2y-2x}{y^2-x^2}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание.","На оба знаменателя делится произведение данных знаменателей:$$(y+x)(y-x)$$Поэтому для первой дроби дополнительный множитель будет $\\textcolor{blue}{y-x},$ а для второй — $\\textcolor{coral}{y+x}.$","$$\\frac{2 \\cdot (\\textcolor{blue}{y-x})}{(y+x)\\cdot(\\textcolor{blue}{y-x})}-$$ $$\\frac{c \\cdot(\\textcolor{coral}{y+x})}{(y-x) \\cdot (\\textcolor{coral}{y+x})}$$ В числителях раскроем скобки, а знаменатели свернем по формуле разности квадратов:$$\\frac{2y-2x}{\\textcolor{darkgreen}{y^2-x^2}}-\\frac{cx+cy}{\\textcolor{darkgreen}{y^2-x^2}}$$","$$\\frac{2y-2x-(cx+cy)}{\\textcolor{darkgreen}{y^2-x^2}}=\\frac{2y-2x-cx-cy}{y^2-x^2}$$"],"id":"2"},{"content":"Преобразуйте в дробь выражение:$$\\frac{t}{26t+13}-\\frac{t-8}{13}$$[[fill_choice_big-521]]","widgets":{"fill_choice_big-521":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{2t^2+16t+8}{13(2t+1)}$","$\\frac{8}{13(2t+1)}$","$\\frac{2t^2-8}{13(2t+1)}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание.","В знаменателе первой дроби вынесем общий множитель за скобки:$$26t+13=13(2t+1)$$Знаменатель первой дроби делится на оба данных знаменателя, поэтому он и будет наименьшим общим знаменателем. Тогда дополнительный множитель для первой дроби — $\\textcolor{blue}{1},$ а для второй дроби — $\\textcolor{coral}{2t+1}.$","$$\\frac{t\\cdot \\textcolor{blue}{1}}{13(2t+1)\\cdot \\textcolor{blue}{1}}-\\frac{(t-8)(\\textcolor{coral}{2t+1})}{13(\\textcolor{coral}{2t+1})}$$ $$\\frac{t-((t-8)(2t+1))}{13(2t+1)}$$","Раскроем скобки и приведем подобные:$$\\frac{t-(2t^2+t-16t-8)}{13(2t+1)}=\\frac{\\textcolor{darkgreen}{\\cancel{t}}-2t^2\\textcolor{darkgreen}{\\cancel{-t}}+16t+8}{13(2t+1)}=$$ $$=\\frac{2t^2+16t+8}{13(2t+1)}$$"],"id":"2"},{"content":"Представьте выражение в виде дроби:$$m+\\frac{n}{2}$$[[fill_choice_big-734]]","widgets":{"fill_choice_big-734":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{2m+n}{2}$","$\\frac{m+n}{2}$","$\\frac{2m+2n}{2}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Представим $\\textcolor{coral}{m}$ в виде дроби, затем приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение.","$$\\textcolor{coral}{\\frac{m}{1}}+\\frac{n}{2}=\\frac{m \\cdot 2}{1  \\cdot 2}+\\frac{n}{2}$$ $$\\frac{2m}{\\textcolor{darkgreen}{2}}+\\frac{n}{\\textcolor{darkgreen}{2}}=\\frac{2m+n}{\\textcolor{darkgreen}{2}}$$"],"id":"3"},{"content":"Представьте выражение в виде дроби:$$\\frac{t+5}{11+t}+5-t$$[[fill_choice_big-921]]","widgets":{"fill_choice_big-921":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{60-5t-t^2}{11+t}$","$\\frac{10}{11+t}$","$\\frac{-t^2+30}{11+t}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Представим $\\textcolor{coral}{5-t}$ в виде дроби, затем приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение.","$$\\frac{t+5}{11+t}+\\textcolor{coral}{\\frac{5-t}{1}}=$$ $$=\\frac{t+5}{11+t}+\\frac{(5-t)\\cdot(\\textcolor{blue}{11+t})}{1 \\cdot (\\textcolor{blue}{11+t})}=$$ $$=\\frac{t+5}{\\textcolor{darkgreen}{11+t}}+\\frac{55+5t-11t-t^2}{\\textcolor{darkgreen}{11+t}}=$$ $$=\\frac{\\textcolor{orange}{t}+5+55\\textcolor{orange}{+5t-11t}-t^2}{\\textcolor{darkgreen}{11+t}}$$","Приведем подобные:$$\\frac{60\\textcolor{orange}{-5t}-t^2}{11+t}$$"],"id":"3"},{"content":"Представьте выражение в виде дроби:$$101+\\frac{2y}{x^2}$$[[fill_choice_big-1204]]","widgets":{"fill_choice_big-1204":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{101x^2+2y}{x^2}$","$\\frac{103y}{x^2}$","$\\frac{101+2y}{x^2}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Представим $\\textcolor{coral}{101}$ в виде дроби, затем приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение.","$$\\textcolor{coral}{\\frac{101}{1}}+\\frac{2y}{x^2}=\\frac{101\\cdot \\textcolor{blue}{x^2}}{1\\cdot \\textcolor{blue}{x^2}}+\\frac{2y}{x^2}=$$ $$=\\frac{101x^2}{\\textcolor{darkgreen}{x^2}}+\\frac{2y}{\\textcolor{darkgreen}{x^2}}=\\frac{101x^2+2y}{\\textcolor{darkgreen}{x^2}}$$"],"id":"3"},{"content":"Найдите наименьший общий знаменатель дробей:$$\\frac{n+5}{m^3} \\space и \\space \\frac{8(n^2-3)}{2m}$$[[fill_choice_big-1476]]","widgets":{"fill_choice_big-1476":{"type":"fill_choice_big","options":["$2m^3$","$2$","$m^4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Наименьший общий знаменатель должен делиться на каждый знаменатель данных дробей.","На $m^3$ и $2m$ делится $2m^3.$"],"id":"4"},{"content":"Найдите наименьший общий знаменатель дробей:$$\\frac{2a}{c+5} \\space и \\space \\frac{b-1}{c}$$[[fill_choice_big-1642]]","widgets":{"fill_choice_big-1642":{"type":"fill_choice_big","options":["$c(c+5)$","$c+5$","$c^2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Наименьший общий знаменатель должен делиться на каждый знаменатель данных дробей.","На $\\textcolor{blue}{c+5}$ и $\\textcolor{coral}{c}$ делится произведение знаменателей дробей: $\\textcolor{coral}{c} \\textcolor{blue}{(c+5)}.$"],"id":"4"},{"content":"Найдите наименьший общий знаменатель дробей:$$\\frac{15}{y^2+3y} \\space и \\space \\frac{x^4}{y^2-9}$$[[fill_choice_big-2087]]","widgets":{"fill_choice_big-2087":{"type":"fill_choice_big","options":["$y(y+3)(y-3)$","$y^2-9$","$y(y+3)^2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["В знаменателе первой дроби вынесем общий множитель за скобки:$$y^2+3y=\\textcolor{blue}{y(y+3)}$$Знаменатель второй дроби разложим по формуле разности квадратов:$$y^2-9=\\textcolor{coral}{(y+3)(y-3)}$$","$$\\frac{15}{\\textcolor{blue}{y(y+3)}} \\space и \\space \\frac{x^4}{\\textcolor{coral}{(y+3)(y-3)}}$$Наименьший общий знаменатель должен делиться на каждый знаменатель данных дробей.","На $\\textcolor{orange}{y}\\textcolor{darkgreen}{(y+3)}$ и $\\textcolor{darkgreen}{(y+3)}\\textcolor{purple}{(y-3)}$ делится $\\textcolor{orange}{y}\\textcolor{darkgreen}{(y+3)}\\textcolor{purple}{(y-3)}.$"],"id":"4"}]}</textarea></pre></div>