8 класс Геометрия Четырехугольники Прямоугольник, ромб, квадрат

Квадрат: свойства и признаки

Содержание

В уроках о прямоугольнике и о ромбе вы закрепляли в каркасе из палочек что-то одно: прямой угол или равные стороны. Квадрат получается, если закрепить и то, и другое. Разберем, какие свойства квадрат получает от прямоугольника и от ромба, как доказать, что фигура — квадрат, и почему равных перпендикулярных диагоналей для этого мало. Простые задачи есть также в уроке «Квадрат».

Вопрос для начала. Квадратную плитку кладут ровными рядами, а иногда — повернутой, так что ее стороны идут наискосок к стенам. Повернутую плитку часто называют «ромбиком». Что же лежит на полу: квадрат, ромб или что-то третье? Ответим в последнем разделе.

Квадрат получается, когда закреплены и стороны, и угол

Вспомним модель модуля: стороны — палочки, вершины — шарниры. Соберем каркас $ABCD$ из четырех палочек по $5$ дм. Это ромб, и он складывается: угол $A$ может быть $60^\circ$, $90^\circ$, $120^\circ$. Поставим угол $A$ равным $90^\circ$ и закрепим шарнир. Получился ромб с прямым углом.

Можно идти с другой стороны. Каркас-прямоугольник $5 \times 3$ дм уже закреплен прямым углом, но соседние палочки у него разные. Заменим короткие палочки на палочки по $5$ дм — получится прямоугольник с равными сторонами. Это та же фигура: квадрат.

Три каркаса-ромба со стороной 5 дм и углом A, равным 60°, 90° и 120°: все стороны равны в каждом положении, при 90° ромб является квадратом — Каркас из равных палочек — ромб в любом положении; при угле 90° он одновременно ромб и квадрат

Определение

Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны.

Квадрат — прямоугольник, значит, параллелограмм. Все стороны у него равны, значит, он ромб, причем с прямым углом. Обратно, ромб с прямым углом — параллелограмм с прямым углом, то есть прямоугольник, и стороны у него равны: это квадрат. Поэтому квадрат можно определить и так: ромб с прямым углом. Что закрепили, то и получили: две закрепки — два вида сразу.

Ошибка

Ученик пишет: «У ромба углы острые и тупые, а у квадрата все углы прямые. Значит, квадрат — не ромб».

Проверка. Возьмем квадрат со стороной $5$ дм и проверим определение ромба по пунктам. Параллелограмм ли это? Да: квадрат — прямоугольник. Все ли стороны равны? Да, по $5$ дм. Оба пункта выполнены — квадрат является ромбом.

Где сломалось. «Острые и тупые углы» взяты с привычной картинки ромба, а не из определения: об углах в нем ничего нет. Каркас из равных палочек при угле $90^\circ$ остается ромбом. Так же неверно «квадрат — не прямоугольник»: определение прямоугольника не запрещает равные стороны.

{"questions":[{"content":"Квадрат — это ромб, у которого [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["есть прямой угол","диагонали делятся пополам","диагонали перпендикулярны","противоположные стороны параллельны"],"answer":0}},"hints":["Вспомните каркас из четырех равных палочек: он складывается. Что нужно закрепить, чтобы он стал квадратом?","Перпендикулярные диагонали, деление диагоналей пополам и параллельные противоположные стороны есть у любого ромба — они ничего не добавляют.","Ответ: есть прямой угол. Ромб с прямым углом — прямоугольник с равными сторонами, то есть квадрат."],"step":1},{"content":"Решавр рассуждает: «У ромба нет прямых углов, а у квадрата все углы прямые. Значит, квадрат — не ромб». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: прямых углов у ромба не бывает","Квадрат — ромб, только если его повернуть","Квадрат — ромб, потому что его диагонали равны","Ромбу прямые углы не запрещены: квадрат — тоже ромб"],"explanations":["В определении ромба об углах ничего нет: каркас из равных палочек при угле $90^\\circ$ остается ромбом","Поворот не меняет ни сторон, ни углов: квадрат — ромб в любом положении","Равные диагонали — свойство прямоугольника; ромбом квадрат делают равные стороны",""],"answer":[3]}},"hints":["Вспомните каркас из четырех равных палочек: каким он остается, когда угол $A$ становится равным $90^\\circ$?","Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны. Об углах в определении ничего не сказано; «острые и тупые углы» взяты с привычной картинки.","Ответ: ромбу прямые углы не запрещены, квадрат — ромб с прямым углом."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Квадрат получает свойства и прямоугольника, и ромба

Квадрат — параллелограмм, прямоугольник и ромб одновременно. Поэтому все их свойства у него есть без новых доказательств: они доказаны в уроках о параллелограмме, о прямоугольнике и о ромбе. Соберем свойства диагоналей и отметим, откуда каждое.

Свойство диагоналей	Откуда у квадрата	У ромба с углом $60^\circ$	У прямоугольника $5 \times 3$
Делятся точкой пересечения пополам	квадрат — параллелограмм	да	да
Равны	квадрат — прямоугольник	нет	да
Перпендикулярны	квадрат — ромб	да	нет
Делят углы пополам	квадрат — ромб	да	нет

Свойства квадрата

Все углы квадрата прямые, все стороны равны. Диагонали квадрата равны, перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам: каждая диагональ образует со сторонами углы по $45^\circ$.

Угол $45^\circ$ получается так: диагональ делит прямой угол пополам, $90^\circ : 2 = 45^\circ$. Половины диагоналей равны, поэтому диагонали режут квадрат на четыре равных прямоугольных треугольника, и каждый из них равнобедренный: например, $AO = BO$.

Квадрат ABCD с диагоналями AC и BD, пересекающимися в точке O под прямым углом; четыре половины диагоналей равны; диагональ AC делит угол A на два угла по 45° — Четыре половины диагоналей равны, угол между диагоналями прямой, диагональ делит угол квадрата на два угла по 45°

Пример 1

В квадрате $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$, $BD = 18$ см. Найдите $AO$ и углы треугольника $AOB$.

Решение. Квадрат — прямоугольник, его диагонали равны: $AC = BD = 18$ см. Квадрат — параллелограмм, его диагонали делятся пополам: $AO = 18 : 2 = 9$ см. Квадрат — ромб, его диагонали перпендикулярны: $\angle AOB = 90^\circ$. Диагональ $AC$ делит прямой угол $A$ пополам: $\angle OAB = 45^\circ$; так же $\angle OBA = 45^\circ$.

Проверка. Сумма углов треугольника: $90^\circ + 45^\circ + 45^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $AO = 9$ см; $\angle AOB = 90^\circ$, $\angle OAB = \angle OBA = 45^\circ$.

Диагонали пяти фигур: у прямоугольника, квадрата и равнобокой трапеции они равны, у ромба и квадрата перпендикулярны, у параллелограмма делятся пополам, но не равны и не перпендикулярны — Из пяти фигур только у квадрата диагонали и равны, и перпендикулярны

{"questions":[{"content":"Какое утверждение о квадрате верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Диагонали квадрата перпендикулярны, но не равны","Диагонали квадрата равны и перпендикулярны","Диагонали квадрата равны, но не перпендикулярны","Диагонали квадрата не делят его углы пополам"],"explanations":["Диагонали квадрата равны, как у прямоугольника","","Диагонали квадрата перпендикулярны, как у ромба","Делят: как диагонали ромба"],"answer":[1]}},"hints":["Диагонали квадрата равны и перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и делят углы пополам."]},{"content":"Диагонали квадрата $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $AC = 12$. Сопоставьте величину и ее значение. Одно значение лишнее.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$BO$","$\\angle OAB$","$\\angle AOD$"],"items":["$6$","$45^\\circ$","$90^\\circ$","$12$"]}},"instruction":"Сопоставьте величину и значение","hints":["Квадрат — и прямоугольник, и ромб. Какие свойства диагоналей дает каждый из них?","Диагонали равны и делятся пополам: $BD = AC = 12$, $BO = 12 : 2 = 6$. Диагональ делит прямой угол пополам: $\\angle OAB = 90^\\circ : 2 = 45^\\circ$. Диагонали перпендикулярны: $\\angle AOD = 90^\\circ$.","Ответ: $BO$ — $6$, $\\angle OAB$ — $45^\\circ$, $\\angle AOD$ — $90^\\circ$; лишнее $12$ — это вся диагональ $BD$, а не ее половина."],"step":1}],"mix":1}

У квадрата четыре оси симметрии

В уроке о ромбе перегиб по диагонали совмещал половины ромба: прямые $AC$ и $BD$ — его оси симметрии. Квадрат — ромб, поэтому эти две оси у него есть.

Еще две оси дает прямой угол. Пусть $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $CD$. Отрезки $AM$ и $DN$ равны и параллельны как половины противоположных сторон, поэтому $AMND$ — параллелограмм, а с прямым углом $A$ — прямоугольник. Значит, $MN \perp AB$. При перегибе по прямой $MN$ (урок «Осевая симметрия») точка $A$ попадает в $B$, потому что $MA = MB$. Сторона $AD$ перпендикулярна $AB$ и ложится на $BC$, а их длины равны, поэтому $D$ попадает в $C$. Так же работает прямая через середины $AD$ и $BC$. Это рассуждение годится для любого прямоугольника.

Квадрат ABCD и четыре оси симметрии: две диагонали, как у ромба, и две прямые через середины противоположных сторон, как у прямоугольника — Две оси квадрат получил как ромб (диагонали), еще две — как прямоугольник (через середины противоположных сторон)

Свойство (симметрия квадрата)

У квадрата четыре оси симметрии: две прямые, на которых лежат его диагонали, и две прямые, проходящие через середины противоположных сторон.

Что закрепили, то и получили. Равные палочки дали ромбу две оси-диагонали, прямой угол дал прямоугольнику две оси через середины сторон. У прямоугольника, который не квадрат, перегиб по диагонали половины не совмещает, у ромба, который не квадрат, — перегиб через середины сторон. У квадрата закреплено и то, и другое, поэтому осей четыре.

{"questions":[{"content":"Квадрат $ABCD$ перегнули по прямой, которая проходит через середины сторон $AD$ и $BC$. В какую точку попадет вершина $A$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["В вершину $C$","Останется на месте","В вершину $B$","В вершину $D$"],"explanations":["Линия сгиба параллельна $AB$: $A$ и $B$ лежат по одну сторону от нее, $C$ и $D$ — по другую, и $A$ при перегибе переходит в $D$. В $C$ вершина $A$ попала бы при перегибе по диагонали $BD$","На месте остаются только точки линии сгиба, а $A$ на ней не лежит: так было бы при перегибе по диагонали $AC$","В $B$ вершина $A$ попадает при перегибе по прямой через середины сторон $AB$ и $CD$",""],"answer":[3]}},"hints":["Линия сгиба перпендикулярна сторонам $AD$ и $BC$ и делит их пополам.","Точки $A$ и $D$ лежат на одном перпендикуляре к линии сгиба, на равных расстояниях от нее, по разные стороны. Значит, $A$ попадет в $D$."],"step":1},{"content":"Квадрат $ABCD$ перегнули по оси симметрии так, что вершина $B$ попала в вершину $D$. Сколько вершин квадрата остались на месте? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Какая из четырех осей меняет местами $B$ и $D$? Ось должна быть перпендикулярна $BD$ и проходить через ее середину.","Это диагональ $AC$: $AC \\perp BD$ и делит $BD$ пополам. Оси через середины сторон переводят $B$ в $A$ или в $C$.","На оси лежат вершины $A$ и $C$ — они остаются на месте. Ответ: $2$."],"step":1}],"mix":1}

Как доказать, что перед вами квадрат

Закрепим у ромба равные диагонали: он станет прямоугольником, то есть квадратом. Признак отвечает на вопрос: что еще закрепить, чтобы фигура наверняка стала квадратом? Квадрат лежит на пересечении двух веток — прямоугольников и ромбов. Достаточно взять фигуру одной ветки и добавить к ней условие другой. Каркас здесь только подсказывает, а доказывают признаки из уроков о прямоугольнике и о ромбе.

Теорема (признаки квадрата)

1. Если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то он — квадрат.

2. Если диагонали ромба равны, то он — квадрат.

3. Если у ромба есть прямой угол, то он — квадрат.

Доказательство

Признак 1. Прямоугольник — параллелограмм. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями — ромб (признак ромба), значит, все стороны равны. Прямоугольник с равными сторонами — квадрат.

Признак 2. Ромб — параллелограмм. Параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник (признак прямоугольника). Прямоугольник, у которого все стороны равны, — квадрат.

Признак 3. Ромб — параллелограмм, параллелограмм с прямым углом — прямоугольник. Дальше — как в признаке 2.

Отсюда проверка для любого четырехугольника по диагоналям. Если они делятся точкой пересечения пополам, это параллелограмм (урок о параллелограмме). Если они еще и равны — прямоугольник. Если еще и перпендикулярны — квадрат по признаку 1. Нужны все три условия.

Посмотрим на это в каркасе. Возьмем две палочки-диагонали по $8$ дм и скрепим их под прямым углом. Скрепим в серединах — концы палочек станут вершинами квадрата. Скрепим не в серединах, как перекладину креста, — концы дадут совсем другой четырехугольник.

Две пары палочек AC и BD длиной 8 под прямым углом на клетчатой бумаге: слева скреплены в серединах и получается квадрат, справа — не в серединах (AO = 2, OC = 6, BO = 5, OD = 3), получается четырехугольник, не квадрат — Одни и те же палочки по 8 дм под прямым углом: скреплены в серединах — квадрат, не в серединах — «крест» с разными сторонами

Ошибка

Ученик пишет: «Диагонали четырехугольника $ABCD$ равны и перпендикулярны. Значит, $ABCD$ — квадрат».

Проверка на числах. Построим «крест» на клетчатой бумаге (клетка — $1$ дм). Точки $A$ и $C$ — на одной линии сетки в $8$ клетках друг от друга, точка $O$ — на $2$ клетки правее $A$. Точки $B$ и $D$ — на $5$ клеток выше и на $3$ клетки ниже $O$. Тогда $AC = BD = 8$ и $AC \perp BD$. Но $AO = 2$, а $OC = 6$: диагонали не делятся пополам, значит, $ABCD$ не параллелограмм и тем более не квадрат. Измерение подтверждает: $AB \approx 5{,}4$, а $BC \approx 7{,}8$ клетки.

Где сломалось. Признак 1 говорит о прямоугольнике, признак 2 — о ромбе. Оба уже параллелограммы, их диагонали делятся пополам. В записи «равны и перпендикулярны» это условие потеряно: палочки не скреплены в серединах.

{"questions":[{"content":"Ромб $ABCD$ с диагоналями $AC$ и $BD$, которые пересекаются в точке $O$, — квадрат, если [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$AO = OC$","$AC \\perp BD$","$AC = BD$","$\\angle BAC = \\angle DAC$"],"answer":2}},"hints":["Квадрат — ромб, к которому добавили свойство прямоугольника. Какое свойство диагоналей есть у прямоугольника, но не у каждого ромба?","Диагонали любого ромба перпендикулярны, делятся пополам и делят углы пополам — эти условия ничего не добавляют.","Ответ: $AC = BD$ — ромб с равными диагоналями является квадратом (признак 2)."],"step":1},{"content":"[[image-1]]В четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ равны и перпендикулярны (см. рисунок). Является ли $ABCD$ квадратом?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vxoy4zlbxsr8.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["Да: диагонали перпендикулярны","Нет: диагональ $AC$ точкой $O$ пополам не делится","Да: диагонали равны и перпендикулярны — признаки квадрата","Нет: у квадрата диагонали не равны"],"explanations":["Перпендикулярность бывает и у дельтоида, и у «креста»: нужен еще параллелограмм","","Признаки работают для параллелограмма, а здесь диагонали не делятся пополам и $ABCD$ — не параллелограмм","У квадрата диагонали равны"],"answer":[1]}},"hints":["У квадрата диагонали еще и делятся точкой пересечения пополам.","На рисунке $BD$ делится пополам, а $AC$ — нет: стороны $AB \\ne BC$. Квадрата нет."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Решавр рассуждает: «В четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ равны $12$, перпендикулярны и пересекаются в точке $O$, причем $AO = 5$. Диагонали равны и перпендикулярны — значит, $ABCD$ — квадрат». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$OC = 7$, а $AO = 5$: диагонали не делятся пополам","Ошибка в том, что у квадрата диагонали не равны","Ошибки нет: равных перпендикулярных диагоналей достаточно","Хватило бы еще условия $BO = OD$"],"explanations":["","Равны: квадрат — прямоугольник. Ошибка в том, что не проверено деление пополам","Достаточно только вместе с делением пополам; здесь $OC = 7 \\ne AO$ — это «крест»","Тогда пополам делилась бы только $BD$, а $AO = 5 \\ne OC = 7$ — получился бы дельтоид, не квадрат"],"answer":[0]}},"hints":["Каким третьим свойством обладают диагонали квадрата? Проверьте его на числах условия.","$OC = 12-5 = 7$, а $AO = 5$: диагональ $AC$ точкой $O$ пополам не делится. Значит, $ABCD$ — не параллелограмм и не квадрат."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Повернутый квадрат остается квадратом

Соберем все виды на одной карте (урок о четырехугольнике). Стрелка ведет от общего вида к частному: каждый ромб — параллелограмм, каждый квадрат — и прямоугольник, и ромб. Свойства идут по стрелкам вниз: что верно для любой фигуры вида, верно и для всех его частных видов. Квадрат стоит в самом низу, поэтому у него все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба.

Карта видов четырехугольников: параллелограмм и трапеция — виды четырехугольника; прямоугольник и ромб — виды параллелограмма; квадрат — и прямоугольник, и ромб — Квадрат — на пересечении двух веток: он и прямоугольник, и ромб, а значит, и параллелограмм

Вообразавр предлагает проверить карту: в шести вопросах предскажите, есть ли свойство диагоналей у любой такой фигуры, и сравните с чертежом.

karta-vidov

Пример 2

На клетчатой бумаге отмечены узлы $A$, $B$, $C$, $D$ — углы повернутой плитки. От $A$ до $B$ — $3$ клетки вправо и $1$ вверх, от $B$ до $C$ — $1$ влево и $3$ вверх, от $C$ до $D$ — $3$ влево и $1$ вниз, от $D$ до $A$ — $1$ вправо и $3$ вниз. Докажите, что $ABCD$ — квадрат.

Решение. Обведем плитку квадратом сетки $4 \times 4$. Вне плитки остались четыре прямоугольных треугольника с катетами $3$ и $1$. Они равны по двум катетам, поэтому их гипотенузы равны: $AB = BC = CD = DA$. Четырехугольник с равными сторонами — ромб (урок о ромбе).

Найдем угол $B$. Вершина $B$ лежит на стороне рамки, и у нее сходятся два угловых треугольника. Угол нижнего лежит против катета $3$, угол верхнего — против катета $1$. Это два разных острых угла равных прямоугольных треугольников, в сумме они дают $90^\circ$. Вместе с углом $ABC$ они составляют развернутый угол: $\angle ABC = 180^\circ-90^\circ = 90^\circ$. Ромб с прямым углом — квадрат (признак 3).

Ответ: $ABCD$ — квадрат, что и требовалось доказать.

Плитка ABCD, повернутая внутри квадрата 4 на 4 клетки: вершины A(1;0), B(4;1), C(3;4), D(0;3); четыре угловых треугольника с катетами 3 и 1 равны, поэтому стороны равны и угол B прямой — Четыре угловых треугольника равны по двум катетам: стороны плитки равны, угол B прямой — это квадрат

Вот ответ на вопрос из начала. Повернутая плитка — квадрат: поворот не меняет ни длин палочек, ни углов. По карте у нее четыре верных названия: квадрат, ромб, прямоугольник и параллелограмм. «Ромбик» — тоже верное название, только неполное: самое точное — квадрат, потому что в нем закреплено больше всего.

{"questions":[{"content":"Распределите свойства по группам.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Есть у любого прямоугольника и у любого ромба","Есть у любого прямоугольника, но не у любого ромба","Есть у любого ромба, но не у любого прямоугольника"],"items":[["Противоположные стороны параллельны","Диагонали делятся точкой пересечения пополам"],["Все углы прямые","Диагонали равны"],["Все стороны равны","Диагонали перпендикулярны"]]}},"instruction":"Распределите свойства по группам","hints":["Прямоугольник и ромб — параллелограммы: свойства параллелограмма есть у обоих.","Прямой угол закрепляет у прямоугольника прямые углы и равные диагонали; равные палочки дают ромбу равные стороны и перпендикулярные диагонали.","Ответ: у обоих — параллельные противоположные стороны и деление диагоналей пополам; только у прямоугольника — прямые углы и равные диагонали; только у ромба — равные стороны и перпендикулярные диагонали. У квадрата есть все шесть свойств."],"step":1},{"content":"[[image-1]]На клетчатой бумаге отмечены узлы $A$, $B$, $C$, $D$. От $A$ до $B$ — $4$ клетки вправо и $3$ вверх, от $B$ до $C$ — $3$ влево и $4$ вверх, от $C$ до $D$ — $4$ влево и $3$ вниз, от $D$ до $A$ — $3$ вправо и $4$ вниз (см. рисунок). Какое название $ABCD$ самое точное?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/bucekrufoiss.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["Прямоугольник, но не квадрат","Параллелограмм общего вида","Ромб, но не квадрат","Квадрат"],"explanations":["Стороны равны как гипотенузы равных треугольников, поэтому это не «вытянутый» прямоугольник","Все стороны равны и есть прямой угол — это частный случай: квадрат","Стороны равны, но угол $B$ прямой: острые углы равных треугольников дают в сумме $90^\\circ$",""],"answer":[3]}},"hints":["Сначала сравните стороны: каждая — гипотенуза треугольника с катетами $3$ и $4$.","Стороны равны как гипотенузы равных треугольников — это ромб. Угол $B$ вместе с двумя острыми углами равных треугольников дает $180^\\circ$, а острые углы в сумме $90^\\circ$.","Угол $ABC = 180^\\circ-90^\\circ = 90^\\circ$: ромб с прямым углом — квадрат."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Квадрат встречается в плитке, клетчатой бумаге, рамах и стеллажах. Его свойства позволяют находить углы и отрезки без транспортира, признаки — доказывать, что фигура квадрат, а «крест» напоминает: равных перпендикулярных диагоналей мало, нужно еще деление пополам. Чтобы вспомнить главное, представьте каркас, в котором закреплены и равные палочки, и прямой угол.

Часто задаваемые вопросы

Почему квадрат определяют через прямоугольник, а не через ромб?

Можно и через ромб: «ромб с прямым углом» — то же самое, это показано в первом разделе. Важно помнить, что квадрат одновременно и прямоугольник, и ромб, поэтому в задачах можно пользоваться свойствами обоих.

Хватит ли, чтобы у четырехугольника все стороны были равны и один угол был прямым?

Хватит. Четыре равные стороны дают ромб (урок о ромбе), а ромб с прямым углом — квадрат по признаку 3. А вот три прямых угла без равных сторон дают только прямоугольник.

Чем «крест» отличается от квадрата, если у обоих диагонали равны и перпендикулярны?

У квадрата диагонали еще и делятся точкой пересечения пополам. У «креста» палочки скреплены не в серединах, поэтому он даже не параллелограмм, и стороны у него разные.

Квадрат — это параллелограмм?

Да: он прямоугольник, а каждый прямоугольник — параллелограмм. Поэтому противоположные стороны квадрата параллельны, а пол-оборота кальки вокруг точки пересечения диагоналей совмещает его с собой.

Награды за урок