Четырехугольники

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Решавр ищет число сторон выпуклого многоугольника, сумма углов которого равна $900^\\circ$: «$900^\\circ : 180^\\circ = 5$, значит, это пятиугольник». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Сторон на две больше: $5 + 2 = 7$","Сторон на две меньше: $5-2 = 3$","Ошибки нет: у пятиугольника сумма углов $900^\\circ$","Сторон на три больше: $5 + 3 = 8$"],"explanations":["","Треугольников на два меньше, чем сторон, а не наоборот: у треугольника сумма $180^\\circ$","У пятиугольника сумма углов $(5-2) \\cdot 180^\\circ = 540^\\circ$","$n-3$ — число диагоналей из вершины; у восьмиугольника сумма углов $1080^\\circ$"],"answer":[0]}},"hints":["Диагонали из одной вершины делят $n$-угольник на $n-2$ треугольника, поэтому сумма углов равна $(n-2) \\cdot 180^\\circ$.","$900 : 180 = 5$ — это число треугольников $n-2$. Значит, $n = 7$: проверка $(7-2) \\cdot 180^\\circ = 900^\\circ$."],"step":1},{"id":"1","content":"Решавр ищет число сторон выпуклого многоугольника, сумма углов которого равна $1440^\\circ$: «$1440^\\circ : 180^\\circ = 8$, значит, это восьмиугольник». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Сторон на две меньше: $8-2 = 6$","Сторон на три больше: $8 + 3 = 11$","Сторон на две больше: $8 + 2 = 10$","Ошибки нет: у восьмиугольника сумма углов $1440^\\circ$"],"explanations":["Треугольников на два меньше, чем сторон, а не наоборот: у шестиугольника сумма $720^\\circ$","$n-3$ — число диагоналей из вершины; у 11-угольника сумма углов $1620^\\circ$","","У восьмиугольника сумма углов $(8-2) \\cdot 180^\\circ = 1080^\\circ$"],"answer":[2]}},"hints":["Диагонали из одной вершины делят $n$-угольник на $n-2$ треугольника, поэтому сумма углов равна $(n-2) \\cdot 180^\\circ$.","$1440 : 180 = 8$ — это число треугольников $n-2$. Значит, $n = 10$: проверка $(10-2) \\cdot 180^\\circ = 1440^\\circ$."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-1]]В невыпуклом четырехугольнике $ABCD$ вершина $D$ вдавлена внутрь, $\\angle A = 30^\\circ$, $\\angle B = 40^\\circ$, $\\angle C = 50^\\circ$ (см. рисунок). Решавр: «$\\angle D = 360^\\circ-120^\\circ = 240^\\circ$. Угол не бывает больше $180^\\circ$, значит, $\\angle D = 360^\\circ-240^\\circ = 120^\\circ$». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/obz1bgdn1sir.svg"},"choice-3":{"type":"choice","options":["Нужно взять смежный угол: $\\angle D = 60^\\circ$","Сумма углов невыпуклого не $360^\\circ$, а меньше","Ошибки нет: угол четырехугольника меньше $180^\\circ$","У вдавленной вершины угол больше $180^\\circ$: $\\angle D = 240^\\circ$"],"explanations":["Смежный угол лежит вне фигуры; с ним сумма углов равна $180^\\circ$, а не $360^\\circ$","Невыпуклый четырехугольник делится внутренней диагональю на два треугольника: сумма тоже $360^\\circ$","Это верно только для выпуклого; к тому же $30^\\circ + 40^\\circ + 50^\\circ + 120^\\circ = 240^\\circ$, а не $360^\\circ$",""],"answer":[3]}},"hints":["Сумма углов любого четырехугольника, и невыпуклого тоже, равна $360^\\circ$: он делится внутренней диагональю на два треугольника.","У вдавленной вершины фигура лежит внутри угла больше $180^\\circ$: $\\angle D = 240^\\circ$. Проверка: $30^\\circ + 40^\\circ + 50^\\circ + 240^\\circ = 360^\\circ$."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-2]]В невыпуклом четырехугольнике $ABCD$ вершина $D$ вдавлена внутрь, $\\angle A = 20^\\circ$, $\\angle B = 50^\\circ$, $\\angle C = 35^\\circ$ (см. рисунок). Решавр: «$\\angle D = 360^\\circ-105^\\circ = 255^\\circ$. Угол не бывает больше $180^\\circ$, значит, $\\angle D = 360^\\circ-255^\\circ = 105^\\circ$». В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/0kf7rvdewd2q.svg"},"choice-4":{"type":"choice","options":["У вдавленной вершины угол больше $180^\\circ$: $\\angle D = 255^\\circ$","Сумма углов невыпуклого не $360^\\circ$, а меньше","Ошибки нет: угол четырехугольника меньше $180^\\circ$","Нужно взять смежный угол: $\\angle D = 75^\\circ$"],"explanations":["","Невыпуклый четырехугольник делится внутренней диагональю на два треугольника: сумма тоже $360^\\circ$","Это верно только для выпуклого; к тому же $20^\\circ + 50^\\circ + 35^\\circ + 105^\\circ = 210^\\circ$, а не $360^\\circ$","Смежный угол лежит вне фигуры; с ним сумма углов равна $180^\\circ$, а не $360^\\circ$"],"answer":[0]}},"hints":["Сумма углов любого четырехугольника, и невыпуклого тоже, равна $360^\\circ$: он делится внутренней диагональю на два треугольника.","У вдавленной вершины фигура лежит внутри угла больше $180^\\circ$: $\\angle D = 255^\\circ$. Проверка: $20^\\circ + 50^\\circ + 35^\\circ + 255^\\circ = 360^\\circ$."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-3]]В параллелограмме $ABCD$ высота $BH$ образует со стороной $AB$ угол $ABH = 28^\\circ$ (см. рисунок). Найдите тупой угол параллелограмма в градусах. [[input-1]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/omxujwyf2e6l.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"118"}},"hints":["В прямоугольном треугольнике $ABH$: $\\angle A = 90^\\circ-28^\\circ = 62^\\circ$.","Тупой угол — соседний: $\\angle B = 180^\\circ-62^\\circ = 118^\\circ$."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-4]]В параллелограмме $ABCD$ высота $BH$ образует со стороной $AB$ угол $ABH = 35^\\circ$ (см. рисунок). Найдите тупой угол параллелограмма в градусах. [[input-2]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/hkfp142o9b5b.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":"125"}},"hints":["В прямоугольном треугольнике $ABH$: $\\angle A = 90^\\circ-35^\\circ = 55^\\circ$.","Тупой угол: $\\angle B = 180^\\circ-55^\\circ = 125^\\circ$."],"step":1},{"id":"4","content":"В четырехугольнике $ABCD$ известно: $BC \\parallel AD$, $AB = CD$, $\\angle A = 70^\\circ$. Решавр: «Противоположные стороны равны, значит, $ABCD$ — параллелограмм и $\\angle C = \\angle A = 70^\\circ$». В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["В параллелограмме $\\angle C = 180^\\circ-70^\\circ = 110^\\circ$","Ошибки нет: в параллелограмме $\\angle C = \\angle A = 70^\\circ$","Это может быть равнобокая трапеция, и тогда $\\angle C = 110^\\circ$","При $BC \\parallel AD$ стороны $AB$ и $CD$ не бывают равны"],"explanations":["Противоположные углы параллелограмма равны, а в сумме $180^\\circ$ дают соседние","Условие не задает параллелограмм: у равнобокой трапеции с теми же данными $\\angle C = 110^\\circ$","","Бывают: и у параллелограмма, и у равнобокой трапеции"],"answer":[2]}},"hints":["Признак параллелограмма требует, чтобы одна и та же пара сторон была равна и параллельна. Здесь равны $AB$ и $CD$, а параллельны $BC$ и $AD$.","Под условие подходит и равнобокая трапеция: у нее $\\angle B = 180^\\circ-70^\\circ = 110^\\circ$ и $\\angle C = \\angle B = 110^\\circ$. Угол $C$ по условию не определен."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"В четырехугольнике $ABCD$ известно: $BC \\parallel AD$, $AB = CD$, $\\angle A = 65^\\circ$. Решавр: «Боковые стороны равны, значит, $ABCD$ — равнобокая трапеция и $\\angle D = \\angle A = 65^\\circ$». В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["В трапеции $\\angle D = 180^\\circ-65^\\circ = 115^\\circ$","Ошибки нет: в равнобокой трапеции $\\angle D = \\angle A = 65^\\circ$","Это может быть параллелограмм, и тогда $\\angle D = 115^\\circ$","При $BC \\parallel AD$ стороны $AB$ и $CD$ не бывают равны"],"explanations":["В сумме $180^\\circ$ дают углы у боковой стороны ($A$ и $B$), а углы при основании равнобокой трапеции равны","Условие не задает трапецию: у параллелограмма с теми же данными $\\angle D = 115^\\circ$","","Бывают: и у равнобокой трапеции, и у параллелограмма"],"answer":[2]}},"hints":["Признак равнобокой трапеции работает для трапеции, а здесь не сказано, что $AB$ и $CD$ не параллельны.","Под условие подходит и параллелограмм: у него $\\angle D = 180^\\circ-65^\\circ = 115^\\circ$. Угол $D$ по условию не определен."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Решавр: «Диагонали четырехугольника $ABCD$ равны и перпендикулярны, а $BD$ делит $AC$ пополам. Значит, это квадрат». Вывод неверен: такие диагонали бывают и у [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["параллелограмма, не являющегося ромбом","прямоугольника, не являющегося квадратом","ромба, не являющегося квадратом","дельтоида"],"answer":3}},"hints":["Признак квадрата по диагоналям работает только для параллелограмма: пополам должны делиться обе диагонали.","Возьмите $AC = BD = 4$, пусть $BD$ проходит через середину $O$ отрезка $AC$ и $BO = 1$, $OD = 3$. Получится четырехугольник с $AB = BC$ и $AD = DC$, но $AB \\ne AD$ — это дельтоид.","Ответ: у дельтоида."],"step":1},{"id":"5","content":"Решавр: «Диагонали четырехугольника равны и перпендикулярны, значит, это квадрат». Вывод неверен: равные перпендикулярные диагонали бывают и у [[fill_choice-2]]","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["равнобокой трапеции","прямоугольника, не являющегося квадратом","ромба, не являющегося квадратом","прямоугольной трапеции"],"answer":0}},"hints":["Признак квадрата по диагоналям работает только для параллелограмма: диагонали должны еще делиться пополам.","Диагонали равнобокой трапеции равны всегда, а при подходящих размерах и перпендикулярны: например, основания $2$ и $6$, высота $4$.","Ответ: у равнобокой трапеции."],"step":1},{"id":"6","content":"В четырехугольнике $ABCD$ известно: $AB = BC = 5$, $CD = DA = 8$, диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны. Решавр: «Диагонали перпендикулярны и $BD$ делит $AC$ пополам — значит, $ABCD$ — ромб». В чем ошибка?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Нужно еще, чтобы $BD$ делила углы $B$ и $D$ пополам","Ошибки нет: этих двух условий для ромба достаточно","Не доказан параллелограмм: при сторонах $5$ и $8$ это дельтоид","Нужно еще, чтобы диагонали были равны"],"explanations":["$BD$ и так делит эти углы пополам (треугольники $ABD$ и $CBD$ равны), но ромба все равно нет","У дельтоида со сторонами $5$, $5$, $8$, $8$ оба условия выполнены, а ромбом он не является","","Диагонали ромба равны только у квадрата; равные диагонали — признак прямоугольника"],"answer":[2]}},"hints":["Сравните соседние стороны $AB$ и $DA$. Могут ли они быть сторонами ромба?","$AB = 5$, $DA = 8$ — соседние стороны не равны, ромба нет. Признак ромба по диагоналям работает только для параллелограмма (у него пополам делятся обе диагонали), а здесь это дельтоид: $BD$ делит $AC$ пополам, а $AC$ делит $BD$ — нет."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"В четырехугольнике $ABCD$ известно: $AB = 6$, $AD = 9$, диагональ $BD$ делит пополам угол $B$ и угол $D$. Решавр: «Диагональ — биссектриса углов, значит, $ABCD$ — ромб». В чем ошибка?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: диагональ-биссектриса — признак ромба","Не доказан параллелограмм: $BC = 6$, $CD = 9$, это дельтоид","Нужно еще, чтобы диагонали были равны","Нужно еще, чтобы диагонали были перпендикулярны"],"explanations":["Это признак для параллелограмма; у дельтоида со сторонами $6$, $6$, $9$, $9$ условие выполнено, а ромба нет","","Диагонали ромба равны только у квадрата; равные диагонали — признак прямоугольника","Они и так перпендикулярны: $BD$ — ось симметрии дельтоида, но ромба все равно нет"],"answer":[1]}},"hints":["Сравните треугольники $ABD$ и $CBD$: что у них общее и какие углы равны? Чему тогда равны $BC$ и $CD$?","Треугольники равны (сторона $BD$ общая и прилежащие к ней углы равны), значит, $BC = AB = 6$, $CD = AD = 9$. Соседние стороны не равны — это дельтоид, а не ромб: признак «диагональ — биссектриса угла» работает только для параллелограмма."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Распределите четырехугольники: какие из них обязательно являются ромбами, а какие — не обязательно.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Обязательно ромб","Не обязательно ромб"],"items":[["Квадрат","Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями","Четырехугольник с четырьмя равными сторонами"],["Прямоугольник","Четырехугольник с перпендикулярными диагоналями","Параллелограмм с равными диагоналями"]]}},"instruction":"Распределите четырехугольники","hints":["Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны. «Обязательно ромб» — только то, где это гарантировано для любой такой фигуры.","Проверьте каждую карточку контрпримером: дельтоид (диагонали перпендикулярны, но это не параллелограмм), прямоугольник $3 \\times 5$ (диагонали равны, стороны разные).","Обязательно ромб: квадрат (все стороны равны), четырехугольник с четырьмя равными сторонами, параллелограмм с перпендикулярными диагоналями. Остальные три — не обязательно."],"step":1},{"id":"7","content":"Распределите четырехугольники: какие из них обязательно являются прямоугольниками, а какие — не обязательно.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Обязательно прямоугольник","Не обязательно прямоугольник"],"items":[["Квадрат","Параллелограмм с равными диагоналями","Параллелограмм с прямым углом"],["Ромб","Четырехугольник с равными диагоналями","Четырехугольник с двумя прямыми углами"]]}},"instruction":"Распределите четырехугольники","hints":["Прямоугольник — параллелограмм, у которого есть прямой угол. «Обязательно прямоугольник» — только то, где это гарантировано для любой такой фигуры.","Проверьте каждую карточку контрпримером: равнобокая трапеция (диагонали равны), прямоугольная трапеция (два прямых угла), ромб с углом $60^\\circ$.","Обязательно прямоугольник: квадрат, параллелограмм с равными диагоналями, параллелограмм с прямым углом. Остальные три — не обязательно."],"step":1},{"id":"8","content":"[[image-5]]В квадрате $ABCD$ на диагонали $AC$ отмечена точка $K$ так, что $AK = AB$ (см. рисунок). Найдите угол $KBC$ в градусах. [[input-3]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/avfao5ed7alu.svg"},"input-3":{"type":"input","answer":["22,5","22.5"]}},"hints":["Диагональ квадрата делит его прямой угол пополам: $\\angle BAK = 90^\\circ : 2 = 45^\\circ$.","Треугольник $ABK$ равнобедренный ($AK = AB$), углы при основании $BK$ равны: $\\angle ABK = (180^\\circ-45^\\circ) : 2 = 67{,}5^\\circ$.","$\\angle KBC = \\angle ABC-\\angle ABK = 90^\\circ-67{,}5^\\circ = 22{,}5^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"[[image-6]]Внутри квадрата $ABCD$ построен равносторонний треугольник $ABE$ (см. рисунок). Найдите угол $ADE$ в градусах. [[input-4]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/cwdog84nkfdo.svg"},"input-4":{"type":"input","answer":"75"}},"hints":["Угол квадрата прямой, угол равностороннего треугольника $60^\\circ$: $\\angle DAE = 90^\\circ-60^\\circ = 30^\\circ$.","$AE = AB = AD$, значит, треугольник $ADE$ равнобедренный: $\\angle ADE = (180^\\circ-30^\\circ) : 2 = 75^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"[[image-7]]В прямоугольной трапеции $ABCD$ ($AD \\parallel BC$, $AB \\perp AD$) угол $D$ равен $57^\\circ$ (см. рисунок). Найдите $\\angle C$ в градусах. [[input-5]]","widgets":{"image-7":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/g5hoetsamtm2.svg"},"input-5":{"type":"input","answer":"123"}},"hints":["$\\angle C$ и $\\angle D$ — односторонние при $AD \\parallel BC$ и секущей $CD$.","$\\angle C = 180^\\circ-57^\\circ = 123^\\circ$."],"step":1},{"id":"9","content":"[[image-8]]В прямоугольной трапеции $ABCD$ ($AD \\parallel BC$, $AB \\perp AD$) угол $D$ равен $64^\\circ$ (см. рисунок). Найдите $\\angle C$ в градусах. [[input-6]]","widgets":{"image-8":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/jvbg7vpo5m44.svg"},"input-6":{"type":"input","answer":"116"}},"hints":["$\\angle C$ и $\\angle D$ — односторонние при $AD \\parallel BC$ и секущей $CD$.","$\\angle C = 180^\\circ-64^\\circ = 116^\\circ$."],"step":1},{"id":"10","content":"Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $\\angle AOD = 110^\\circ$. Найдите $\\angle OAB$ в градусах. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"55"}},"hints":["$\\angle AOB = 180^\\circ-110^\\circ = 70^\\circ$ как смежный.","Треугольник $AOB$ равнобедренный: $\\angle OAB = (180^\\circ-70^\\circ) : 2 = 55^\\circ$."],"step":1},{"id":"10","content":"Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $\\angle AOD = 130^\\circ$. Найдите $\\angle OAB$ в градусах. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"65"}},"hints":["$\\angle AOB = 180^\\circ-130^\\circ = 50^\\circ$ как смежный.","Треугольник $AOB$ равнобедренный: $\\angle OAB = (180^\\circ-50^\\circ) : 2 = 65^\\circ$."],"step":1}]}</textarea></pre></div>