3. Логические выражения: все задания

Дизъюнкция ложна, когда оба входящих в неё высказывания ложны.

• Высказывание НЕ $(x<8)$ ложно, когда $x<8.$
• Высказывание $(x<7)$ ложно, когда $x\geqslant7.$

Следовательно, одновременно должны выполняться условия: $$x\geqslant7,$$ $$x<8.$$

Единственное натуральное число, удовлетворяющее этим условиям: $$x=7.$$

Дизъюнкция ложна, когда оба входящих в неё высказывания ложны.

• Высказывание $(x\geqslant3)$ ложно, когда $x<3.$
• Высказывание НЕ $(x\geqslant2)$ ложно, когда $x\geqslant2.$

Следовательно, одновременно должны выполняться условия: $$x\geqslant2,$$ $$x<3.$$

Единственное натуральное число, удовлетворяющее этим условиям: $x=2.$ Наименьшее подходящее значение: $x=2$.

Высказывание истинно, когда первая цифра числа нечётная и сумма его цифр нечётная.

Проверим числа.

Для числа $638$ первая цифра $6$ чётная, поэтому число не подходит.

Для числа $442$ первая цифра $4$ чётная, поэтому число не подходит.

Для числа $357$ первая цифра $3$ нечётная. Сумма цифр: $3+5+7=15.$

Число $15$ нечётное, поэтому число $357$ подходит.

Для числа $123$ первая цифра $1$ нечётная, но сумма цифр: $$1+2+3=6.$$

Число $6$ чётное, поэтому число не подходит.

Подходящее число: $$357.$$

Дизъюнкция ложна, когда оба входящих в неё высказывания ложны.

Высказывание НЕ $(\text{Число}>50)$ ложно, когда $\text{Число}>50.$

Высказывание «Число чётное» ложно, когда число нечётное.

По условию число должно быть трёхзначным и больше $121$. Наименьшее число, большее $121$, равно $122$, но оно чётное.

Следующее число $123$ — нечётное. Наименьшее подходящее число: $123.$

Отрицание дизъюнкции истинно, когда оба входящих в неё высказывания ложны.

Высказывание $(x\geqslant15)$ ложно, когда $x<15.$

Высказывание $(x<7)$ ложно, когда $x\geqslant7.$

Следовательно, одновременно должны выполняться условия: $$x\geqslant7,$$ $$x<15.$$

Наименьшее натуральное число, удовлетворяющее этим условиям: $x=7.$

Дизъюнкция ложна, когда оба входящих в неё высказывания ложны.

Высказывание $\text{НЕ}\,\bigl((x<8)\ \text{И}\ (x<21)\bigr)$ ложно, когда $(x<8)\ \text{И}\ (x<21)$ истинно.

Так как из условия $x<8$ следует условие $x<21$, получаем: $x<8.$

Высказывание «$x$ нечётное» ложно, когда $x$ чётное.

Следовательно, подходят натуральные чётные числа, меньшие $8$: $2,\ 4,\ 6.$

Количество таких чисел: $3.$

Конъюнкция истинна, когда оба входящих в неё высказывания истинны.

Высказывание «НЕ (Первая цифра нечётная)» истинно, когда первая цифра числа чётная.

Наибольшая возможная первая цифра трёхзначного числа, удовлетворяющая этому условию, равна $8$.

Проверим числа, начиная с наибольшего трёхзначного числа с первой цифрой $8$.

Для числа $899$ сумма цифр равна: $8+9+9=26.$

Число $26$ не делится на $3$, поэтому $899$ не подходит.

Для числа $898$ сумма цифр равна: $8+9+8=25.$

Число $25$ не делится на $3$, поэтому $898$ не подходит.

Для числа $897$ сумма цифр равна: $8+9+7=24.$

Число $24$ делится на $3$, поэтому $897$ делится на $3$.

Наибольшее подходящее число: $897.$

Дизъюнкция ложна, когда оба входящих в неё высказывания ложны.

Высказывание $\text{НЕ}\,\bigl((x<8)\ \text{И}\ (x<21)\bigr)$ ложно, когда $(x<8)\ \text{И}\ (x<21)$ истинно.

Так как из условия $x<8$ следует условие $x<21$, получаем: $x<8.$

Высказывание «$x$ нечётное» ложно, когда $x$ чётное.

Следовательно, подходят натуральные чётные числа, меньшие $8$: $2,\ 4,\ 6.$

Наибольшее подходящее число: $x=6.$

Конъюнкция истинна, когда оба входящих в неё высказывания истинны.

Высказывание «НЕ $(x$ чётное$)$» истинно, когда число $x$ нечётное.

Среди двузначных чисел от $10$ до $99$ имеется $45$ нечётных чисел.

Из них исключим нечётные числа, кратные $5$: $$15,\ 25,\ 35,\ 45,\ 55,\ 65,\ 75,\ 85,\ 95.$$

Количество таких чисел: $9.$

Следовательно, количество подходящих чисел: $45-9=36.$

Дизъюнкция ложна, когда оба входящих в неё высказывания ложны.

Высказывание $\text{НЕ}\,(x>2)$ ложно, когда $x>2.$

Высказывание $(x<4)\ \text{И}\ (x>1)$ ложно. При условии $x>2$ неравенство $x>1$ истинно, поэтому должно быть ложно неравенство $x<4$: $$x\geqslant4.$$

Следовательно, одновременно должны выполняться условия: $$x>2,$$ $$x\geqslant4.$$

Наименьшее натуральное число, удовлетворяющее этим условиям: $x=4.$

Конъюнкция истинна, когда оба входящих в неё высказывания истинны.

Высказывание $\text{НЕ}\,(\text{Число нечётное})$ истинно, когда число чётное.

Высказывание $\text{НЕ}\,(\text{Число}>18)$ истинно, когда $\text{Число}\leqslant18.$

Следовательно, подходят натуральные чётные числа, не превышающие $18$: $$2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12,\ 14,\ 16,\ 18.$$

Количество таких чисел: $9.$

Конъюнкция истинна, когда оба входящих в неё высказывания истинны.

Высказывание $\text{НЕ}\,(x\text{ нечётное})$ истинно, когда число $x$ чётное.

Высказывание $\text{НЕ}\,(x>51)$ истинно, когда $x\leqslant51.$

Следовательно, подходят двузначные чётные числа от $10$ до $50$: $$10,\ 12,\ 14,\ \ldots,\ 48,\ 50.$$

Количество таких чисел: $$\frac{50-10}{2}+1=21.$$

Конъюнкция истинна, когда оба входящих в неё высказывания истинны.

Следовательно, первая цифра числа должна быть чётной, а сумма цифр — нечётной.

Проверим числа.

Для числа $648$ первая цифра $6$ чётная. Сумма цифр: $6+4+8=18.$

Число $18$ чётное, поэтому число $648$ не подходит.

Для числа $452$ первая цифра $4$ чётная. Сумма цифр: $4+5+2=11.$

Число $11$ нечётное, поэтому число $452$ подходит.

Для числа $357$ первая цифра $3$ нечётная, поэтому число не подходит.

Для числа $123$ первая цифра $1$ нечётная, поэтому число не подходит.

Подходящее число: $452.$

Конъюнкция истинна, когда оба входящих в неё высказывания истинны.

Высказывание $\text{НЕ}\,(\text{Число нечётное})$ истинно, когда число чётное.

Следовательно, число должно быть чётным и кратным $3$, то есть кратным $6$.

Наименьшее трёхзначное число равно $100$, но оно не делится на $6$.

Следующее чётное число $102$ делится на $3$, так как $1+0+2=3.$

Наименьшее подходящее число: $102.$

Конъюнкция истинна, когда все входящие в неё высказывания истинны.

Высказывание $\text{НЕ}\,(x\geqslant15)$ истинно, когда $x<15.$

Высказывание $\text{НЕ}\,(x<8)$ истинно, когда $x\geqslant8.$

Следовательно, одновременно должны выполняться условия:

• $8\leqslant x<15,$
• $x\text{ — нечётное}.$

Подходящие натуральные числа: $$9,\ 11,\ 13.$$

Количество таких чисел: $3.$

Дизъюнкция ложна, когда оба входящих в неё высказывания ложны.

Высказывание $x\leqslant7$ ложно, когда $x>7.$

При выполнении условия $x>7$ высказывание $\text{НЕ}\,(x\geqslant6)$ ложно, поэтому конъюнкция $\text{НЕ}\,(x\geqslant6)\ \text{И}\ \text{НЕ}\,(x=5)$ также ложна.

Следовательно, должно выполняться условие: $x>7.$

Наименьшее натуральное число, удовлетворяющее этому условию: $x=8.$

Конъюнкция истинна, когда оба входящих в неё высказывания истинны.

Высказывание $x<3$ истинно, когда $x<3.$

Высказывание $\text{НЕ}\,(x<2)$ истинно, когда $x\geqslant2.$

Следовательно, одновременно должны выполняться условия: $x\geqslant2,$ $x<3.$

Единственное натуральное число, удовлетворяющее этим условиям: $x=2.$

Конъюнкция истинна, когда оба входящих в неё высказывания истинны.

Высказывание $\text{НЕ}\,(\text{Число нечётное})$ истинно, когда число чётное.

Высказывание $\text{НЕ}\,(\text{Число}>14)$ истинно, когда $\text{Число}\leqslant14.$

Следовательно, подходят натуральные чётные числа, не превышающие $14$: $$2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12,\ 14.$$

Количество таких чисел: $7.$

Конъюнкция истинна, когда оба входящих в неё высказывания истинны.

Высказывание $x<5$ истинно, когда $x<5.$

Высказывание $\text{НЕ}\,(x<4)$ истинно, когда $x\geqslant4.$

Следовательно, одновременно должны выполняться условия: $x\geqslant4,$ $x<5.$

Единственное натуральное число, удовлетворяющее этим условиям: $x=4.$

Конъюнкция истинна, когда все входящие в неё высказывания истинны.

Высказывание $\text{НЕ}\,(x\geqslant15)$ истинно, когда $x<15.$

Высказывание $\text{НЕ}\,(x<8)$ истинно, когда $x\geqslant8.$

Следовательно, одновременно должны выполняться условия: $8\leqslant x<15,$ $x\text{ — нечётное}.$

Подходящие натуральные числа: $$9,\ 11,\ 13.$$

Наибольшее подходящее число: $x=13.$