Квадрат: свойства и признаки

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Периметр квадрата равен $48$. Найдите его сторону. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["У квадрата все стороны равны, поэтому периметр — это четыре равные стороны.","$a = 48 : 4 = 12$."],"step":1},{"id":"1","content":"Периметр квадрата равен $60$. Найдите его сторону. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["У квадрата все стороны равны, поэтому периметр — это четыре равные стороны.","$a = 60 : 4 = 15$."],"step":1},{"id":"2","content":"Сколько всего осей симметрии у квадрата? [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Оси квадрата — это диагонали и прямые через середины сторон. Сколько таких прямых каждого вида?","Две диагонали и две прямые через середины противоположных сторон: всего четыре."],"step":1},{"id":"2","content":"Сколько осей симметрии квадрата проходят через его вершины? [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Какие оси квадрата проходят через вершины: диагонали или прямые через середины сторон?","Через вершины проходят оси, лежащие на диагоналях: их две."],"step":1},{"id":"3","content":"Какое утверждение верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Каждый квадрат — ромб","Ни один квадрат не является прямоугольником","Каждый прямоугольник — квадрат","Каждый ромб — квадрат"],"explanations":["","Каждый квадрат — прямоугольник","У прямоугольника стороны могут быть разной длины","У ромба углы могут быть не прямыми"],"answer":[0]}},"hints":["Что сказано в определении ромба: про стороны или про углы?","У квадрата все стороны равны — он ромб."],"step":1},{"id":"3","content":"Какое утверждение верно?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Каждый квадрат — прямоугольник","Каждый прямоугольник — квадрат","Каждый ромб — прямоугольник","Ни один квадрат не является ромбом"],"explanations":["","У прямоугольника стороны могут быть разной длины","У ромба углы могут быть не прямыми","Каждый квадрат — ромб"],"answer":[0]}},"hints":["Что сказано в определении прямоугольника: про углы или про стороны?","У квадрата все углы прямые — он прямоугольник."],"step":1},{"id":"4","content":"Решавр рассуждает: «У ромба диагонали не равны, а у квадрата равны. Значит, квадрат — не ромб». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["У квадрата диагонали тоже не равны","Квадрат — ромб, только если его повернуть на $45^\\circ$","Ошибки нет: у ромба диагонали никогда не равны","Ромб определяют равные стороны, а не диагонали"],"explanations":["Равны: квадрат — прямоугольник, а диагонали прямоугольника равны","Поворот не меняет длин сторон: квадрат — ромб в любом положении, ромбом его делают равные стороны","Равны у ромба с прямым углом, то есть у квадрата: каркас из равных палочек при угле $90^\\circ$",""],"answer":[3]}},"hints":["Что сказано в определении ромба: про стороны или про диагонали?","Ромб — параллелограмм с равными сторонами; равенство диагоналей ему не запрещено. У квадрата стороны равны — он ромб с равными диагоналями."],"step":1},{"id":"4","content":"Решавр рассуждает: «У прямоугольника смежные стороны разной длины, а у квадрата равны. Значит, квадрат — не прямоугольник». В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: у прямоугольника стороны всегда разные","Квадрат — частный случай ромба, а не прямоугольника","Прямоугольник определяет прямой угол, а не стороны","Квадрат — прямоугольник, только если не повернут"],"explanations":["В определении о длинах сторон ничего нет: каркас $5 \\times 5$ дм с прямым углом — тоже прямоугольник","Прямой угол у ромба возможен: у квадрата он есть, поэтому квадрат — еще и прямоугольник","","Поворот не меняет углов: углы квадрата прямые в любом положении"],"answer":[2]}},"hints":["Что сказано в определении прямоугольника: про углы или про длины сторон?","Прямоугольник — параллелограмм с прямым углом; равенство смежных сторон ему не запрещено. Квадрат — прямоугольник с равными сторонами."],"step":1},{"id":"5","content":"Квадрат $ABCD$ разрезали по указанным линиям. Сопоставьте разрез и получившиеся части. Одна часть лишняя.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["По диагонали $AC$","По диагоналям $AC$ и $BD$","По прямой через середины $AB$ и $CD$"],"items":["Два равных прямоугольных равнобедренных треугольника","Четыре равных прямоугольных равнобедренных треугольника","Два равных прямоугольника, не квадрата","Два равных квадрата"]}},"instruction":"Сопоставьте разрез и части","hints":["Диагональ делит прямой угол пополам; диагонали равны, перпендикулярны и делятся пополам.","Прямая через середины $AB$ и $CD$ параллельна $AD$ и делит квадрат на две половины размером $a \\times \\frac{a}{2}$.","Ответ: по $AC$ — два равных прямоугольных равнобедренных треугольника; по $AC$ и $BD$ — четыре таких треугольника; через середины $AB$ и $CD$ — два равных прямоугольника. Лишнее — два квадрата: у половины смежные стороны $a$ и $\\frac{a}{2}$."],"step":1},{"id":"5","content":"Квадрат $ABCD$ разрезали по указанным линиям. Сопоставьте разрез и получившиеся части. Одна часть лишняя.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["По диагоналям $AC$ и $BD$","По прямой через середины $AD$ и $BC$","По двум прямым через середины противоположных сторон"],"items":["Четыре равных прямоугольных равнобедренных треугольника","Два равных прямоугольника, не квадрата","Четыре равных квадрата","Четыре равных равносторонних треугольника"]}},"instruction":"Сопоставьте разрез и части","hints":["Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и делятся пополам; прямые через середины противоположных сторон перпендикулярны сторонам.","Прямая через середины $AD$ и $BC$ дает половины $a \\times \\frac{a}{2}$; две такие прямые — четверти $\\frac{a}{2} \\times \\frac{a}{2}$.","Ответ: по $AC$ и $BD$ — четыре равных прямоугольных равнобедренных треугольника; через середины $AD$ и $BC$ — два равных прямоугольника; по двум прямым через середины — четыре равных квадрата. Лишнее — равносторонние треугольники: углы частей $45^\\circ$ и $90^\\circ$, а не $60^\\circ$."],"step":1},{"id":"6","content":"Диагонали квадрата $ABCD$ пересекаются в точке $O$, их сумма равна $40$. Найдите $AO$. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["Диагонали равны: $AC = BD = 40 : 2 = 20$.","$AO$ — половина диагонали: $20 : 2 = 10$."],"step":1},{"id":"6","content":"Диагонали квадрата $ABCD$ пересекаются в точке $O$, их сумма равна $28$. Найдите $BO$. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Диагонали равны: $AC = BD = 28 : 2 = 14$.","$BO$ — половина диагонали: $14 : 2 = 7$."],"step":1},{"id":"7","content":"Диагонали параллелограмма $ABCD$ равны и перпендикулярны, $O$ — точка их пересечения. Расставьте шаги доказательства того, что $ABCD$ — квадрат, по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Диагонали параллелограмма делятся пополам, значит, $AO = OC$","Прямоугольные треугольники $AOB$ и $COB$ равны по двум катетам ($AO = OC$, $OB$ общий), значит, $AB = BC$","У параллелограмма равны соседние стороны $AB$ и $BC$, значит, $ABCD$ — ромб","Ромб $ABCD$ — параллелограмм с равными диагоналями, значит, он еще и прямоугольник, то есть квадрат"]}},"hints":["Каждый шаг опирается на предыдущий: с чего начинается разговор о диагоналях параллелограмма?","Равны катеты — равны гипотенузы; равные стороны и равные диагонали — ромб, который еще и прямоугольник."],"step":1},{"id":"7","content":"Диагонали параллелограмма $KLMN$ равны и перпендикулярны, $O$ — точка их пересечения. Расставьте шаги доказательства того, что $KLMN$ — квадрат, по порядку.[[sorter-2]]","widgets":{"sorter-2":{"type":"sorter","items":["Диагонали параллелограмма делятся пополам, а $KM = LN$, значит, $KO = OM = LO = ON$","Четыре прямоугольных треугольника $KOL$, $LOM$, $MON$, $NOK$ равны по двум катетам","Равны гипотенузы этих треугольников: $KL = LM = MN = NK$, значит, $KLMN$ — ромб","Ромб $KLMN$ — параллелограмм с равными диагоналями, значит, он еще и прямоугольник, то есть квадрат"]}},"hints":["Каждый шаг опирается на предыдущий: с чего начинается разговор о диагоналях параллелограмма?","Равные катеты дают равные гипотенузы; равные стороны и равные диагонали — ромб, который еще и прямоугольник."],"step":1},{"id":"8","content":"В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны, а $\\angle BAC = 45^\\circ$. Тогда $ABCD$ — [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["прямоугольник, но не квадрат: стороны разные","квадрат, так как $\\angle BAD = 90^\\circ$","параллелограмм с углом $45^\\circ$","ромб, но не квадрат: углы не прямые"],"answer":1}},"hints":["Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями — ромб. Что делает диагональ ромба с его углом?","Диагональ ромба делит угол пополам: $\\angle BAD = 2 \\cdot 45^\\circ = 90^\\circ$.","Ромб с прямым углом — квадрат."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"В параллелограмме $ABCD$ диагонали равны, а $\\angle BAC = 45^\\circ$. Тогда $ABCD$ — [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["квадрат, так как $AB = BC$","ромб, но не квадрат: углы не прямые","прямоугольник, но не квадрат: стороны разные","параллелограмм с углом $45^\\circ$"],"answer":0}},"hints":["Параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник. Каким тогда будет треугольник $ABC$?","$\\angle ABC = 90^\\circ$, $\\angle BAC = 45^\\circ$, значит, $\\angle BCA = 45^\\circ$ и $AB = BC$.","Прямоугольник с равными смежными сторонами — квадрат."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"[[image-1]]Решавр рассуждает: «В четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC = BD = 6$ и $AC \\perp BD$. Значит, $ABCD$ — квадрат» (см. рисунок). В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/pwrjib6mre9m.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["Нужно еще, чтобы диагонали делились пополам","Ошибка в том, что у квадрата диагонали не равны","Ошибки нет: равных перпендикулярных диагоналей хватает","Хватит, чтобы пополам делилась одна диагональ"],"explanations":["","Равны: квадрат — прямоугольник. Ошибка в обратном выводе","Хватает только у параллелограмма; на рисунке $AO = 2 \\ne OC = 4$, квадрата нет","Тогда может получиться дельтоид: вторая диагональ пополам не делится, стороны разные"],"answer":[0]}},"hints":["Какое третье свойство диагоналей квадрата Решавр не проверил? Посмотрите на отрезки на рисунке.","$AO = 2$, $OC = 4$; $BO = 2$, $OD = 4$: ни одна диагональ точкой $O$ пополам не делится. $ABCD$ — не параллелограмм, значит, и не квадрат."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"[[image-2]]Решавр рассуждает: «В четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC = BD = 10$ и $AC \\perp BD$. Значит, $ABCD$ — квадрат» (см. рисунок). В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/53yau3qbkgie.svg"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Ошибка в том, что у квадрата диагонали не перпендикулярны","Ошибки нет: равных перпендикулярных диагоналей хватает","Нужно еще, чтобы диагонали делились пополам","Хватит, чтобы пополам делилась одна диагональ"],"explanations":["Перпендикулярны: квадрат — ромб. Ошибка в обратном выводе","Хватает только у параллелограмма; на рисунке $AO = 3 \\ne OC = 7$, квадрата нет","","Тогда может получиться дельтоид: вторая диагональ пополам не делится, стороны разные"],"answer":[2]}},"hints":["Какое третье свойство диагоналей квадрата Решавр не проверил? Посмотрите на отрезки на рисунке.","$AO = 3$, $OC = 7$; $BO = 4$, $OD = 6$: ни одна диагональ точкой $O$ пополам не делится. $ABCD$ — не параллелограмм, значит, и не квадрат."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Квадрат разрезали прямой, параллельной одной из его сторон, на два прямоугольника. Сумма периметров этих прямоугольников равна $48$. Найдите сторону квадрата. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["В сумму периметров входят все четыре стороны квадрата и еще дважды линия разреза.","Разрез параллелен стороне и равен ей: сумма периметров равна $4a + 2a = 6a$.","$a = 48 : 6 = 8$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Квадрат разрезали прямой, параллельной одной из его сторон, на два прямоугольника. Их периметры равны $26$ и $34$. Найдите сторону квадрата. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["В сумму периметров входят все четыре стороны квадрата и еще дважды линия разреза.","Разрез параллелен стороне и равен ей: $26 + 34 = 4a + 2a = 6a$.","$a = 60 : 6 = 10$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>